第五章 二元一次方程组（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版，辽宁专用）

第五章 二元一次方程组 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟知二元一次方程组的定义是解题的关键． 二元一次方程组是指含有两个未知数，且未知数的次数都是1的一次整式方程组成的方程组，据此求解即可． 【详解】解：A、含未知数的项的最高次不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； B、含未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； C、是二元一次方程组，符合题意； D、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 2．和都是关于x，y的方程的解，则的值是（    ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义可得关于a、b的方程组，求出方程组的解即可求出答案. 【详解】解：∵和都是关于x，y的方程的解， ∴， 解得， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键. 3．方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要是考查了二元一次方程的解，准确计算是解题的关键．要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数的值即可． 【详解】解：由，得， ∵x，y都是正整数， ∴是正整数， 满足条件的x值只能是，，， 分别与之对应：，，， ∴，，． ∴有3组， 故选：D． 4．有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组－加减消元法．通过观察所给的方程组中各式子特点，②和③的方程组，可以直接利用加减进行消元． 【详解】解：①宜用代入消元法； ②中，的系数相同，宜用加减消元法； ③中，的系数互为相反数，宜用加减消元法； 故选：C． 5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何． ”其大意为：现有两匹马加一头牛价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则利用两匹马加一头牛价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱，可列方程，由一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可列方程， 从而可得答案． 【详解】解：设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，掌握利用二元一次方程组解决实际问题，理解超过与不足的含义是解题的关键． 6．如图，相同的8块小矩形地砖拼成一个大矩形，每块小矩形地砖长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，设每块小长方形地砖的长为 ，宽为，由图示可得等量关系：①1个长个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为 ，宽为， 由题意得：， 解得：， 故选：C． 7．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足则此等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．8 C．11或13 D．11 【答案】C 【分析】首先根据，求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得；， 当a为底时，三角形的三边长为5，3，3，则周长为11； 当b为底时，三角形的三边长为5，5，3，则周长为13． 故此等腰三角形的周长为11或13． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据5，3分别作为底，由三边关系定理，分类讨论． 8．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十.问：甲、乙持钱各几何?”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱60.问：甲、乙两人各带了多少钱?设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（    ） A． B． C．   D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱60，可以列出相应的方程组，即可解题． 【详解】解：甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60；乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱60； 可列方程组为， 故选：B。 9．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其托运费用y(元)的关系如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，本题关键是理解一次函数图象的意义以及与实际问题的结合．根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求时，x对应的值即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为，把点，分别代入得， 由题意可知， 解得 所以y与x的函数关系式为， 当时，， 解得． 即旅客可免费携带行李的最大质量为， 故选：C． 10．已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出的值，这样比较简便．利用加减消元法消去，得：，故①③正确；当时，代入方程组计算得：，故②正确；解出方程组的解，根据条件得，把方程组的解代入得，故④正确． 【详解】解：， ①②得：， ， 不论取何值，方程组总有一组解， 故①③正确； 当时，方程组为：， ①②得：， ， ，的值互为相反数， 故②正确； ， 解得：， ， ， ， ， 故④正确； 故选：A 二、填空题 11．若方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，根据方程的定义构造方程组是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，建立方程组计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：0． 12．关于的二元一次方程组的解中与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义，利用加减法求出方程组的解，再代入方程即可求出的值，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：， ∵与互为相反数， ∴， ∴得，， 把代入得，， 把，代入得， ， 故答案为：． 13．如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】先将点代入正比例函数求得，则交点的坐标即为方程组的解． 【详解】解：将点代入正比例函数，得 点为一次函数与正比例函数的图象的交点 的解为 故答案为： 【点睛】本题考查了两直线交点与二元一次方程组的关系，理解交点的坐标即为方程组的解是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，且，，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴的平行线，过作垂直于过与轴平行的直线，垂足为D，过作垂直于过与轴平行的直线，垂足为E，证明，可得，，设，可得，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作轴的平行线，过作垂直于过与轴平行的直线，垂足为D，过作垂直于过与轴平行的直线，垂足为E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，设， ∴，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，全等三角形的判定与性质，二元一次方程组的解法，熟练的构造全等三角形是解本题的关键． 15．当实数，满足时，称点 为创新点，若以关于x，y的方程组 的解为坐标的点为创新点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】用加减消元法解二元一次方程组，可到点坐标为，再由创新点的定义可得，，分别求出、由于、满足等式，即可求的值． 【详解】解：方程组， ①②，得， 将代入①，得， ， 点为创新点， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法和换元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）先设，，求出m，n，再利用m，n的值建立二元一次方程组，再求解即可． 【详解】（1）解： 由②得：③， 将③代入①得：， 解得： 将代入③得：， 所以原方程组的解为； （2）解：设，，则 原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：； ， 两式相加得：， 解得：， 将代入得：， 所以原方程组的解为． 17．对于实数a，b，定义运算“◆”：例如，．若x，y满足方程组求的值． 【答案】 【分析】本题考查实数的新定义运算，解二元一次方程组．先解二元一次方程组得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：解方程组得 ， ． 18．我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2)3 (3)3 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可； （3）先根据“最佳”方程组的定义求出m，n的值，再根据方程组的解的定义，得到关于p，q的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）中， ∴方程是最佳方程； （2）关于的二元一次方程是“最佳”方程， ， 解得； （3）∵方程组是“最佳”方程组， ∴， ∴， ∴原方程组为， ∵是方程组的解， ∴， 解得， ． 19．某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 【答案】(1)帽子件，手套件 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设第一次购买顶帽子，副手套，由题意得，即可求解； （2）设第二次购买了顶帽子，副手套，由题意得：，求出即可求解； 【详解】（1）解：设第一次购买顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， 故：第一学年购买帽子件，手套件 （2）解：设第二次购买了顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， ∴学校需要准备资金：（元） 20．快车和慢车均从甲地出发匀速行驶至乙地，在整个行驶过程中，快车和慢车离开甲地的距离与慢车行驶时间之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息解决下列问题． (1)甲、乙两地相距多少千米？ (2)分别求快车和慢车离开甲地的距离与的关系式 (3)快车出发后几小时追上慢车？ 追上时距离乙地还有多远？ (4)慢车出发几小时，两车相距？ 【答案】(1)600千米 (2)快车：；慢车： (3)2小时， (4)小时；小时；小时；小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据图象中的信息分别求出两车对应的函数解析式， （3）根据（2）联立两车对应的函数解析式，求解二元一次方程组，即可解答本题； （4）根据（2）中的函数解析式，分四种情况：当快车出发前；当快车出发后，追上慢车前；当快车追上慢车后，到达乙地前；当快车到达乙地后，慢车到达乙地前；两车相距，列方程求解即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可知， 甲、乙两地相距600千米． （2）解：设慢车对应的函数解析式为：， 把代入，得 ， 解得：， ∴慢车对应的函数解析式为：； 设快车对应的函数解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴快车对应的函数解析式为． （3）解：联立，得， 解得：， ， ， 答：快车出发后2小时追上慢车，追上时距离乙地还有． （4）解：由题意可得， 当快车出发前两车相距，则， 解得：； 当快车出发后，追上慢车前，两车相距，则， 解得：； 当快车追上慢车后，到达乙地前，两车相距，则 解得：； 当快车到达乙地后，慢车到达乙地前，两车相距，则， 解得：； 综上，慢车出发小时或小时或小时或小时，两车相距． 21．如图，已知直线经过点和点．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴交于点，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1) (2)； (3)9 【分析】（1）利用待定系数法把点，代入可得关于、得方程组，再解方程组即可求得直线的解析式； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可求得的坐标，根据直线与轴交于点，当时，，即可得出点D的坐标； （3）设直线交轴于点E，过点C作于F，求得直线、直线与轴的交点E坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把点，分别代入得， 解得，， 直线解析式为； （2）解：由解得，故， 点坐标； 直线与轴交于点， ， 当时，， ， （3）解：设直线交轴于点E，过点C作于F，如图，    令,则 ∴， ∵点，，． ∴，，， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，关键是正确求出直线的解析式． 22．新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形的面积等知识： （1）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （2）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （3）联立可得，可以求得当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标；根据题意和（2）的结果，可以求得两函数图象与y轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （2）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （3）解：联立得：， 整理得：， ∵， ∴， 即当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是1； ∵， ∴两函数解析式分别为，， 对于，当时，， 对于，当时，， ∴两函数图象与y轴的交点坐标分别为为， ∴（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为． 23．如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．    (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 【答案】(1)，直线AB的表达式； (2)点P的坐标为或； (3)m的值为4或6或3． 【分析】（1）将点的坐标代入直线可得出的值，即得点坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）设点的坐标为，先求出点B的坐标，然后根据 的面积为4求解即可； （3）分三种情况：当时，过点作轴于，过点作轴于，当时，过点作轴于，延长交直线于，当时，过点作直线于，过点作直线于，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， ， 将，代入直线，得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 直线的解析式为， ， ， 的面积为4，， ， 或， 点的坐标为或； （3）解：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况： ①当时，过点作轴于，过点作轴于，    ， ， ， ， ， ， ≌， ，， ，， ∴，， ， ； ②当时，过点作轴于，延长交直线于，    同理：≌， ，， ； ③当时，过点作直线于，过点作直线于，    同理：≌， ，， 设， ，， ，，，，， ， 解得 ， ； 综上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．和都是关于x，y的方程的解，则的值是（    ） A．5 B． C．7 D． 3．方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 4．有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何． ”其大意为：现有两匹马加一头牛价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 6．如图，相同的8块小矩形地砖拼成一个大矩形，每块小矩形地砖长是（    ）    A． B． C． D． 7．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足则此等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．8 C．11或13 D．11 8．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十.问：甲、乙持钱各几何?”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱60.问：甲、乙两人各带了多少钱?设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（    ） A． B． C．   D． 9．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量与其托运费用y(元)的关系如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为（  ） A． B． C． D． 10．已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 二、填空题 11．若方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 12．关于的二元一次方程组的解中与互为相反数，则的值为 ． 13．如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则方程组的解为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，且，，则点A的坐标为 ． 15．当实数，满足时，称点 为创新点，若以关于x，y的方程组 的解为坐标的点为创新点，则的值为 ． 三、解答题 16．解方程组： (1)； (2)． 17．对于实数a，b，定义运算“◆”：例如，．若x，y满足方程组求的值． 18．我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值． 19．某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 20．快车和慢车均从甲地出发匀速行驶至乙地，在整个行驶过程中，快车和慢车离开甲地的距离与慢车行驶时间之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息解决下列问题． (1)甲、乙两地相距多少千米？ (2)分别求快车和慢车离开甲地的距离与的关系式 (3)快车出发后几小时追上慢车？ 追上时距离乙地还有多远？ (4)慢车出发几小时，两车相距？ 21．如图，已知直线经过点和点．    (1)求直线的解析式； (2)若直线与轴交于点，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 22．新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 23．如图①，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．    (1)求点C的坐标及直线的表达式； (2)点P在y轴上，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$