27.2.3相似三角形应用举例 课时作业2024-2025学年人教版数学九年级下册

人教版九年级下册数学27.2.3相似三角形应用举例 课时作业 一、单选题 1．图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是2.4米，则到的距离为（    ） A．3.6米 B．4米 C．5米 D．5.4米 2．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高米），且落在对方区域离网米的位置上，已知她的击球高度是米，则她应站在离网的（ ） A．7.5米处 B．8米处 C．10米处 D．15米处 3．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（    ） A． B． C． D． 4．如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（    ） A．60m B．50m C．40m D．30m 5．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为（ ） A．5m B．6m C．7m D．8m 6．如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（    ） A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm 7．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，则河的宽度AB约为(       ) A．20m B．18m C．28m D．30m 8．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为2m，并测得，，那么树的高度是（    ） A．6m B．8m C．12m D．15m 二、填空题 9．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为 ．    10．如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板宽，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度为 ．图3是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面的高度是 ． 11．小亮同学想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长为米，同时测量旗杆的影长时由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长为米，留在墙上的影高为米，通过计算他得出旗杆的高度是 米.    12．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 m． 13．如图是小明设计用平面镜来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，小明站在点处恰好能从镜子里看到古城墙的顶端，已知小明的眼睛距离地面的高度米，米，米，那么该古城墙的高度是 米． 三、解答题 14．综合与实践 主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度． 素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具． 步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米； 步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米． 猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据：    (1)直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系； (2)计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）． 15．小林同学为了测量河对岸树AB的高度．他在河岸边放一面平面镜P(平面镜的大小忽略不计)，他站在C处通过平面镜恰好看到树的顶端A.如图，然后他量得B，P间的距离是56米，C，P间的距离是12米，他的身高是1.74米． (1)他这种测量的方法应用了物理学科的什么知识？请简要说明； (2)请你帮他计算出树AB的高度． 16．阅读下面材料，完成学习任务． 数学活动：测量树的高度． 在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离，小华的眼睛到地面的距离； ②将平面镜从点沿的延长线移动到点处，小华向后移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离； ③计算树的高度：设，． ，， ． 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 17．为了测量一条河的高度，测量人员发现，该河两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔4m有一棵树，在河的另一岸每隔40m有一根电线杆，你能想办法，测出河的宽度吗？ 测量人员是这样做的：他们发现，站在离有树的河岸30m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，利用相似三角形的知识计算河宽，请你帮助测量人员计算一下河宽． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C B D B B 1．B 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答． 【详解】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD， ∴AB：CD=PE：PF， ∴3：5=2.4：PF， ∴PF=4米， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比． 2．C 【详解】试题分析：设她应站在离网的x米处，根据题意得：，解得：x=10． 故选C． 考点：相似三角形的应用． 3．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定 和性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的性质，求出每个矩形的长度和宽是解答关键． 先利用勾股定理求出，再利用面积计算法求出，接着证明，进而求出，分别计算出从上往下数每个矩形的长，再利用每个矩形的宽均为，代销入矩形面积公式中求解． 【详解】解：如图 ，，， ， ， 即， ． 斜边上的高分成5等份， ． ， ，， ， ， 即， ， 即从上往下数，第一个矩形的长为， 同理可得从上往下数，第二个矩形的长为， 从上往下数，第三个矩形的长为， 从上往下数，第四个矩形的长为， 而所有矩形的宽都为， 所以4张纸条的面积和为． 故选：B． 4．C 【分析】据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵AB⊥BF，ED⊥BF， ∴AB∥DE， ∴△ABC∽△EDC， ∴， 即， 解得：AB＝40， 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定得出△ABC∽△EDC解答． 5．B 【分析】先判定△OAB和△OCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵AB⊥OD，CD⊥OD， ∴AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴= 即= 解得：CD=6（米）； 即树的高度为6m； 故选B． 考点：相似三角形的应用． 6．D 【分析】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长． 【详解】∵AB∥DE， ∴△CAB∽△CDE， ∴， 而BC=BE， ∴DE=2AB=2×15=30(cm)． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 7．B 【分析】证明△ABC∽△ADE，利用相似比得到=，然后根据比例的性质求AB的长度． 【详解】∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴=， 即=， ∴AB=18m． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度． 8．B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故选：B 9．2.7 【分析】根据，可得，进而得出即可． 【详解】解：如图，过作于，则， ∴，即， 解得， 故答案为：2.7    【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 10． 120 【分析】由点A与点F重合能够得出的长，从而可以求出点A离地面的高度．连接并延长，交于点Q，得到直角三角形，又由使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，得到，得到，利用相似三角形的性质可以求出的长，进而利用勾股定理可以求出点A到地面的高度． 【详解】∵将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合， ∴． ∴， 即点A离地面的高度为120 ． 如图，连接并延长，交于点Q，则． ∵使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，由勾股定理，得 ， 即点A到地面的高度是． 故答案为：120，． 【点睛】本题是一道实际应用题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解题意，能够将实际问题转化成数学问题是解题的关键． 11． 【分析】根据题意画出图形，然后利用某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可求出旗杆的高度. 【详解】根据题意画出如下图形，有，则AC即为所求.    设AB=x 则 解得 ∴ 故答案为10.5. 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键. 12．20 【详解】试题分析：设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可． 解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6:0.4=x:5， 解得x=20(m). 即该旗杆的高度是20m. 13． 【分析】根据题意，有，则，求得该古城墙的高度． 【详解】由光线反射原理可得：， 又，， ， ， ，即， 米． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从△ABP和△PCD相似，即求得CD． 14．(1) (2)建筑物的高度为10米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得：，证明，则，即，解得，； （2）设米，则米，由，，可得，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得，， ∴； （2）解：设米，则米， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 答：建筑物的高度为10米． 15．(1)应用了平面镜反射原理，反射角等于入射角；(2)树AB的高度为8.12米． 【分析】(1)根据的是平面镜反射原理,反射角等于入射角,可得△DCP∽△ABP,利用相似三角形对应边成比例解答即可; (2)根据相似三角形对应边成比例,列出比例式再代入数据计算即可 【详解】(1)应用了平面镜反射原理，反射角等于入射角． (2)∵∠DCP＝∠ABP＝90°，∠DPC＝∠APB， ∴△DCP∽△ABP， ∴， 解得AB＝8.12. 故树AB的高度为8.12米． 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于得出△DCP∽△ABP 16．米，见解析 【分析】根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案． 【详解】解：设米，米． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， 解得． 把代入， 得， 解得． 答：树的高度为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题． 17．河宽为120m 【分析】画出几何图形：如图，点P为观测点，CD=40m，AB=8m，作PF⊥CD于F，交AB于E，则PE=30m，证明△PAB∽△PCD，然后利用相似比计算出PF，再求出EF的长即可得到河的宽度. 【详解】解：如图，点P为观测点，CD=40m，AB=8m， 作PF⊥CD于F，交AB于E，则PE=30m， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD， ∴ ，即， ∴PF=150， ∴EF=PF-PE=150-30=120（m）． 答：河宽为120m. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度；借助标杆或直尺测量物体的高度．找出几何图形上相应线段的长是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$