期末高频易错培优：数学广角——集合（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学人教版

数学广角——集合 【思维导图+知识精讲+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了期末高频易错专项培优的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为期末拓展培优而设计，对期末高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 第三部分 高频真题 一、选择题 1．在学校运动会上，参加短跑的有12人，参加接力赛的有8人，这两项比赛都参加的有4人。这两项比赛共有（    ）人参加。 A．16 B．8 C．10 2．妈妈和王阿姨买菜，妈妈买了西红柿、黄瓜、茄子、白菜，王阿姨买了白菜、西红柿、蘑菇，妈妈和王阿姨共买了（    ）种菜。 A．5 B．6 C．7 3．既存在于大于50小于60的数之中，又大于55小于65的数有（    ）个。 A．6 B．4 C．5 4．三一班一共有16人参加了两个体育小组，其中参加篮球队的有10人，参加羽毛球队的有8人，两个小组都参加的有（    ）人。 A．8 B．6 C．2 5．某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22人，获得“速算小能手”称号的有35人，两种称号都获得的有15人，全班每人至少获得了一种称号。三（1）班一共有（    ）人。 A．57 B．62 C．42 6．三年级共有33人参加数学竞赛。有两道画图题，做对第1题的有28人，做对第二题的有16人，两道题都做对的有（    ）人。（33人中每人至少做对1题） A．5 B．17 C．11 7．三（1）班参加书法兴趣小组的有28人，参加音乐兴趣小组的有32人，两个兴趣小组共有45人，既参加书法兴趣小组又参加音乐兴趣小组的有（    ）人。 A．60 B．73 C．15 8．同学们到动物园游玩，参观大象馆的有31人，参观狮子馆的有23人，两个馆都参观的有19人。去动物园的一共有（    ）人。 A．31 B．54 C．35 二、填空题 9．三（1）班有45名学生，喜欢画画的有24人，喜欢运动的有36人（每人至少喜欢一种）。两种都喜欢的有( )人。 10．明明排队去做操，从前数起明明排第9，从后数起明明排第4，一共有( )人。 11．小明说他家有两个爸爸还有两个儿子，可他又说他家只有三个男人,那么他家的三个男人分别是( )、( )、( ). 12．三（一）班同学去参观王城动物园，参观大象馆的有25人，参观老虎馆的有21人，两个馆都参观的有9人，三（一）班有( )人。 13．一次测试有两道题，答对第一道题的有26人，答对第二道题的有20人，两道题都答对的有10人，两道题都没有答对的有5人。一共有( )人参加这次测试。 14．王老师对三（1）班全体学生进行统计，这个班的同学至少会篮球和游泳中的一项。会打篮球的有21人，会游泳的有17人，既会打篮球又会游泳的有10人，只会打篮球的有( )人，只会游泳的有( )人，三（1）班一共有( )人。 15．三（2）班有50人，都别报名参加课后延时特色社团，参加书法社团的有35人，参加竹笛社团的有27人，其中两项都报名的有( )人。 16．妈妈在超市排队付账，她从前面数是第10人，从后面数是第5个，这里一共有( )个人在付账。 三、判断题 17．三（1）班同学喜欢打篮球有16人，喜欢踢足球有15人，两项都喜欢的有8人，一共调查了31人。( ) 18．六一汇演中，报名参加唱歌的有8人，跳舞的有16人，两项都参加的有4人，参加这两项表演的一共有20人。( ) 19．张爷爷的菜园里种了芹菜、豆角、黄瓜、西红柿、西兰花5种蔬菜，李伯伯的菜园里种了黄瓜、西红柿、豆角、辣椒、萝卜5种蔬菜。张爷爷和李伯伯一共种了10种蔬菜。( ) 20．4米长的钢管，剪下米后，还剩下3米。( ) 21．从前数起明明排第9，从后数起明明排第4，这排小朋友一共有13人．    ( ) 22．调查了20名学生参加书法和绘画小组的情况，每人至少参加一种兴趣小组。有12人参加书法小组，有8人参加绘画小组。说明没有人这两种兴趣小组都参加了.( ) 23．到动物园参观，（每人至少参观一项），参观熊猫馆的有10人，参观大象馆的有8人，两个馆都参观的有3人，一共有15人参观。( ) 24．全班有45人，每人至少订一种刊物，订《漫画大王》的有37人，订《故事大王》的有29人，两种刊物都订的有21人。( ) 四、计算题 25．口算。 730－180＝    76×5＝       430－260＝    600×8＝ 204×2＝       500－90＝    97－24＝       403×4＝ 600－400＝    340×3＝      530×4＝      400－300＝ 26．竖式计算，带△的要验算。 263＋317    460×7    714－465 145×7    △359＋498 363×4    △913－658 27．递等式计算。 24÷3×716           890－358×2 五、作图题 28．涂一涂． 六、解答题 29．一个人沿着一条路走了全长的二分之一后,又走了剩下的二分之一,还剩下1千米,则这条路全长多少千米? 30．学校乐队招收新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都会的有5名。学校乐队招收了多少名新学员？ 31．一个班有36名学生，在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。有多少名学生两题都答错了？ 32．三年级订《故事书》的有20人，订《童话世界》的有18人，两种书都订的有8人，订这两种书的一共有多少人？ 33．学校举行植树活动，三年级学生植树棵数占全校植树总棵数的，四年级学生植树棵数占总数的．其它年级学生植树棵数占总数的几分之几？ 34．一个班有小学生55人，订阅小学生数学报的有12人，订阅少年报的有9人，两种报纸都订的有5人，（1）订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都不订的有多少人？ 35．甲、乙、丙和一些同学围坐在一张大圆桌旁。如从甲开始数起，那么顺时针方向的第13人是乙，逆时针方向的第15人是丙；另外，乙是从丙开始数起，顺时针方向的第7人。圆桌旁总共坐有多少人？ 参考答案： 1．A 【分析】根据题意可知，用参加短跑的人数加参加接力赛的人数后，再减去这两项比赛都参加的人数即可。 【详解】12＋8－4 ＝20－4 ＝16（人） 故答案为：A 【点睛】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 2．A 【分析】根据题意可知，用妈妈买蔬菜的种数加王阿姨买蔬菜的种数后，再减去妈妈和王阿姨都买的蔬菜的种数即可。 【详解】4＋3－2 ＝7－2 ＝5（种） 故答案为：A 【点睛】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 3．B 【分析】根据题意可知，大于50小于60的数有51、52、53、54、55、56、57、58、59； 大于55小于65的数有：56、57、58、59、60、61、62、63、64，依此选择即可。 【详解】根据分析可知，既存在于大于50小于60的数之中，又大于55小于65的数有：56、57、58、59，一共有4个。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握集合问题的特点，是解答本题的关键。 4．C 【解析】参加篮球队的人数加上羽毛球队人数之和减去参加两个组的人数，就是两个小组都参加了的人数。 【详解】10＋8－16=2（人） 故答案为：C 【点睛】主要考查学生的集合思想。 5．C 【分析】由题可得，用获得“阅读之星”称号的人数加上获得“速算小能手”称号的人数，再减去两种称号都获得的人数，即可求出总人数。 【详解】22＋35－15 ＝57－15 ＝42（人） 三（1）班一共有42人。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查了集合的实际应用，解题关键在于掌握“总数＝两部分之和－重叠部分”。 6．C 【分析】用做对第1题的人数加做对第2题的人数，减全班人数，就是两道题都做对的有几人。 【详解】28＋16－33 ＝44－33 ＝11（人） 故答案为：C 【点睛】本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是两道都对的重叠部分，知识点是：既A又B＝（A＋B）－总人数。 7．C 【分析】根据容斥原理，两个兴趣小组共有的人数＝参加书法兴趣小组的人数＋参加音乐兴趣小组的人数－既参加书法兴趣小组又参加音乐兴趣小组的人数，代入数据解答即可。 【详解】28＋32－45 ＝60－45 ＝15（人） 故答案为：C。 【点睛】本题考查集合问题，关键掌握重叠部分不能被重复计算。 8．C 【分析】参观熊猫馆的人数加上参观大象馆的人数的和，再减去两个馆都参加的人数即可解答。 【详解】31＋23－19 ＝54－19 ＝35（人） 故答案为：C 【点睛】熟练掌握利用容斥原理的解决问题方法是解答本题的关键。 9．15 【分析】根据“喜欢画画的有24人，喜欢运动的有36人”可得两者的总人数，这其中把两种都喜欢的人数多计算了一次，再用两者的总人数减去三年级（1）的真实学生数，就是两种都喜欢的有多少人。 【详解】24＋36－45 ＝60－45 ＝15（人） 三（1）班有45名学生，喜欢画画的有24人，喜欢运动的有36人（每人至少喜欢一种）。两种都喜欢的有（15）人。 10．12 【分析】由题意可知，明明是从前面数第9人，又是从后面数的第4人。而两者相加，明明正好被多加了一次，应减掉1，所以这队人共有：9＋4－1＝12（人），由此解答。 【详解】9＋4﹣1 ＝13﹣1 ＝12（人） 这排小朋友一共有12人。 【点睛】解决本题关键是要注意两种数法都把明明数进去了，这样明明被多算了一次，所以再减去1。 11． 爸爸 爷爷 小明 12．37 【分析】两个馆都参观的有9人，即这9人即在25人中，也在21人中，求出25与21的和是46，即可知这46人中把两个馆都参观的有9人多算了1遍，所以用46减9即可求出总人数。 【详解】25＋21－9 ＝46－9 ＝37（人） 【点睛】9人即在25人中算过，也在21人中算过，总人数＝参观大象馆人数＋参观老虎馆人数－两馆都参观的人数。 13．41 【分析】根据容斥原理，答对第一道题的人数＋答对第二道题的人数－两道题都答对的人数＋两道题都没有答对的人数＝一共参加测试的人数，代入数据解答即可。 【详解】26＋20－10＋5 ＝46－10＋5 ＝36＋5 ＝41（人） 【点睛】本题考查集合问题，解决本题的关键是理清题目中数量间的关系。 14． 11 7 28 【分析】用会打篮球的人数减去既会打篮球又会游泳的人数就是只会打篮球的人数，同理，求出只会游泳的人数。用会打篮球的人数加上会游泳的人数，再减去既会打篮球又会游泳的人数，求出总人数。 【详解】21－10＝11（人） 17－10＝7（人） 21＋17－10＝28（人） 只会打篮球的有11人，只会游泳的有7人，三（1）班一共有28人。 【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。 15．12 【分析】用参加书法社团的人数加上参加竹笛社团的人数，再减去三（2）班的总人数，求出两项都报名的人数。 【详解】35＋27－50＝12（人） 其中两项都报名的有12人。 【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去实际总量，求出重叠部分。 16．14 【分析】用从前面数的人数，加上从后面数的人数，再减去1即可解答。 【详解】10＋5－1 ＝15－1 ＝14（人） 【点睛】从前面数和从后面数都含了她本人，计算时把重复计算的要减去掉。 17．× 【分析】先用16加上15求出两者的和，再减去重复计算的8人即可。 【详解】16＋15－8 ＝31－8 ＝23（人） 一共调查了23人，所以原题的说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查集合问题的灵活应用，总人数＝（A＋B）－既A又B。 18．√ 【分析】用参加唱歌的人数加上参加跳舞的人数，减去两项都参加的人数，求出参加这两项表演的人数。 【详解】8＋16－4＝20（人） 参加这两项表演的一共有20人。题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。 19．× 【分析】张爷爷的菜园里种了5种蔬菜，李伯伯的菜园里种了5种蔬菜，其中重复的有豆角、黄瓜、西红柿3种，先用5加5求出两个人种的种类数的和，然后再减去重复计算的种类数3即可。 【详解】5＋5－3 ＝10－3 ＝7（种） 张爷爷和李伯伯一共种了7种蔬菜，所以题目说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 20．× 【分析】剩下的长度＝钢管的总长度－剪下部分的长度，据此计算。 【详解】4－＝（米） 故答案为：× 【点睛】米是具体的长度，可以直接和4米相减求差。 21．× 22．√ 23．√ 【分析】参观熊猫馆的人数＋参观大象馆的人数－两个馆都参观的人数＝到动物园参观的总人数，依此列式并计算。 【详解】10＋8－3 ＝18－3 ＝15（人） 即一共有15人参观。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握集合问题的计算方法是解答此题的关键。 24．√ 【分析】根据“订《漫画大王》的有37人，订《故事大王》的有29人”，可得两者的总人数：37＋29＝66人，这其中把两项都订的人数多计算了一次，可得两项都订的有：66－45＝21人，据此解答即可。 【详解】37＋29﹣45 ＝66﹣45 ＝21（人） 所以两种刊物都订的有21人，故原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是两项都会的重叠部分，知识点是：既A又B＝（A＋B）－总人数。 25．550；380；170；4800 408；410；73；1612 200；1020；2120；100 26．580；3220；249 1015；857 1452；255 【分析】整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进—；整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退—作十，和本位上的数合并在一起，再减；整数乘法竖式的计算方法进行计算：从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的数加起来。 【详解】263＋317＝580          460×7＝3220           714－465＝249                       145×7＝1015          △359＋498＝857           验算： 363×4＝1452          △913－658＝255             验算： 27．5728；174 【分析】24÷3×716此题先算除法，再算乘法； 890－358×2此题先算乘法，再算减法。 【详解】24÷3×716 ＝8×716 ＝5728 890－358×2 ＝890－716 ＝174 28． 29．4千米 30．42名 【分析】会拉小提琴的人数加会弹电子琴的人数，再减去两项都会的人数即可解答。 【详解】25＋22－5 ＝47－5 ＝42（名） 答：学校乐队招收了42名新学员。 【点睛】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。 31．3名 【分析】答对第一题的25人加上答对第二题的23人，再减去两题都答对的15人，得到至少答对一题的有33人，总人数减去至少答对一题的人数，得到两题都答错的人数。 【详解】（名） （名） 答：有3名学生两题都答错了。 【点睛】可以把总人数分成两类，至少答对一题的反面就是一道题也没有答对。 32．30人 【分析】因为两种杂志都订的有8人，所以重叠部分是8人，根据容斥原理求出订这两种杂志的一共是：20＋18－8＝30人，由此得出答案即可。 【详解】20＋18－8 ＝38－8 ＝30（人） 答：订这两种杂志的一共有30人。 【点睛】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数＋属于B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。 33． 【详解】 答：其它年级学生植树棵数占总数的． 34．16人；39人 【分析】可将这55人分成4类，即只订阅小学生数学报，只订阅少年报，两种报纸都订阅，两种报纸都没有订阅，分别求出每一类的人数，再求出题目所求。 【详解】只订阅小学生数学报： 只订阅少年报： 两种报纸都订阅：5人 两种报纸都没有订阅： 订阅报纸的总人数： 答：订阅报纸的总人数是16人；两种报纸都不订的有39人。 【点睛】对于集合问题，拿到问题后，先弄清楚每一部分的具体数量，尤其是重叠部分，再考虑题目具体的问题。 35．20人 【分析】从甲开始数起，那么顺时针方向的第13人是乙，甲、乙之间顺时针方向有11人；从甲开始数起，逆时针方向的第15人是丙，那么甲、丙之间逆时针方向有13人；而乙是从丙开始数起，顺时针方向的第7人，说明丙在甲、乙之间，乙、丙之间有5人，甲、丙之间顺时针方向有5人。 【详解】如图所示： （人） 乙、丙之间顺时针方向有5人； （人） 甲、丙之间顺时针方向有5人； （人） 答：圆桌旁总共坐有20人。 【点睛】对于此类间隔问题，要注意方向，是顺时针还是逆时针，另外还要注意有没有重复计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$