空间距离问题讲义-2025届高三数学一轮复习

距离问题 知识回顾 一．点到直线的距离（两条平行直线之间的距离） 已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点,是直线外一点.设,则向量在直线上的投影向量=.点到直线的距离为. 二．点到平面的距离（直线到平面的距离、平面与平面的距离） 1.已知平面的法向量为,A是平面内的定点,是平面外一点.过点作平面的垂线,交平面于点,则点到平面的距离为. 2.点面距的求解问题，主要有三个方法： （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 三．两条异面直线之间的距离 1.公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 2.两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度． 题型一 点到直线的距离 ★例1 的两条直角边，，平面，，则点到斜边的距离是（  ） A．5 B．3 C． D． 练习： 1.已知四面体的所有棱长均为10，点在直线上，则到的距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 2.在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（  ） A． B． C．2 D．1 3.在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.    (1)求证：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到直线的距离. 题型二 点、线、面到平面的距离 ★例2 1.如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（  ）    A． B． C． D． 2.在正三棱柱中，，则直线到平面的距离为 练习： 1.正方体的棱长为2，E是棱的中点，则点到平面EBD的距离为（  ） A． B． C． D． 2.已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 题型三 两条异面直线之间的距离 ★例3 在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（  ） A．2 B．1 C． D． 练习： 1.在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（  ） A． B． C． D． 2.如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（  ） A． B． C． D．1 3.单位正方体中，分别是它们所在棱的中点，求与间的距离． 反馈练习 1．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（  ） A． B． C． D． 2．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 . 3．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面BCDE为正方形，，，，两两垂直且相等，点为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为 . 5.已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 6.如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 .    7.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（  ） A． B． C． D． 8.在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ．    9.如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到面的距离． 10.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，点E是线段PC（不含端点）上的一个动点. (1)设平面ADE交PB于点F，求证：EF平面PAD； (2)当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值. 参考答案 1．A 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 2． 【详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设交线的方向向量为， 则，即，令，得. 因为，点， 则，， 所以点A到直线的距离为. 3．D 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 .      4． 【详解】以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则, 取，则，故， 所以点到平而的距离为. 5．D 【详解】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 6． 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 因为，所以， 所以，， 令，， 所以，，则点到直线的距离为.    7．D 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 8． 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，    设， 则， 则，故， 则，， 设平面的法向量， 则，取可得， 则点B到平面的距离为， 当时，点B到平面的距离为， 当时，. 当且仅当时，等号成立， 所以点B到平面的最大距离为. 9．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面平面，平面平面， ，平面，∴平面. 又平面，所以平面平面. （2） 以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. ∵为的中点，∴， 则，，，， ∵，∴， 又，∴， 又，，平面， ∴平面. 所以为平面的法向量， 则点到面的距离. 10．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以， 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 因为平面ADE，平面平面，所以， 因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD； （2）在AB上取中点O，因为是等腰直角三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，， 又底面是边长为2的菱形，且，所以， 故以O为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示， 则，，，，， ，，， 设，则， 设是平面PAD的一个法向量， 则，即，令可得， 由点E到平面PAD的距离为得，所以，解得， 故点E为CP中点，所以，所以，又， 设是平面ADE的一个法向量， 则，即，令可得， 又，故是平面ABCD的一个法向量， 得， 所以平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为 学科网（北京）股份有限公司 $$