8 27.2.3相似三角形应用举例-【一飞冲天·同步训练】2023-2024学年九年级数学下册（人教版）

27.2.3 相似三角形应用举例 1.下列说法正确的是 ( ) A.小红小学毕业时的照片和初中毕业时的照 片相似 B.国旗的五角星都是相似的 C.所有的课本都是相似的 D.商店新买来的一副三角板是相似的 2.如图,李明打网球时,球恰好打过网,且落在离 网4 m的位置上,则网球拍击球的高度h 为 ( ) h N  N N  N A.1.1 m B.1.2 m C.1.3 m D.1.4 m 3.我国古代数学著作中记载了一个问题:“今有 邑方不知大小,各开中门,出北门四十步有木, 出西门八百一十步见木,问:邑方几何?”其大 意是:一座正方形城池,西、北边正中各开一道 门,从北门往正北方向走40步后刚好有一树 木,若从西门往正西方向走810步后正好看到 树木,则正方形城池的边长为 ( ) A.360步 B.270步 C.180步 D.90步 4.如图,利用标杆B 测量建 筑物CD 的高度,如果 B 垂 直 地 面,测 得 BE = 1.2 m,AB=1.6 m,BC= 12.4 m,则建筑物CD 的高度为 ( ) A.11.5 m B.10 m C.11 m D.10.5 m 5.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距离 墙角1.6 m,梯上点D 距离墙1.4 m,BD 长 0.55 m,则梯子长为 ( ) A.3.85 m B.4 m C.4.4 m D.4.5 m 第5题 第6题 6.如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的 一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长 为1 m的竹竿的影长是0.8 m,但当她马上测 量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一 部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),她先测 得留在墙壁上的影高为1.2 m,又测得地面的 影长为2.6 m,请你帮她算一下,树高是 ( ) A.3.25 m B.4.25 m C.4.45 m D.4.75 m 7.学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置 AB 绕固定点O 旋转到位置DC,已知栏杆 AB 的长为3.5 m,OA 的长为3 m,C 点到 AB 的距离为0.3 m,支柱OE 的高为0.6 m, 则栏杆D 端离地面的距离为 ( ) A.1.2 m B.1.8 m C.2.4 m D.3 m 第7题 第8题 8.如图,在一块斜边长为30 cm的直角三角形木 板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF,点 D 在边BC 上,点E 在斜边AB 上,点F 在边 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 AC 上,若AF∶AC=1∶3,则这块木板截取 正方形CDEF 后,剩余部分的面积为 ( ) A.100 cm2 B.150 cm2 C.170 cm2 D.200 cm2 0 0

9.如图所示,一张等腰三角形 纸片,底边长18 cm,底边 上的高长18 cm,现沿底边 依次从下往上裁剪宽度均 为3 cm的矩形纸条,已知剪得的纸条中有一 张是正方形,则这张正方形纸条是 ( ) A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 10.如图,平面直角坐标系内,小明站在点A(-10, 0)处观察y 轴,眼睛距离地面1.5米,他的前 方5米处有一堵墙DC,若墙高DC=2米,则 y 轴上OE 的长度为 米. 第10题 第11题 11.如图,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一 个目标点 A,在近岸取点B,C,D,E,使点 A,B,D 及点A,C,E 分别在两条直线上,且 DE∥BC.经测量得BC=24 m,BD=20 m, DE=40 m,则河的宽度AB 为 m. 12.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图 所示,其中木杆 AB=2 m,它的影子BC= 1.6 m,木杆PQ 的影子有一部分落在了墙 上,PM=1.2 m,MN=0.8 m,则木杆 PQ 的长度为 m. 13.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在 点D 和点F 处分别竖立高是2米的标杆CD 和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB, 标杆CD 和EF 在同一竖直平面内,从标杆 CD 后退2米到点G 处,在G 处测得建筑物 顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上;从标 杆EF 后退4米到点 H 处,在 H 处测得建 筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上, 则建筑物的高是 米. 14.如图,四边形 ABCD 是某 校的一块学农 基 地,其 中 △ABD 是蔬菜园,△CDB 是植物园,已知AB∥CD,AB=40 m,BD= 60 m,CD=90 m. (1)求证:△ABD∽△BDC; (2)若植物园△CDB 的面积为1800 m2,求蔬 菜园△ABD 的面积. 15.如图,小华在晚上由路灯 A 走向路灯B.当他走到 点P 时,发现他身后影子 的顶部刚好接触到路灯 A 的底部;当他向前再步行12 m 到达点Q 时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 B 的底部.已知小华的身高是1.6 m,两个路 灯的高度都是9.6 m,且AP=QB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 (1)求两个路灯之间的距离; (2)当小华走到路灯B 的底部时,他在路灯 A 下的影长是多少? 16.一块 材 料 的 形 状 是 锐 角 三 角 形 ABC,边 BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成 正方形零件,如图1,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB,AC 上. (1)求证:△AEF∽△ABC; (2)求这个正方形零件的边长; (3)如果把它加工成矩形零件,如图2,问这个 矩形零件的最大面积是多少? 17.小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对 于同一物体,影子的大小与光源到物体的距 离有关.因此,他们认为:可以借助物体的影 子长度计算光源到物体的位置.于是,他们做 了以下尝试. D D′A′ A N M B C 图1 D D′A′ A N M B C 图2 D D′A′ A N MB C
图3 (1)如图1,垂直于地面放置的正方形框架 ABCD,边长AB 为30 cm,在其正上方有 一灯泡,在灯泡的照射下,正方形框架的 横向影子A'B,D'C 的长度和为6 cm,那 么灯泡离地面的高度为 ; (2)不改变图1中灯泡的高度,将两个边长为 30 cm的正方形框架按图2摆放,请计算 此时横向影子 A'B,D'C 的长度 和 为 多少; (3)有n 个边长为a 的正方形框架按图3摆 放,测得横向影子A'B,D'C 的长度和为 b,求灯泡离地面的距离.(写出解题过程, 结果用含a,b,n 的代数式表示) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一冲天 参考答案 参考答案 27.2.3相似三角形应用举例 设BD是BC在地面的影子，树高为x, L.B因小学毕业照片和初中毕业照片不同底，故不相似， :竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比 故A错误； 相同， 国旗上的五角星都是相似的，故B正确： 品动 所有的课本对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不 .BD=0.8BC=0.8×1.2=0.96(m), 都是相似的，故C错误： 一副三角板的对应角不一定相等，故不一定相似，故D .树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56(m) 1 错误。 六3.560.8解得x=4.45(m. 2.D 即树高是4.45m. 3.A如图，由题意可知，AB=40,CD=810. 7.C如图，过D作DG⊥AB于G,过C作CH⊥AB于H. B北门 D 810 C 设正方形城池的边长为x步，则AE=CE 2T, :栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC, AE//CD. ..CD=AB=3.5 m,OD=OA=3 m,CH=0.3 m. .∠BEA=∠EDC, .OC=OB=AB-OA=0.5 m. .R△BEAc∽R1△EDC, :DG∥CH, 1 DG OD AE 40 △(DGn△(CH,C万OC “CECD,即 810,解得r=360, 2 即DG3 6.30.5解得DG=1.8(m). 即正方形城池的边长为360步. .'OE=0.6 m. 4.D .BE//CD, .栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m). ∴△AB服n△ACDA0-8器 8.A设AF=x,则AC=3r,CF=2x. ,四边形CDEF为正方形， 1.61.2 即1.6-12.4C0·解得CD=10.5(m. ,.EF=CF=2x,EF∥BC, ,.△AEFc∽△ABC, 5.C由题意可知，BC-1.6m,DE-1.4m. :DE⊥AC,BC⊥AC, .EE-AF1 “BCAC=3B(C=6x, .DE∥BC..△ADE△ABC, 在R:△ABC中，AB2=AC2+BC, 品即BB5-士据移AB=4 即302=(3x)十(6x)2,解得x=25(负值舍去)， 6.C如图，则AB-2.6m,BC-1.2m. .EF=45,AC=65,BC=125, 剩余部分的而积为 ×125×65-45×45=100(cm). 1 一冲天 参考答案 参考答案 9.B如图，AN=BC=18cm, DN-PM-1.2.DP-MN-0.8, %- ∴QD= AB·DN_2×1.2=1.5(m), BC 1.6 .PQ=QD+DP=1.5+0.8=2.3(m). 13.54由题意可知，CD=DG=EF=2m,DF=52m, FH=4 m. 设第x张为正方形纸条， :AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH, 则DE=3cm,AM=(18-3x)cm,DE∥BC, ∴.ABCD∥EF, ·△ADEn△ABC,BC-AN .DE AM .△CDG∽△ABG,△EFH△ABH, 即-188解得=5 需C霜器 第5张为正方形纸条 即CD-DG EF FH AB DG+BD'AB FH+DF+BD' 10.2.5如图，过点B作BM⊥OE于点M,交CD于 2 2 4 点N. 即入B2-BD'AB4+2 2 4 六2+BD-4+52+BD 解得BD=52(m), 2 2 AB2+52 解得AB=54(m),即建筑物的高是54m. 由题意可知，AB=1.5,AC=5,OA=10, ,.BM=10,BNW=5,OAM=CN=1.5, 14.解：(1)证明：ABCD,∴∠ABD=∠BDC, ..DN=DC-CN=0.5. :部-粉号肥贸号 .CD//OE. AB BD △BNDABME- BD-DCABD∽△BDC ÷EM=BM:DN_10X0.i-1(米)， ABD （2'△ABDDABDC..SA BN 5 .OE=OM+EM=1+1.5=2.5(米). 5aAm=言×180=80m) 11.30DE∥BC, 15.解：(1)设路灯A在直线AC上，路灯B在直线BD上 BC AB △ABC∽△ADE,DE-AD 由题意可知，PM=QN=1.6m,AC=BD=9.6m, PQ=12 m. 即器0解得AB=0m :PM∥BD, 12.2.3如图，过点N作ND⊥PQ于D. .△APM∽△ABD, 裙器+0” AP 1.6 AP1.6 AP=QB,2AP+129.6,解得AP=3(m. 一心冲天 参考答案 参考答案 ∴.AB=AP+PQ+BQ=3+12+3=18(m). 设灯泡离地面距离为x, .两个路灯之间的距离为18m: 山题意，得PM=x,PV=x一a,AD=a,A'D'=a+b, (2)如图，他在路灯A下的影子为 .na-r-a BF,则BE=1.6m. 'na+b x ,BE∥AC,∴.△FBE∽△FAC, 解得r=na十ab b 能时8 灯泡离地面的距离为na士a地 解得BF=3.6(m). ∴，当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长 P 是3.6m. 16.解：(1)证明：四边形GHF为正方形， ,'.BC∥EF,,∴，△AEFc∽△ABC: (2),四边形EGHF为正方形， ∴.KD=EF,AK=80-KD, 77777777 图2 △AEF△ABC,AD⊥BC, 图3 腰-恶00” 80 解得KD=48. '.正方形零件的边长为48mm: (3)设EF=x,EC=y, :AAFF0△ABCc既-A. 工80y.∴y=80-3x 2 12080 ∴，矩形面积S=xy=一 32+80r= 2 2 3 (x-60)3+ 2400(0x120), 故当x=60时，此时矩形零件的面积蚊大，蚊大面积 为2400mm2. 17.解：(1)180cm: (2)记灯泡为点P,如图2. 设横向影子A'B,D'C的长度和为ycm, AD∥A'D',.△PAD△PA'D'. 品器即 60_180-30 解得y=12(cm): .此时横向影子A'B,D'C的长度和为12cm: (3)记灯泡为点P,如图3. AD∥AD, .△PAD∽△PA'D' AD PN ∴AD-PM'