14.1.2 幂的乘方 课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

14.1 整式的乘法 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1.2 幂的乘方 合作探究： 猜想： 利用 和 完成填空。 （1）(82)3= =8（ ）=8（ ） （2）(a2)3= =a（ ）=a（ ） （3）(am)3= =a（ ）=a（ ） (m是正整数） n个a 温故而知新 2、同底数幂的乘法公式： 1、乘方的意义： n个a 求n个相同因数的积的运算。 同底数幂相乘，底数不变，指数相乘。 10 103 ＝边长2 ＝边长×边长 S正 问题1 请分别求出下列两个正方形的面积？ S小 ＝10×10 ＝102 ＝103×103 S大 =（103）2 ∵103×103 探索新知 ∴（103）2=106 =106 =3（ ） =3（ ）×（ ） (32)3= ___ ×___ ×___ =3（ ）+（ ）+（ ） 问题2 请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察 计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想. 32 32 32 2 2 2 2 3 6 猜想：(am)n=_____. amn 探索新知 即幂的乘方，底数______，指数＿__＿. 不变 相乘 探索新知 幂的乘方法则 (am)n= amn (m，n都是正整数） = am ·am ·am …am· am = a m+m+…+m n个am n个m 证明： (am)n amn = 例1 计算： （1）（103）5 解: (1) (103)5 (2) (a2)4 (3) (am)2 （3）（am）2 （2）（a2）4 典例精析 = 103×5 = 1015 = a2×4 = a8 =am·2 =a2m 例1 计算： (4)-(x4)3 解：(4) -(x4)3 (6)[(﹣x)4]3 (5)[(x+y)2]3 (5)[(x+y)2]3 (6)[(-x)4]3 典例精析 =-x12 =-x4×3 =(x+y)6 = (x+y)2×3 = x12 = (-x)12 = (-x)4×3 方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式． (-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号. (-a2)5和(-a5)2的结果相同吗?为什么? 不相同. (-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号. 比一比 幂的乘方: 想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？ ＝(a6)4 [(y5)2]2=_____=________ [(x5)m]n=______=________ 练一练： (y10)2 y20 (x5m)n x5mn 探索新知 ＝a6×4 ＝a24 议一议: 符号表示 相同点 不同点 同底数幂相乘 幂的乘方 指数相乘 同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？ 底数不变 指数相加 am · an = am+n (am)n= amn 例2 计算： ①(x4)3·x6; ②a2(－a)2(－a2)3＋a10. 解: 原式= -a2·a2·a6＋a10 = -a10＋a10 典例精析 x12·x6 = x18 = 0 解: 原式= 忆一忆有理数混合运算的顺序 先乘方，再乘除，最后算加减 方法总结：与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项． 巩固复习： (1)若xa＝4，xb＝6，xc＝5，求2xa＋b＋c的值． (2)已知22x＋3＝32，求x的值. 解：(1) 2xa＋b＋c ＝2xa·xb·xc ＝240 =2×4×6×5 (2) ∵ 22x＋3＝32＝25 ∴2x＋3＝5 ∴x＝1 方法总结：(1)关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形式，然后再求值. (2)关键是将等式两边转化为底数相同的形式，然后根据指数相等列方程解答. 例3 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. 典例精析 (1)103m； (2)102n； (3)103m＋2n． 解：原式＝(10m)3 ＝33 ＝27 解：原式＝（10n)2 ＝22 ＝4 解：原式＝ 103m×102n ＝27×4 ＝108 方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可. (1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值； (2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值． 解：(1) (x3n)4 变式训练 (2) ∵2x＋5y－3＝0 ∴2x＋5y＝3 ＝8 ＝729 ＝36 ＝(x2n)6 ＝x12n ∴4x·32y ＝(22)x·(25)y ＝22x·25y ＝22x＋5y ＝23 例4 比较3500,4400,5300的大小. 典例精析 解:3500=(35)100=243100， 4400=(44)100=256100， 5300=(53)100=125100. ∵256100>243100>125100 ∴4400>3500>5300 解析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,故可以考虑逆用幂的乘方法则. 方法总结 比较底数大于1的幂的大小的方法有两种: (1)底数相同,指数越大,幂就越大; (2)指数相同,底数越大,幂就越大. 一般先观察题目所给数据的特点,将其转化为同底数的幂或同指数的幂,然后再进行大小比较. 1．(x4)2等于 ( ) A．x6 B．x8C．x16 D．2x4 2.下列各式的括号内，应填入b4的是( ) A．b12＝(　)8 B．b12＝(　)6 C．b12＝(　)3 D．b12＝(　)2 3．下列计算中，错误的是( ) A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7 C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2＝(a－b)6 4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 1．(x4)2等于 ( ) A．x6 B．x8 C．x16 D．2x4 B 2.下列各式的括号内，应填入b4的是( ) A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6 C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2 C 课堂练习 3．下列计算中，错误的是( ) A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7 C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2＝(a－b)6 B 4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 B 课堂练习 4．计算： (1)5(a3)4－13(a6)2； (2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2； (3)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9. 5.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值. 6.已知a=355,b=444,c=533,试比较a,b,c的大小. 7.⑴ (a2)3 ⑵ a2·a3 ⑶ (y5)5 ⑷ y5·y5 (5) (x2)3· (x2)2 (6) －(xn)2· (x3)2m (7) (y3)4· (y4)3 (8) (a2)3+a3 · a3 4．计算： (1)5(a3)4－13(a6)2； (2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2； (3)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9. 课堂练习 解：原式＝5a12－13a12 ＝－8a12 解：原式＝(x＋y)18－(x＋y)18 ＝0 解：原式＝－7x9·x7＋5x16－x16 ＝－3x16 5.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值. 课堂练习 解:∵3x+4y-5=0 ∴3x+4y=5 ∴27x·81y =33x·34y =243 =35 =33x+4y =(33)x·(34)y 6.已知a=355,b=444,c=533,试比较a,b,c的大小. 拓展提升 解:a=355=(35)11=24311, b=444=(44)11=25611, c=533=(53)11=12511. ∵256>243>125 ∴b>a>c $$