2024年九年级中考数学圆中考复习专项练习题

圆中考复习专项练习题 一、单选题 1．如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 5．如图，在中，是直径，点、在圆上且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点，，是上的三个点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，是的内接等腰三角形，，弦过边的中点，且，若，则外接圆的半径为 ， ． 9．如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为 ． 三、解答题 10．如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 11．如图所示，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 12．如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，． (1)直接写出图中所有与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的长． 13．瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 14．如图，是的直径，弦于点，连接，    (1)求证：． (2)作于点，若的半径为，，求的长． 15．如图，是的直径，，，是的弦，． (1)求证：． (2)如果弦的长为，与间的距离是，求的长． 16．如图，是的一条弦，半径于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 17．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 18．如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求的长． 19．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线，交于点，的反向延长线交于点． (1)求证：； (2)若，的半径为10，求的长度． 20．如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，延长分别与、切线相交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，，求的值． 21．如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 22．如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， (1)求证∶是的切线； (2)求点C到的距离； (3)点 P 是上一动点， 求的最小值． 23．如图，已知为的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 24．如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，已知，求的长． 25．已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点，为上的一点，连接． (1)若，连，求的度数； (2)若为的中点，求证：直线是的切线． 26．（1）课本再现：如图1，，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点A、B、C，且，连接、，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 27．如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E． (1)求证： ； (2)若，，求的半径． 28．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 29．如图，为的直径，与相切于点B，C是圆上一点． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，点E在圆上，，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B B B C B A 1．B 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 2．B 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 根据圆周角定理得出，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，根据垂直定义可得，从而可得，再利用对顶角相等可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用圆周角定理可得，从而可得，进行计算即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．B 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了圆的性质，圆周角的性质，熟悉掌握圆周角的性质是解题的关键． 根据圆周角的性质得到，，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径 ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求解即可． 【详解】解：∵点，，是上的三个点，， ∴； 故选B． 7．A 【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理，同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识．首先根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，可以求出，再根据切线的性质可以得到，根据四边形的内角和是求出的度数． 【详解】解：， ， 、是的切线， ， 在四边形中，， ， ． 故选：A ． 8． 【分析】连接，，，，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，从而利用圆周角定理可得，进而可得是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，，然后根据已知可得是的垂直平分线，在中，利用锐角三角函数的定义可得的长，再利用平行线的性质可得：，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，再利用垂径定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，，，，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∵点是的中点， ∴点是与的交点， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．/110度 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握“直径所对的圆周角是直角”、“圆内接四边形对角互补”等知识点是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 故答案为：． 10．(1)见解析； (2)． 【分析】连接，根据可证：，根据角平分线定义可证：，等量代换可得：，根据内错角相等两直线平行可得：，根据可得，又因为是的半径，所以可证为的切线； 过作，则，可证四边形为矩形，设，在△中，由勾股定理得，从而求得的值，由勾股定理得出的长． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，且为半径， 为的切线； （2）解：如下图所示，过作，垂足为， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在△中，由勾股定理得． 即， 化简得， 解得，． 大于0，故舍去， ， 从而，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 11．(1) (2)的长为 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （1）根据垂径定理的推论可得，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可； （2）利用勾股定理列式求出，根据垂径定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条弦，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵是的一条弦，， ∴， 则． 12．(1)有3个，分别是，， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由垂径定理推出垂直平分，因此，得到，由余角的性质得到，由圆周角定理得，即可证明；据此即可求解； （2）由和，可证明； （3）由，推出，令，则，得到，由勾股定理求出，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：直径， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴与相等的角有3个，分别是，，； （2）证明：由（1）得， ∵， ∴； （3）解：，， ， ， 令，则， ， ， ， ， 或， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，关键是由推出，由勾股定理列出关于的方程． 13．27cm 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理及其推论，正弦的定义，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据垂径定理以及垂径定理的推论即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：连接，∵是直径，    ∴， ∴； （2）解：如图，连接．    在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作，延长交于点，根据题意可得：，，推出，即可证明； （2）根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作，延长交于点， 是的直径，， ，， ，即， ； （2）， ， 与间的距离是，， ， ， ， ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等． （1）根据垂径定理可求出的度数，结合圆周角定理和同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）根据垂径定理可求出，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵是的一条弦，半径于点， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴． （2）解：设的半径为， ∵， ∴， ∵是的一条弦，半径于点， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 即， 解得：， 故的半径为． 17．(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 18．(1)相切，见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形： （1）连接，则，等边对等角得到，角平分线得到，进而得到，推出，得到，即可得出结论； （2）直径所对的圆周角为直角，得到，易得，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． （2）∵是的直径， ∴， ∵ ∴，     又∵在中， ， ∴． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）欲证明，只需推知，需证，根据等腰三角形性质可得，，即可； （2）过点作于点，构建矩形，设．则由矩形的性质推知：，．在中，由勾股定理知：，通过解方程得到的长度，结合，得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． 是的切线，是半径， ， ； （2）如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，． 设． ，， ，． 在中，由勾股定理知：，即， 解得，（不合题意，舍去）． ． ， ， ． 【点睛】本题考查了圆综合．熟练掌握等腰三角形性质，圆切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．垂径定理，解一元二次方程，是解题的关键． 20．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）要证明是的切线，只要证明即可，根据题意可以证明，从而可以解答本题； （2）根据题意和勾股定理的知识，可以求得的值． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，设，则， ∵，，， ∴即， 解得，， ∴，， 设，则， ∵是圆的切线， ∴， ∴，， 解得，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点是的中点， ∴， ， 又， ， ， ， 又于点， 于点， 为的切线； （2）解：设半径为， 在中，， ， 解得： 即的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 22．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，交于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，推出为的半径，即可得证； （2）求出的长，勾股定理求出的长，过点作，等积法求出的长即可； （3）取的中点，连接，进而得到，结合，得到，进而得到，进而得到，得到，得到三点共线时，的长最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意，可知：为的直径， ∴， ∴， ∴为的半径， 又∵， ∴是的切线； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作， 则：，即：， ∴， ∴点C到的距离为； （3）取的中点，连接，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，，由（2）知， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查切线的判定，含30度的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，由为的直径得到，则，得到，由得到，由切线的判定定理即可得到结论； （2）证明，在中，，，得到，则，由勾股定理求出，得到，求出，在中，，，则，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和解直角三角形是解题的关键． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可； （2）连接，设交点为F，先由“直径所对的圆周角是直角”，可得，用勾股定理求出的长，再根据圆内接四边形的性质，可得，可证明，通过三角形相似即可求解出，利用股股定理求出，根据垂径定理证明，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交点为F， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 25．(1) (2)证明见解析 【分析】（）由切线的性质可得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （）连接，由圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，即得，又由得，进而可得，据此即可求证． 【详解】（1）解：∵是的直径，是的切线，是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（1）  （2）①见解析  ②的半径是，图中阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等. （1）连接和， 根据切线的性质， 可得， 即可得出结论； （2）①根据题意求证， 即可得出， 即可得出答案； ②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案. 【详解】(1) 证明： 如图， 连接和， ∵和是的两条切线， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) ①证明： ∵分别与相切于点、、， ∴分别平分、， 又∵， ∴， ， ∴. ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点， ∴是的切线. ②解： 连接， 则， ∵， ， ， ∴， 即的半径为． ， 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 27．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，如图，先证明垂直平分得到，再根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，于是可判断四边形为矩形，所以，从而得到结论； （2）先利用垂直平分得到，再利用四边形为矩形得到，接着在中利用勾股定理计算出，设的半径为，则，，由勾股定理可得，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图， ，， 垂直平分， ， 为的切线， ， 为的直径， ， 四边形为矩形， ， ； （2）解：垂直平分， ， 四边形为矩形， ， 在中，，， ， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 28．(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等边三角形的判定与性质． （1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线； （2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则； （3）由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， 平分， ， ， ∵， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线； （2）证明：线段是的直径， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，， ， ∴是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ． 29．(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理、圆周角定理，解答本题的关键是熟练运用圆周角定理解决问题． （1）根据切线的性质可知是直角，所以可以得到，进而求出答案； （2）首先先推导出，在中，利用勾股定理求得，进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ； （2）解：同（1），， 在中，，，， 即， 解得，， ∵直径弦， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$