精品解析：上海市上海财经大学附属北郊高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题人：杨晓芳 审卷人：曹辉 2024年11月 一、选择题（每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确. 1. 经过两点和的直线l的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（ ） A. 4 B. C. D. 2 3. 若抛物线的焦点在直线上，则p等于（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 4. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 10. 已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，则曲线是一个圆 B. 当时，则曲线是一个双曲线 C. 若时，则曲线是焦点为的椭圆 D. 若曲线是离心率为的椭圆，则 11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若为上一点，，则的最小值为 D. 若上存在点，使得，则的取值范围为 三、填空题（每小题5分，共15分.） 12. 圆C：在点处的切线方程为_____. 13. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于______. 14. 如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为_______. 四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15. 已知平面直角坐标系中，，，， （1）若直线与直线平行，求m的值； （2）若直线与直线垂直，求m的值. 16. 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 （2）椭圆经过点和. 17. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. （1）求p的值； （2）直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 18. 如图，已知圆的圆心在原点，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）点在直线上，过点引的两条切线，切点为． ①求四边形面积的最小值； ②求证：直线过定点． 19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. （1）求的方程； （2）已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题人：杨晓芳 审卷人：曹辉 2024年11月 一、选择题（每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确. 1. 经过两点和的直线l的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得倾斜角. 【详解】由斜率公式得， 记直线l的倾斜角为，则，得. 故选：B 2. 已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点距离公式求线段AB的长，即可得半径. 【详解】由题意知，， 以线段为直径的圆的半径是， 故选：C 3. 若抛物线的焦点在直线上，则p等于（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将焦点坐标代入直线方程可得. 【详解】由题知，抛物线的焦点为， 代入得，解得. 故选：B 4. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 5. 若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【详解】圆的圆心为， 由题意可得，即，解得或. 故选：C. 6. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 7. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆面积得出，结合四边形的周长求得，进而得出椭圆方程，得出，设，根据四边形的面积为即可求解最大面积． 【详解】由题可知，，即， 由四边形的周长为12得，，即，所以， 所以椭圆，则， 设，，则， 所以四边形的面积为， 故选：A． 8. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直求直线的方程，联立直线方程求点的坐标，表示，利用得到的关系，即可求出双曲线离心率. 【详解】由题意得，，渐近线方程为. 因为，所以直线的方程为. 由得，即， 由得，即， 所以， ， 因为，所以，整理得， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 二、选择题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用截距概念判断A；根据斜率和截距可判断B；分情况求出直线方程即可判断C；求出直线方程判断D． 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线 的斜率为，在y轴上的截距为， 易知直线经过第一、二、三象限，B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为，故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，则曲线是一个圆 B. 当时，则曲线是一个双曲线 C. 若时，则曲线是焦点为的椭圆 D. 若曲线是离心率为的椭圆，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D. 【详解】A：时，曲线可整理为，即曲线是一个圆，正确； B：时，曲线可整理为，即曲线是一个双曲线，正确； C：时，曲线可整理为，即曲线是焦点为的椭圆，正确； D：由上分析知：若曲线是离心率为的椭圆，则或，可得或，错误. 故选：ABC. 11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若为上一点，，则的最小值为 D. 若上存在点，使得，则的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B：因为直线过定点，可知定点在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于C：设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解；对于D：分析可知当位于短轴顶点时，最大，此时，分类讨论焦点所在位置分析求解. 【详解】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为 ， 但焦点不一定在轴上，故A错误； 对于选项B：因为直线过定点，则，即， 又因为，且，所以的取值范围为，故B错误； 对于选项C：若，即椭圆， 设，可得， 当时，，故C正确； 对于选项D：若，则， 当位于短轴顶点时，最大，此时， 可知，即， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上所述：的取值范围为，故D正确； 故选：CD． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 （1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； （3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 三、填空题（每小题5分，共15分.） 12. 圆C：在点处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出方程. 【详解】依题意，点在圆C：上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为1， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于______. 【答案】36 【解析】 【分析】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【详解】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案为：36 14. 如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15. 已知平面直角坐标系中，，，， （1）若直线与直线平行，求m的值； （2）若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【小问1详解】 因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 【小问2详解】 因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 16. 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 （2）椭圆经过点和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 17. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. （1）求p的值； （2）直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 18. 如图，已知圆的圆心在原点，且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）点在直线上，过点引的两条切线，切点为． ①求四边形面积的最小值； ②求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）① ②证明：由①得，在以为直径的圆上， 设点的坐标为，， 则线段的中点坐标为， ∴以为直径的圆方程为， 即． 因为为两圆的公共弦， 所以由相减得直线的方程为，， 则直线AB恒过定点．得证 【解析】 【分析】（1）求出圆心到切线的距离得圆半径，从而得圆标准方程； （2）①由勾股定理求得切线长，由求得四边形面积，由此得当最小时，四边形面积最小，从而得结论；②在以为直径的圆上，设点的坐标,求出以为直径的圆方程，此圆方程与已知圆方程相减公共弦所在直线方程，由直线方程得定点坐标． 【小问1详解】 依题意得：圆心到直线的距离为半径， ∴， ∴圆的方程为； 【小问2详解】 ①解：连接， 因为是圆的两条切线， 所以， ∴． 易知最小值为8，所以； ②略 19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. （1）求的方程； （2）已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在点，使得. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. 【小问1详解】 因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足，则, 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 【点睛】思路点睛：本题考查双曲线与直线、向量综合问题，具体思路如下： （1）联立直线与双曲线方程，利用，计算的取值范围. （2）设，利用韦达定理表示. （3）假设存在点满足，得到，利用点在双曲线上即可得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $