第七章 平行线的证明（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版，辽宁专用）

第七章 平行线的证明 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等 2．下列条件：①；②；③；④．其中能判断为直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，处在的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，使落在上的，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角称为“倍角”若“倍角三角形”中有一个内角为，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是（   ） A． B． C．或 D．或或 10．如图，在中，分别平分，交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知的三个内角满足： ，则此三角形是 ． 12．如图，请直接写出． ． 13．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ．    14．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则 ． 15．如图，，，，， 则的度数为 ． 三、解答题 16．完成下面的解题过程，并在括号内填上依据： 如图，已知，，，试说明． 解：∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴ 即 ∴______ ∴ （____________） 17．如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．已知：如图，中，和是的角平分线，它们相交于O，过点O作于点D，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 19．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明． 20．现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 21．小学四年级我们已经知道三角形三个内角和是，对于如图1中，，交于点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①；②．试探究下面问题： 已知的平分线与的平分线交于点， (1)如图2，若，，，则 ； (2)如图3，若不平行，，，则 ； (3)在总结前两问的基础上，借助图3，探究与、之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明． 22．新定义：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”． (1)若在中，，，，则是关于________的“差倍角三角形”； (2)如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，求的度数． 23．直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合 (1)如图①，平分，平分，若，求的度数 (2)如图②，平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点，在运动过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质等等，根据对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、两点之间，线段最短，原命题是真命题，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．下列条件：①；②；③；④．其中能判断为直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，理解并掌握三角形内角和定理的应用是解题关键．根据三角形内角和定理，逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴，解得，故该三角形为直角三角形； ②∵，可设， ∴，解得， ∴，故该三角形为直角三角形； ③∵，， ∴， ∴，，故该三角形不是直角三角形； ④∵， ∴，， ∴，解得， ∴，，故该三角形是直角三角形． 综上所述，能判断为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 3．如图，处在的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，三角形内角和的运用，理解方位角，掌握三角形内角和定理是解题的关键．如图所示，根据题意，，，，可得，，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：C ． 4．如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 5．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；根据三角形的内角和定理求出，再根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：． 6．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角，根据三角形内角和定理，易得；设与交于点，根据三角形的外角易得，，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ， 由折叠的性质可得：， 如图，设与交于点， 由三角形的外角可得：，， 则． 故选：D． 7．如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，使落在上的，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，三角形外角的性质等知识；由三角形内角和得；由折叠性质得；由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 由折叠性质得：； ∵， ∴； 故选：A． 8．如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，先求出，进而求出，再根据角平分线定义得，及，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】∵ ∴， ∴. ∵和的平分线交于点E， ∴， ∴. ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：. 故选：C． 9．当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角称为“倍角”若“倍角三角形”中有一个内角为，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，分当有一个角的度数是角的度数的2倍时，当另外两个角中，其中一个角的度数是另外一个角的度数的2倍时，当的角是其中一个角的2倍是，三种情况结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵“倍角三角形”中有一个内角为， ∴有三种情况： 当有一个角的度数是角的度数的2倍时，则三角形的三个内角为：，另两个角为为倍角； 当另外两个角中，其中一个角的度数是另外一个角的度数的2倍时，则三角形的三个内角为：，另两个角分别为为倍角； 当的角是其中一个角的2倍是，三角形的三个内角为：，另两个角分别为为倍角； 故选：D． 10．如图，在中，分别平分，交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，先根据角平分线的定义可得，，再根据即可判断①正确；先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断③正确；先根据三角形的外角性质可得，再结合结论③即可判断②正确；假设④正确，从而可得，再根据结论②可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵平分，为外角的平分线， ∴，， ∵， ∴，结论①正确； ∵平分， ∴， ∴ ，结论③正确； 又∵， ∴， ∴，结论②正确； 假设， ∴， 解得， ∴， 由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故选：C． 二、填空题 11．已知的三个内角满足： ，则此三角形是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，理解并掌握直角三角形定理是解题关键．根据题意可得，，结合三角形内角和定理解得的值，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 12．如图，请直接写出． ． 【答案】/180度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 连接，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 13．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ．    【答案】/75度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和三角板中角度的特点求出的度数，再根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：．    14．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理和外角性质，先根据三角形的内角和定理，结合已知求得、的度数，再根据折叠性质求得，的度数，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠性质得，， ∴， 故答案为：80． 15．如图，，，，， 则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、三角形内角定理等知识．过点F作，过点E作，设，，则，，，再求出，则，解得，即可求出的度数． 【详解】解：过点F作，过点E作， 设，，则，， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 三、解答题 16．完成下面的解题过程，并在括号内填上依据： 如图，已知，，，试说明． 解：∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴ 即 ∴______ ∴ （____________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，读懂推理过程是解题的关键；结合图形，读懂解题过程即可完成． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等)； ∵， ∴（等量代换)； ∵， ∴； 即； ∴； ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 17．如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可； （2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 18．已知：如图，中，和是的角平分线，它们相交于O，过点O作于点D，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，垂线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）由角平分线的定义可得出，由三角形内角和定理可求出，从而可求解； （2）由角平分线的定义可得出，结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 19．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解 ，， ， 平分， ， ， ； （2）解： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 20．现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据，可得． （2）由折叠的性质可得，再根据，代入数值化简，即可得到． （3）根据，可得，再由，即可得到． 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：如图，，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．小学四年级我们已经知道三角形三个内角和是，对于如图1中，，交于点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①；②．试探究下面问题： 已知的平分线与的平分线交于点， (1)如图2，若，，，则 ； (2)如图3，若不平行，，，则 ； (3)在总结前两问的基础上，借助图3，探究与、之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的性质． （1）先求得，，利用角平分线的定义求得，，根据题意，即可求解； （2）根据角平分线的定义，结合题干求得，代入数据即可求解； （3）根据角平分线的定义，题干给出的结论即可求解． 【详解】（1）解：平分，平分，，， ∴，， ，， ， ； 故答案为：； （2）， 解：平分，平分 ，， ，， ． ． ∴． 故答案为：； （3）解：，理由如下， 平分，平分 ，， ，， ． ． 22．新定义：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”． (1)若在中，，，，则是关于________的“差倍角三角形”； (2)如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理及“差倍角三角形”． （1）由题意得，再根据“差倍角三角形”的定义即可得出答案； （2）先根据角平分线的定义得出，再由三角形内角和定理得，再由“差倍角三角形”的定义得，进而可得，再由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是关于的“差倍角三角形”， 故答案为：； （2）解：∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是关于的“差倍角三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合 (1)如图①，平分，平分，若，求的度数 (2)如图②，平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点，在运动过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律 【答案】(1) (2)①；②不变， 【分析】（1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理求出，由角平分线的定义得出，，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）①由垂线的定义得出，由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解；②由垂线的定义得出，由角平分线的定义得出，，由三角形外角的定义得出，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②不变， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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