第十六章二次根式基础版讲义2024-2025学年人教版数学八年级下册

二次根式 一、二次根式的概念及性质 【知识笔记】 1、二次根式的定义: 一般地,形如 的式子叫做二次根式,其中“ ”叫做二次根号; 2、二次根式 有意义的条件: ,即二次根式具有双重非负性; 经典例题 1. 下列各式中 ,二次根式的个数是( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 巩固练习 1. 下列各式中, 一定是二次根式的有( ) ① ② ⑥ ⑦ A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 经典例题 2. 能使 有意义的 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 巩固练习 2. 若 在实数范围内有意义,则 的取值范围为_____. 经典例题 3. 要使式子 有意义,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 巩固练习 3. 若 在实数范围内有意义,则 的取值范围为_____. 经典例题 4.若代数式 有意义,则 的取值范围为_____. 巩固练习 4.若二次根式 有意义,且 是一个完全平方式,则满足条件的 值为( ) A. B. C. 8 D. -4 经典例题 5. (1) 已知 ,则 _____； (2) 已知实数 满足 ,则 _____. 巩固练习 5. (1) 若 ,则 _____； (2) 已知 是直角三角形的两条直角边边长,且满足等式 ,则该直角三角形的面积是_____. 二、最简二次根式 【知识笔记】 最简二次根式定义: 一般地, 被开方数不含分母, 也不含能开得尽方的因数或因式, 这样的二次根式, 叫做最简二次根式. 注意:最简二次根式必须满足下列条件:① 被开方数不含开得尽方的因数或因式；② 被开方数不含分数; ③ 分母中不含根号. 经典例题 1.下列式子哪些是最简二次根式? 哪些不是? 为什么? ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ ; ⑥ ; ⑦ ; ⑧ 巩固练习 1.判断下列二次根式是否是最简二次根式: 经典例题 2.化简: _____ 巩固练习 _____ 巩固练习 3.计算: _____. 经典例题 3.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 巩固练习 4. 下列式子中, 为最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 经典例题 4. 下列根式中, 属于最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 巩固练习 5. 下列式子中最简二次根式是 ( ) A. B. C. D. 巩固练习 6. 下列式子中, 属于最简二次根式的是 ( ) A. B. C. 三、分母有理化 【知识笔记】 经典例题 1.分母有理化: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 巩固练习 1. 化简: (1) (2) (3) (4) 经典例题 2. 已知 ,则 与 的数量关系是( ) A. B. C. D. 巩固练习 2. 已知 ,则 与 的关系是( ) A. B. C. D. 经典例题 3. 已知 ,求 的值. 巩固练习 3. 已知整数 , 满足 ,则 _____. 经典例题 4.化简 时,甲的解法是: ,乙的解法是: ,以下判断正确的是( ) A. 甲的解法正确, 乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确, 乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 巩固练习 4. 阅读下面问题: 试求: (1) 的值; (2) ( 为正整数) 的值; (3) 计算: . 经典例题 5. 阅读下列材料, 然后解答下列问题: 在进行代数式化简时,我们有时会碰上如 这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简: (一) ; (二) ; (三) . 以上这种化简的方法叫分母有理化. (1)请用不同的方法化简 ； ① 参照(二)式化简 _____； ② 参照(三)式化简 _____； (2) 化简: . 巩固练习 5. 阅读下列村料,然后回答问题: 在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如 这样的式子, 我们还可以将其进一步化简: 以上这种化简过程叫做分母有理化 还可以用以下方法化简: (1) 请用其中一种方法化简 ； (2) 化简: . 四、二次根式的乘除 【知识笔记】 1、二次根式的乘法法则: ; 2、二次根式的除法法则: . 经典例题 1.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 巩固练习 1. 下列计算中, 正确的是( ) A. B. C. D. 经典例题 2.计算 (1) (2) (3) (4) 巩固练习 2.计算 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 经典例题 3. 化简: _____ 巩固练习 3.计算: _____. 经典例题 4.计算: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 巩固练习 4.计算: (1) (2) . 五、二次根式的加减 【知识笔记】 1、同类二次根式: 把几个二次根式化为最简二次根式后, 若被开方数相同, 则这几个二次根式就是同类二次根式。判断步骤:① 先化成最简二次根式；② 被开方数相等； 2、合并同类二次根式: 将根号外的因数或因式相加, 根号部分不变; 3、二次根式加减运算步骤:① 化成最简二次根式；② 找出同类二次根式；③ 合并同类二次根式. 经典例题 1.在 、 、 、 、 中,为同类二次根式的是_____. 巩固练习 1.在 、 、 、 中,与 是同类二次根式的是_____. 经典例题 2.已知最简二次根式 和 是同类根式,那么 _____； 巩固练习 2. 若最简根式 与 是同类二次根式,则 _____； 经典例题 3.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 巩固练习 3. 下列计算结果正确的是( ). A. B. C. D. 经典例题 4. 计算: _____. 巩固练习 4.计算: ; 经典例题 5.计算: (1) ; 巩固练习 5.计算: (1) (2) 六、二次根式的混合运算 【知识笔记】 二次根式混合运算的运算顺序:① 先算乘方,再算乘除,最后算加减；② 如果有括号,先算括号里面(小括号一中括号一大括号)；③ 同级运算,从左到右依次运算. 经典例题 1. 下列计算中, 正确的是( ) A. B. C. D. 巩固练习 1. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 经典例题 2.计算 (1) (2) 巩固练习 2.计算、解方程、不等式组. (1) ; (2) ; 经典例题 3.计算: (1) ; (2) . 巩固练习 3.计算: (1) (2) 经典例题 4. (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 巩固练习 4.计算下列各式. (1) . (2) . 七、二次根式的比较大小 【知识笔记】 比较大小的几种方法: ① 作差法:若 ,则 ；若 ,则 ； ② 作商法:若 为正数且 ,则 ; 若 为负数且 ,则 ; ③ 平方法; ④ 分母有理化法； ⑤ 分子有理化法. 经典例题 1.比较下列二次根式的大小: (1) 与 (2) 与 (3) 与 (4) 与 (5) 与 (6) 与 巩固练习 1. 比较下列二次根式的大小: (1) 与 (2) 与 (3) 与 (4) 与 经典例题 2.比较大小: _____ 0.5 . 经典例题 3.比较大小: _____ . 经典例题 4. 比较大小: _____ . 八、二次根式的估算 【知识笔记】 若 ( 为两个连续的正整数,如 1 和 2,或 4 和 5 ),则 ,即 介于两个正整数 之间。 经典例题 1.估计 的值应在( ) A. 2 和 3 之间 B. 3 和 4 之间 C. 4 和 5 之间 D. 5 和 6 之间 巩固练习 1. 估计 的值应在( ) A. 2 和 3 之间 B. 3 和 4 之间 C. 4 和 5 之间 D. 5 和 6 之间 经典例题 2.估计 的值应在( ) A. 4 和 5 之间 B. 5 和 6 之间 C. 6 和 7 之间 D. 7 和 8 之间 巩固练习 2. 估计 的值应在 A. 7 和 8 之间 B. 8 和 9 之间 C. 9 和 10 之间 D. 10 和 11 之间 经典例题 3. 估算 的运算结果在( ) A. 5 和 6 之间 B. 6 和 7 之间 C. 7 和 8 之间 D. 8 和 9 之间 巩固练习 3.估计 的值应在( ) A. 3 和 4 之间 B. 4 和 5 之间 C. 5 和 6 之间 D. 6 和 7 之间 经典例题 4.估计 的值应在 A. 1 和 2 之间 B. 2 和 3 之间 C. 3 和 4 之间 D. 4 和 5 之间 巩固练习 4.估计 的值应在( ) A. 5 和 6 之间 B. 6 和 7 之间 C. 7 和 8 之间 D. 8 和 9 之间 经典例题 5.估计 的运算结果应在下列哪两个数之间( ) A. 4.5 和 5.0 B. 5.0 和 5.5 C. 5.5 和 6.0 D. 6.0 和 6.5 巩固练习 5. 估计 的运算结果应在( )之间. A. 1 和 2 B. 2 和 3 C. 3 和 4 D. 4 和 5 学科网（北京）股份有限公司 $$