精品解析：江西省上饶市第四中学2024-2025学年高二上学期十一月测试数学试题

江西省上饶市第四中学2024-2025学年高二上学期十一月测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式求得圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由圆心到直线的距离， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为. 故选：D. 2. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】 设， 因为， 又点为半椭圆上一点，所以， 所以 ， 因为存在， 所以， 即在上有解， 因为， 且， 所以在上有解， 即在上有解，所以 又因为， 所以， 即，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可 3. 已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】作出几何图形，结合抛物线定义列式计算即得. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，， 由，得，则， 因此，所以. 故选：B 4. 曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和的射线， 分曲线为圆，椭圆和双曲线三种情况分析即可. 【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.    当曲线为圆时，即， 此时与曲线有三个交点，不符合题意； 当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内， 即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：， 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5. 已知，则点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标的特征，即可求解. 【详解】点关于平面的对称点的坐标的特征是不变，变为相反数， 所以点关于平面的对称点的坐标是. 故选：D 6. 如图，在四面体中，为棱的中点，点分别满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点，， 所以 . 故选：D 7. 为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（ ） A. 1440种 B. 240种 C. 216种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合的方法数. 【详解】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法， 若甲、乙安排在同一个学校，则有种不同安排方法， 甲、乙不安排在同一所学校的方法数有种． 故选：C． 8. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可. 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与过圆心的直线垂直，从而判断选项D. 【详解】选项A中，直线方程整理得，由，解得， ∴直线过定点，A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，， ∴轴上的弦长为，B正确； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，D错误. 故选：ABC. 10. 下面四个结论不正确的是（ ） A. 已知，，若，则的夹角为钝角 B. 已知，，则在上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 设是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，C，利用反例来判断；对于B，根据投影向量的定义计算即可；对于D，证明共面，即可判断. 【详解】对于A，当时，，，，此时的夹角为，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，令，，，则直线为，此时直线经过第三象限，但，故C错误； 对于D，若，则，所以共面，故不能作为基底，故D错误. 故选：ACD. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 B. 若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥有可能同时成立 C. 若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足 D. 若事件A，B相互独立，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据随机事件的相互独立、互斥概念，结合概率公式，通过对每个选项依据相关概念进行分析判断. 【详解】对于A选项， 已知，，，而， 即，所以、是相互独立事件，A选项正确. 对于B选项，若、互斥，则，. 若、相互独立，则（因为，）. 所以事件，相互独立与，互斥不可能同时成立，B选项错误. 对于C选项，设样本空间，每个样本点的概率为. 定义，；，；，. ，. ，. ，，所以A、B、C两两相互独立. 而，，， 此时. C选项错误. 对于D选项，因为、相互独立，则与，与也相互独立. . . 所以，D选项正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【详解】由，可得在双曲线的右支上，因为，， 所以，所以， 所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 13. 已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解. 【详解】如下图所示： 正四面体的棱长为，设其内切球球心为点， 连接并延长交底面于点， 则为正的中心，且平面， 连接并延长交于点，则为的中点，且， ，， 因为平面，平面，则， 可得， 的面积为， 正四面体的体积为， 设正四面体的内切球的半径为， 则， 即，解得， 可得， 因为，， 可得， 当点位于正四面体的顶点时，取最大值， 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 利用几何关系推导内切球半径：首先通过几何关系计算正四面体的体积和内切球半径，这是确定几何量的基础. 结合空间向量的数量积分析动点的取值：通过分析空间向量和动点的关系，结合数量积的性质，判断动点在不同位置时的取值，确保最大值的准确性. 14. 若，则的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用二项式定理直接计算即可. 【详解】， ， 所以. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆. （1）求的范围，并证明圆过定点； （2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值. 【答案】（1） 由圆，得，，， 所以的范围为； ，由，得， 所以圆过定点. 以弦为直径的圆过原点，则，， （2） 【解析】 【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标. （2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点，，则，， 即， 由，消去整理得：， ，，， 于是，解得，满足， 所以的值为． 16. 已知双曲线的离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 联立，消去整理可得， 因为直线与双曲线有两个交点， 所以解得且， 设，，则，， 所以 ， 解得，不满足且，不符合题意， 所以不存在满足. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及实轴长计算可得结果； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数得关系以及向量数量积的坐标表示求出，并结合交点个数可判断结论. 【小问1详解】 由题意可得，则， 又因，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）若，求点坐标； （2）求的值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）写出各点坐标，设，写出相关向量得到方程组，解出即可； （2）出向量的坐标，然后用数量积公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以，，，则， 设，因为，则， 即，解得，则. 【小问2详解】 ∵， ∴，，，， 由（1）可知，， ∴. 18. 某种产品的加工需要经过6道工序． （1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? （2）若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? （3）若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 【答案】（1）288； （2）144； （3）144. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【小问1详解】 先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． 【小问2详解】 先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 【小问3详解】 先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 19. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 【答案】（1）80，0.8186 （2）①；②；③4 【解析】 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得． 【小问1详解】 ， 因为，所以， 则 ； 【小问2详解】 ①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市第四中学2024-2025学年高二上学期十一月测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平面直角坐标系中，以为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，为棱的中点，点分别满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（ ） A. 1440种 B. 240种 C. 216种 D. 120种 8. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 10. 下面四个结论不正确的是（ ） A. 已知，，若，则的夹角为钝角 B. 已知，，则在上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 设是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 11. 下列命题正确的是（ ） A. 设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 B. 若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥有可能同时成立 C. 若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足 D. 若事件A，B相互独立，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为________. 13. 已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为______. 14. 若，则的值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知圆. （1）求的范围，并证明圆过定点； （2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值. 16. 已知双曲线的离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）若，求点坐标； （2）求的值. 18. 某种产品的加工需要经过6道工序． （1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? （2）若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? （3）若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 19. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $