12 28.2.1解直角三角形-【一飞冲天·同步训练】2023-2024学年九年级数学下册（人教版）

28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=27,AC= 21,则∠A= ( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 2.在△ABC 中,∠C=90°,cos A= 3 5 ,AC=6, 则AB 的长为 ( ) A.10 B.6 C. 40 3 D.16 3.在△ABC 中,∠B=45°,∠C=75°,AC=2,则 BC 的值为 . 4.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°, AB =3,BC =2,tan A = 4 3 ,则 CD = . 5.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 交BC 于点D, AD=BD,若AB=42,tan C= 4 3 ,则BC= ( ) A.8 B.82 C.7 D.72 第5题 C A B 第6题 6.如 图,cos B= 2 2 ,sin C= 3 5 ,AC=10,则 △ABC 的面积是 ( ) A.42 B.43 C.44 D.45 7.在△ABC 中,AB=63,AC=6,cos B= 3 2 , 则BC 边的长为 ( ) A.9 B.12 C.12或6 D.12或9 8.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,点D 在AC 上, ∠DBC=∠A,若 AC=4,sin A= 3 5 ,则BD 的长度为 ( ) A. 9 4 B. 15 4 C. 12 5 D.4 C A B D 第8题 第9题 9.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,BD 是AC 边上的高,cos C= 1 3 ,则△BCD 与△ABD 的 面积比是 ( ) A.1∶3 B.2∶7 C.2∶9 D.2∶11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 10.如图,四边形BDCE 内接于以BC 为直径的 ☉A,已 知 BC =10,cos∠BCD = 3 5 , ∠BCE=30°,则线段DE 的长是 ( ) A.89 B.73 C.4+33 D.3+43 11.如 图,在△ABC 中,AC=10,sin C= 4 5 , sin B= 1 3 ,则AB= . C A B 12.等边△ABC 中,点 P 是BC 所在直线上一 点,且PC∶BC=1∶4,则tan∠APB 的值是 . 13.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°, AC=23,则AB 的长为 . 14.BD 为等腰△ABC 的腰AC 上的高,BD=1, tan∠ABD= 3,则CD 的长为 . 15.如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,E 是BC 边 上一点,过点E 作ED⊥AC,垂足为点 D, AB=8,DE=6,∠C=30°,求BE 的长. 16.如 图,AD 是△ABC 的 中 线,tan B= 1 3 , cos C= 2 2 ,AC= 2.求: (1)BC 的长; (2)sin∠ADC 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 17.如 图,在 △ABC 中,BC=6,tan A = 3 4 , ∠B=30°,求AC 和AB 的长. 18.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC= 30°,延长CB 至点D,使DB=AB,连接AD. (1)求∠ADB 的度数; (2)根据图形,不使用计算器和数学用表,请 你求出tan 75°的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一冲天 参考答案 参考答案 28.2解直角三角形及其应用 在R△ABE中，inE=AB=3 AE5 28.2.1解直角三角形 1.D∠C=90°， 在RACDE中，simE-E记Z, CD CD AC 213 cos A-AB272' 罗号科D-号 6 ∴.∠A=30. 5.C,ADBC交BC于点D,AD=BD, 2.A,∠C=90°，AC=6, ∴.△ABD是等腰直角三角形， m小报 ADD号B-4: AB=10. 3.6如图所示，过点C作CD⊥AB于D. tmc-0-言cm- ..BC=BD+CD=7. 6.A如图，过点A作AD⊥BC于点D, B D 在R△BCD中，∠B=45”.∠BCD=45, ,∠ACB=75, ∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°， CD 'sin C=AD 在R△ACD中，cOs∠ACD= C· AC 3 CD=AC.m30=2x5-5. ∴AD=AC·sinC=10X5=6, 2 由勾股定理得CD=√AC-AD=√10-6=8， 在R△BCD中，sinB= CD BC 'cos B 2∠B=46, ..BC= .BD-AD-6. 2 .BC=BD+CD=14, 4.5 如图，延长AD和BC交于点E Sa7Bc·AD-2×14X6=42. 7.C如图，作AD⊥BC于D. D D 在△ABE中，mA一E-言AB-3 "cos B-2,∠B30 .BE=4, .AE=AB+BE=34=5. 在R△ABD中，AD=2AB=3. EC=BE-BC=4-2=2. BD=√3AD=√3×33=9， 在R△ALD中，D=√AC-AD=√6-(33)=3， 当AD在△ABC的内部时，BC=BD+CD=9+3=12, 一冲天 参考答案 参考答案 当AD在△ABC的外部时，BC'=BD一C'D=9一3=6， .CD=6,BD=8. 综上所述，BC的长为12或6. 在Rt△BCE中，∠BCE=30°， 8.B∠C=90°， 血A%-是 阳-C= 在Rt△BDF中，∠BDF=∠BE=3O°， 设BC=3x,AB=5x, .DF=BD·cos30°=4,3. 山勾股定理得AC+BC-AB, 在Rt△BEF中，∠BEF=∠BD, 即4+(3r)=(5x)2,解得x=1, .BC=3.AB=5. io∠BE-es∠以D-g脚是-号 在R△ABC中osA-GA AB 5' -号BE=-3, 在Rt△BCD中，cos∠DBC- BC 3 .DE=EF+DF=3+43. BD BD' 11.24如图所示，过点A作AD⊥BC于D. :∠DBC=∠A, 4 ∴.cos∠DBC=cosA.即 -,解得BD=15 3 9.B如图，作AE⊥BC于E. B D :AB=ACBE=BC-号C. AD 在Kt△ADC中，AC=10,sinC AC' 在R△ABC中=C-聚- 4 ∴AD=AC·sinC=10X5=8. ÷AC=3FC.AC=之BC. 3 B 在R△ABD中，AD=8,inB=AD AB' 在R△BCD中，OsC= CD 1 ∴AB= AD 8 nB了-24. BC=3CD,∴AC=9 3 ,CD_2.S△D 2CD·BD 12.23或23如图，过点A作AD1BC于D CD 2 AD=7心Sa 2AD·BD AD7 10.D如图，过B作BF⊥DE于F. 0 B D P C P 设等边△ABC的边长为4a, 则DC=2a,AD=23a,PC=a, 当点P在BC的延长线上时， DP =DC+PC=2a+a=3a, BC为直径，∠BDC=∠BEC'=90 在R△CBD中.ms∠CD=号， 在R△MDP巾，n∠APD-P-25a-23 DP 3a 3 当点P在线段BC上，即在P'的位置时， DP'=DC-P'C=a. 一心冲天 参考答案 参考答案 在Rt△ADp'中，tan∠AP'D AD23e=25. ③如图3，∠C为钝角H为顶角， DP' a D 综上所述，an∠APB的值为2或25。 13.3+3如图，过点C作CD⊥AB于D. 图3 tan∠ABD=3, 30 D ·∠ABD=60,∴.∠A=∠ABC=30°， ∠B=45, .∠C=120°，∴.∠BCD=60°， .∠BCD=∠B=45..CD=BD. BD-1..CD ∠A=30°，AC=23, ④如图4，∠C为锐角且为顶角时， CD= 2AC=3,BD=3, C 由勾股定理得AD=√AC一CD=3, .AB=AD十BD=3十3. 142+后或2一后攻号 分四种情况： ①如图1，∠A为纯角且为顶角，AB=AC, 图4 :tan∠ABD=5, D .∠ABD=60°，∠A=30, :∠ABC=∠A=30°，∠ABC<∠ABD 这种情况不存在. 图1 综上所述，D的长为2+5成2-5或 在Rt△ABD中，：BD=1,tan∠ABD=3, AD=3,AB=2, 5.解：在R△CDE中，sinC-E ∴AC=2..CD=2+3: DE ∴.CE ②如图2，∠A为锐角且为顶角，AB=AC, sin3012. 、在Rt△ABC中，tanC, ..BC=AB tan30°=8v8. .BE=BC-CE=83-12. 16.解：(1)过点A作AF⊥BC于 图2 点E, 在R△ABD中，，BD=1,an∠ABD=3 B .AD=3,AB=2. mc-号∠c-=4. AC=2,∴CD=2-3; 在R△ACE巾，CE=AC·cosC=1, .AE=CE=1. 一心冲天 参考答案 参考答案 在R△ABE中，tanB= 1 .BE=3AE=3, .BC=BE十CE=A: (②)：AD是△ABC的中线CD= 2BC=2. ..DE=CD-CE=1. AE⊥BC,DE=AE..∠ADC=45, sin∠ADC=2 2 17.解：如图，过点C作CD⊥AB于 点D, 在R1△BCD中，∠B=30°， cD-7-7×6-3 BD=√BC-CD产=√6-3=33， 在Rt△ACD中， AAD-CD 3 .AC=√AD+CD=+3=5, .AB=AD+BD=4+35. 18.解：(1)BA=BD,∴∠D=∠BAD ∠ABC=∠D+∠BAD=30°，∠ADB=15: (2)设AC=a,则BC=3a,AB=BD=2a, :∠DAC=90-∠D=75, im5-0-2a4=2+ a