精品解析：江苏省无锡市怀仁中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

江苏省怀仁中学2024秋学期期中考试试卷 高二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再求直线的倾斜角. 【详解】由，可得，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，因，故. 故选：D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定复数，再求复数的模. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 4. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 6. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 7. 已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 3或5 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值． 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 8. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线恒过点，曲线表示圆心，半径为2的半圆，画出图形，由图可知，从而可求出结果. 【详解】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以， 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.全部选对得6分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. 若（a，），则 C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程（p，）的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算，即可判断A；举反例即可判断B；设，根据复数的模的计算公式结合的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，列出方程组求解，即可判断D． 【详解】对于A，，设复数，则， 所以，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，，由得，， 所以，， 所以， 由得，，故当时，的最小值为1，故C正确； 对于D，因为是关于x的方程（p，）的根， 所以，即， 所以，解得，故D正确； 故选：ACD． 11. 设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（ ） A. 则，，两两共面，但，，不可能共面 B. 若，，则 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. ，，不一定能构成空间的一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的定义可判断AB，根据空间向量基本定理可判断CD. 【详解】对于A，显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故B错误； 对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 对于D，假设向量，，共面， 则，化简得， 因为，，不共面，所以，无解， 所以，，不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误． 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若复数满足，则的共轭复数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数为. 故答案为： 13. 已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为____. 【答案】8 【解析】 【分析】结合椭圆的定义，求焦点三角形的周长. 【详解】已知是椭圆的左右焦点， 若直线过焦点，且与椭圆交于， 根据椭圆定义可知，， 所以的周长. 故答案为：8 14. 直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是_____________. 【答案】相切 【解析】 【分析】求出旋转之后的直线的方程，求得圆心到直线的距离即可得直线与圆相切. 【详解】易知直线的斜率为，倾斜角为， 其绕原点按逆时针方向旋转以后倾斜角为，斜率为，此时的直线方程为； 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 因此直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2. （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【答案】（1）点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2 为半径的圆 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意直接列方程化简求解即可， （2）分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果． 【小问1详解】 由题意可知，，整理，得， 故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆． 【小问2详解】 由题意可知 ①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为． ②当直线的斜率存在时，不妨设为， 则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 因为直线被所截得的线段的长为， 所以，所以，解得， 所以直线方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或． 16. 已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆M的标准方程； （2）若，求的面积； （3）是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 若点B在以线段为直径的圆上，等价于，即， 设，则， 因为，则， 令， 解得：或， 又因为，则不存在点，使得， 所以不存在直线，点B在以线段为直径的圆上. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而可求和椭圆标准方程； （2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△的面积可分割成两个小三角形，其底皆为； （3）存在性问题，一般从计算出发，即垂直关系结合椭圆方程交点求出B点坐标：或，而由椭圆范围知这样的B点不存在． 【小问1详解】 由左焦点、左顶点可知：，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，， 则过的直线的方程为：，即， 解方程组，解得或， 所以的面积. 【小问3详解】 略 17. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点. （1）证明：共面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 由题意得：， 则由共面向量定理知，共面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用平面向量的运算可得，由共面向量定理即可证明； （2）方法一：利用线面垂直的性质得，由(1)，可得，进而利用平面向量的夹角公式即可求解； 方法二：以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系，利用空间向量线面角的公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由平面，知为平面的法向量， 又平面，所以. 由（1）知：， ， 设直线与平面所成角为， 所以，直线与平面所成角大小为. 方法二：由题平面及为正方形， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系; 则，则， 由平面知为平面的法向量 设直线与平面所成角为， 则 所以，直线与平面所成角大小为. 18. 最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，，，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为，，以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求两个军事基地的长； （2）若要塞正北方向距离要塞处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 【答案】（1） （2）当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解 （2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解． 【小问1详解】 则由题设得：，直线的方程为，， 由，及解得，所以． 所以直线的方程为，即， 由得，，即， 所以， 即基地的长为． 【小问2详解】 设爆炸产生的爆炸波圆， 由题意可得，生成小时时，飞行在线段上的点处， 则，，所以． 爆炸波不会波及卡车的通行，即对恒成立． 所以， 即． 当时，上式恒成立， 当即时，， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，在时，恒最立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行． 答：当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行． 19. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面． （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在点，为中点. 【解析】 【分析】（1）连接，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，，再由得到，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2），且，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，解得的值，即可得解. 【小问1详解】 连接，∵为正三角形，又为中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴， 因为分别为的中点，所以， ∴， ∴如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ∵，则， 设平面的法向量为，∵， 则，令，则 又，则点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）可知是平面的一个法向量， 由题可设，且，则， ∴， 设平面的法向量为，由于， 则， 令，则， ∴，整理得，解得或（舍）， 故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省怀仁中学2024秋学期期中考试试卷 高二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 3或5 D. 或 8. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.全部选对得6分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. 若（a，），则 C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程（p，）的根，则 11. 设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（ ） A. 则，，两两共面，但，，不可能共面 B. 若，，则 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. ，，不一定能构成空间的一个基底 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若复数满足，则的共轭复数为__________. 13. 已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为____. 14. 直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是_____________. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2. （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 16. 已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆M的标准方程； （2）若，求的面积； （3）是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 17. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点. （1）证明：共面； （2）求直线与平面所成角的大小. 18. 最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，，，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为，，以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求两个军事基地的长； （2）若要塞正北方向距离要塞处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 19. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面． （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $