精品解析：广东省广州天省实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

高二年级数学试题 注意：1．考试时间为150分钟．满分为150分. 2．试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 3．选择题答案必须用2B铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在问卷指定位置作答. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 7. 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，则在上的投影向量为 10. （多选）已知双曲线的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（   ） A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为 C. D. 11. 在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点到平面的距离为定值 C. 当时，点在以的中点为端点的线段上 D. 当时，平面 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为______. 13. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 14. 圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆的离心率为_____________． （2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． （1）求焦点坐标，焦距，短轴长； （2）若直线的倾斜角为，求的面积． 16. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. （1）求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的焦距为，分别为左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点的切线方程为．点为直线上的动点，过点作椭圆的两条不同切线，切点分别为，直线交轴于点．证明：为定点； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试题 注意：1．考试时间为150分钟．满分为150分. 2．试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 3．选择题答案必须用2B铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在问卷指定位置作答. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，，结合，得，进而解得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义可知，且， 因为，所以， 又，故， 所以． 故选：C 3. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求得点坐标，根据直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点， 所以，由解得， 则，而，所以， ， 两边除以得，解得或（舍去）. 故选：D 4. 已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，，，则，，分别计算出，，利用计算即可. 【详解】设，，，则，，，从而， ，， ， 所以. 故选：D． 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查了空间向量的基本定理的应用，也可以通过平移，构造三角形，解三角形来解决. 5. 设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得当最小时，CP连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为，切点为 由题意得当最小时，CP连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为， 故选：D. 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由两条切线的夹角是，得圆的半径是2，从而可求. 【详解】圆，设圆心，半径， 如图所示，过点与圆相切的直线，切点为， 连接,显然 由题意，可知相切的两直线垂直，且， 所以四边形是正方形， 因此 故选：A. 7. 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 8. 已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 【详解】 直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点， 又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆， 即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切， 所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围. 设设圆的半径为， 因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值， ， 又因为，即， 即， 所以，即， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：结合已知直线过定点，求出交点的轨迹方程是关键. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，则在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据已知得出，即可判断A项；根据空间向量的有关定义及其结论，可判断B、C项；根据投影向量的概念，即可得出D项. 【详解】对于A项，由已知可得，所以或，故A项错误； 对于B项，因为，所以四点不共面，故B项错误； 对于C项，根据空间向量基底的概念，可知C项正确； 对于D项，因为，， 所以，在上的投影向量为，故D项正确. 故选：CD. 10. （多选）已知双曲线的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（   ） A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出，即可求出双曲线的渐近线方程，即可判断AB；利用圆的弦长公式求出，即可判断CD. 【详解】由题意可得，设，则， 所以圆的圆心为，半径长为， 双曲线的渐近线方程为，即，故A错误，B正确； 圆心A到渐近线的距离， 所以弦长， 可得是边长为的等边三角形，即有，故C正确，D错误. 故选：BC. 11. 在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点到平面的距离为定值 C. 当时，点在以的中点为端点的线段上 D. 当时，平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由和平面即可判断；对于C，分别取和的中点和，由即即可判断；对于D，先求证平面，接着即可求证平面，进而即可求证平面. 【详解】对于A，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在上，故A错误； 对于B，当时，， 又，所以即，又， 所以三点共线，故点在棱上， 由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，当时，取的中点的中点， 所以且，，即， 所以即，又， 所以三点共线，故在线段上，故C正确； 对于D，当时，点为的中点，连接， 由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以， 设与相交于点O，则，即， 又，平面， 所以平面，因为平面， 所以，由正方形性质可知， 又，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于求证平面，可先由和得平面，从而得，接着求证得平面，进而，再结合即可得证平面. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为______. 【答案】24 【解析】 【分析】根据方程可知，利用椭圆的定义运算求解. 【详解】如图所示： 根据椭圆方程可知， 因为点A，B在椭圆上， 所以的周长为 . 故答案为：24. 13. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 14. 圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆的离心率为_____________． （2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为_____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义，结合已知求出离心率； （2）根据给定条件，利用光的反射定理结合椭圆定义求出椭圆长半轴长即可求解. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，则由发出的光经椭圆两次反射后回到， 经过的路程为，从而； （2）如图，延长，交于点， 在中，，由反射角等于入射角，得， 则，且为中点， 在中，， 则，， 所以椭圆方程为． 故答案为： ； 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为(A>0，B>0，A≠B)． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． （1）求焦点坐标，焦距，短轴长； （2）若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】（1）焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【小问1详解】 设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； 【小问2详解】 设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 16. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【小问1详解】 由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； 【小问2详解】 由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即. 17. 如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. （1）求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接、，如图所示： ，点是的中点， ， 又是的中点， ， 又在直三棱柱中，有， 平面 ， 平面， 平面，且面，平面平面， ， 平面，且平面， ， 又，且、平面， 平面， 又， 平面， 平面， 面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明； （2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，则， 设，则，，， ， 由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大， 此时， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则有，取，解得， 设直线与平面所成的角为， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 19. 已知椭圆的焦距为，分别为左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点的切线方程为．点为直线上的动点，过点作椭圆的两条不同切线，切点分别为，直线交轴于点．证明：为定点； 【答案】（1）； （2） 设，，. 则由已知可得，方程为：，方程为：. 将代入、方程整理可得， ，. 显然、点坐标都满足方程. 即直线的方程为， 令，可得，即点坐标为. 所以，为定点. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设，，，根据已知可得以及方程，代入点坐标，即可得出直线的方程.令，可求得为常数. 【小问1详解】 如图1，由已知可得，， 所以. 又，所以，. 所以，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $