7 27.2.2相似三角形的性质-【一飞冲天·同步训练】2023-2024学年九年级数学下册（人教版）

27.2.2 相似三角形的性质 1.已 知△ABC∽△DEF,AB∶DE=3∶1, AB=6,则DE 为 ( ) A.18 B.2 C.54 D. 2 3 2.如图,P 是△ABC 的边AC 上 一 点,若 △ABP ∽ △ACB, ∠A=45°,∠ABC=110°, 则∠ABP 的度数为 ( ) A.25° B.35° C.45° D.110° 3.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4,那么 它们的对应中线之比是 ( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 4.已 知△ABC∽△A'B'C',且 AB A'B'= 1 2 ,则 S△ABC∶S△A'B'C'为 ( ) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1 5.已知△ABC 的三边长分别为4 cm,5 cm, 6 cm,△DEF 的一边长为2 cm,若两个三角 形相似,则△DEF 的另外两边长不可能是 ( ) A.2.5 cm,3 cm B.1.6 cm,2.4 cm C. 4 3 cm, 5 3 cm D.1.6 cm,2.5 cm 6.如果两个相似三角形的面积比是1∶4,那么它 们的周长比是 ( ) A.1∶16 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶2 7.如图,已知AB,CD,EF 都与BD 垂直,垂足 分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF 的长是 ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 3 4 D. 4 5 第7题 第8题 8.如图,把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的 位置,它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面 积是△ABC 面积的一半,若AB= 2,则此三 角形移动的距离AA'是 ( ) A.2-1 B. 2 2 C.1 D. 1 2 9.如图,O 为矩形ABCD 的中心,将直角△OPQ 的直角顶点与O 重合,一条直角边OP 与OA 重合,使△OPQ 沿逆时针方向绕点O 旋转,两 条直角边始终与边BC,AB 相交,交点分别为 M,N.若AB=4,AD=6,BM=x,AN=y, 则y 与x 之间的函数图象是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 10.如图,矩形ABCD 中,E 是CD 延长线上一 点,连接BE 交AD 于点F,连接CF,已知 AB=1,BC=2,若△ABF 与△CEF 的面积 相等,则DE 的长为 ( ) A.1 B. 1 2 C. 2 2 D. 5-1 2 第10题 第11题 11.如图,在△ABC 纸板中,AC=4,BC=8, AB=11,P 是BC 上一点,沿过点P 的直线 剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板,如 果有4种不同的剪法,那么CP 长的取值范 围是 ( ) A.0<CP≤1 B.0<CP≤2 C.1≤CP<8 D.2≤CP<8 12.已 知 △ABC ∽ △DEF,相 似 比 为 3,则 △ABC 与△DEF 的面积之比为 . 13.如果把两条直角边长分别为5,10的直角三 角形按相似比 3 5 进行缩小,得到的直角三角 形的面积是 . 14.如 图,已 知 在 Rt△OAC 中,O 为坐标原点,直角顶 点C 在x 轴的正半轴上, 反比例函数y= k x (k≠0) 在第一象限的图象经过 OA 的中点B,交 AC 于点D,连接OD.若△OCD∽△ACO, 则直线OA 的解析式为 . 15.如 图,AB 与CD 相 交 于 点 O,△OBD ∽ △OAC, OD OC= 3 5 ,OB=6,S△OAC=50.求: (1)OA 的长; (2)S△OBD. 16.如图所示,三个边长为1的正方形 ABCD, ABEF,EFHG 拼在一起. (1)请找出图中相似的两个三角形,并证明; (2)求∠1,∠2,∠3这三个角度数之和. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 17.在平面直角坐标系中,四边形AOBC 的顶点 O 是坐标原点,点B 在x 轴的负半轴上,且 CB⊥x 轴,点A 的坐标为(0,6),在OB 边上 有一点P,满足AP=35. (1)求点P 的坐标; (2)如果△AOP 与△APC 相似,且∠PAC= 90°,求点C 的坐标. 18.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相 交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分 割成两个小三角形,如果分得的两个小三角 形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形 相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完 美分割线. (1)如图1,在△ABC 中,∠A=40°,∠B= 60°,当 ∠BCD = 时,CD 为 △ABC 的完美分割线; (2)如图2,在△ABC 中,AC=2,BC= 2, CD 是△ABC 的完美分割线,且CD 为等 腰三 角 形 的 底 边,求 完 美 分 割 线 CD 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一 飞 冲 天一 飞 冲 天一 飞 冲 天 一心冲天 参考答案 参考答案 27.2.2相似三角形的性质 :.AB A'B=2, 1,B△ABC△DEF,AB:DE=3:1,AB=6, AB=2,∴A'B=1, -E解得DE=2 .AA'=√2-1. 2.A:△ABP△ACB, 9.C如图，过点O分别作OE⊥BC于E,OF⊥AB于F, ∠APB=∠ABC=11D°， D .∠ABP=180°-45°-110°=25°. 3.B:两个相似三角形对应边之比是1：4， 又：相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分 线的比等于相似比， .它们的对应中线之比为1：4. :∠POQ-∠EOF-90°， 4.C△AC△ABC0- .∠NOF=∠MOE. -(0)厂- :∠NF)=∠MEO=90°， 5.D设△DEF的另外两边长分别为xem,ycm, △NOFO△MOE,话-8E :△ABC与△DEF相似， AB-4,AD-6.BM-x,AN=y, “当4-56 ∴.OF=BE=3,OE=BF=2, xy一2时，解得x= 5 3y=3 .NF=2-y.ME=3-x. 当-号-时，第得-25=3 35 当--时，第得=16y=2 0<y<0<2- 6.D两个相似三角形的面积比是1：4， 13 .两个相似三角形的相似比是1：2， ∴.两个相似三角形的周长比是1：2. y与x之问的函数图象为选项C. 7.C,AB,CD,EF都与BD垂直， 10.D设DE=x. ∴ABCD∥EF, DF∥BC, ∴.△DEFc∽△DAB,△BEF∽△BCD, △EFD∽△EBC,小CB-CE DF DE 器跳需器 器需路部品1 -0a- ..DF= 2r AB=1,CD-3, ,△ABF与△CEF的面积相等， F1…EF是 13 日·AFAB=号CR,DF, 8.A,把△ABC沿AB边平移到△A'B'C的位置， .AC∥A'C, 小×1=+DX名检理得十-1=0 2 ∴.△ABC∽△A'BD. S△Ac:S么8n=2, 解得=5一1 5号。专0 DE的长为5-1 2· 一冲天 参考答案 参考答案 11.B如图所示，过点P作PD∥AB交AC于D,或PE∥： AC交AB于E, 六点A的坐标为A》 :点B是OM的巾点， B 六点B的坐标为（台式， E 则△DPC'∽△ABC或△EBP∽△ABC, ”点B在反比例函数y=冬的图象上 此时0<CP8: k-q 如图所示，过点P作∠BPF-∠A交AB于F, C .a=4k2,解得a=2k, ·点B的坐标为（号a): 设直线OA的解析式为y=x, 则△PBF△ABC, 此时0CCP8: 则m·兰=a,解得m=2, 如图所示，过点P作∠CPG=∠A交AC于G, ∴.直线OA的解析式为y=2x, C OB OD 3 G 15.解：)△OBD△DAC.O-OC=号， 0B=6,.0n=10: 则△PGCc∽△ABC, 10D_3,Sam=9 当点G与点A重合时，AC=CP·BC, (2)r△0BDn△0AC,lOC=5sae-25 印-C- SAC =50,SAOBD-18. =2, 16.解：(1)△ACF△AHC. .此时0<CP≤2. 证明如下： 综上所述，CP长的取值范围是0<CP≤2. :三个正方形的边长均为1， 12.9:△ABC与△DEF的相似比为3， :.AD-CD-AF-1.AH-2. ∴.△ABC与△DEF的面积之比为3=9 13,9设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为 ac-a0D-区，折-5-号。 义∠FAC=∠CAH,.△AF△AHC: a.b(a<b), (2),'△ACFc∽△AHC, 假据愿意得号一0-号佩得。一36-6 ∴∠2=∠ACH, 而∠1=∠ACH十∠3，，∠1=∠2+∠3. “第小后的直角三角形的南积为2×3X6=9 ∵∠1=45°.∴∠1+∠2+∠3=90 14.y=2x设(0=a, 17.解：(1)点A的坐标为(0,6)，.(OA=6, :点D在反比例函数y= 的图象上· ∠AOP=90°，AP=3/5, .OP-√JAP=OA=√/(35)-6=3， ·CD= a 点P的坐标为（一3,0）： :△0CDD△ACO,AC=Co' OC CD c-- 一心冲天 参考答案 参考答案 (2)如图， ②当△BCD是等腰三角形时，此时△ADC∽△ACB, :∠AOP=∠PAC=90°，△AOP 与△APC相似： 福把 部贺“品. BC=BD=AC=2, :4C=36成4C36 设AD=y,则AB=y十2， 8=6或6=· 中2学解得--2g合. 2 aC-或Ac=iv后 .AD=2, 过点C作CD⊥y轴于点D :∠CDA=∠PAC:=∠A0P=90°， :△Mcn△MCB0设. ∴.∠DCA+∠CAD=∠CAD+∠OAP=90°， :.CD-AD.BCX .∠DCA=∠OAP, AC 2 ÷.△ADC△P0A,OA-OP-PA 、DC DA AC 综上所述，CD的长为√一√2或1. 35 当AC-35 解得DC=3,DA=1.5. .OD=7.5, .点C的坐标为（一3,7.5 当AC=65时，冷-分-3 DC DA 65 =2, .DC=12,DA=6, .0D=12, 点C的坐标为（一12,12）. 综上所述，点C的坐标为(-3,7.5)或（一12,12）. 18.解：(1)40°： (2)①当△ACD是等腰三角形时，此时△BCD∽△BAC, 紧肥 AC=AD=2.BC=2 设BD=r,则AB=2+r, 八②。=解得x=一1士. x>0,∴.BD=-1+3, :△BCDD△BAC.ACBC CD BD :CD=BD:AC_-1+3)x2-6-2: BC 2