精品解析：上海市普陀区2024-2025学年高三上学期11月调研测试（0.5模）数学试卷

上海市普陀区2024-2025学年高三上学期11月调研测试（0.5模）数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的定义域为____. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，解得定义域为． 2. 已知圆的周长为，则实数的值为______. 【答案】-3 【解析】 【分析】由周长求出圆的半径，从而根据半径得到方程，求出实数的值. 【详解】设圆的半径为r，则由题意，故， 将圆一般式化为标准式得， 则. 故答案为：-3 3. 已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为_____________． 【答案】18π 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积公式与圆面积公式求得底面半径和高，再由体积公式计算． 【详解】设圆柱底面半径为，高为， 由题意，解得， 所以体积为． 故答案为：． 4. 对于复数（i是虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】先进行复数乘法运算，再根据共轭复数和虚部概念求解即可. 【详解】由题意，所以，则. 故答案为：. 5. 已知的展开式各项系数之和为64，展开式中含项的系数为______. 【答案】15 【解析】 【分析】先根据各项系数之和得到方程，求出，根据二项式定理得到通项公式，求出项的系数. 【详解】令，则的展开式各项系数之和为，则， 所以二项式的通项公式为， 令，则，故项的系数为15. 故答案为：15 6. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1 ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 ④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，根据古典概型求概率公式得到答案；对于②，根据平均数和方差的计算公式得到②错误；对于③，利用百分位数的定义得到答案；对于④，利用方差的性质和计算公式得到答案. 【详解】对于①，某个个体被抽到的概率为，故①正确； 对于②，，解得， 则方差为，故②错误； 对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为，12，14，15，17，19，23，27，30， 由于，其中第6个数为第70百分位数，即23，故③正确； 对于④，设数据的均值为， 则数据的均值为， 因为数据的方差为， 所以数据的方差为 ，故④正确； 故答案为：①③④ 7. 已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标值符号确定所在象限，由三角函数定义求，最后确定其对应的最小正角. 【详解】因为，所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，知，故角α的最小正值为． 故答案为： 8. 函数（，且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意结合求出点，进而由点在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，令，解得，此时， 所以函数（且）的图象恒过定点，即， 又点在直线上，故， 又，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 9. 已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先证明是等差数列，再根据求和公式计算，解不等式即可. 【详解】当，， 当， 则（常数）。 则是首项为，公差为1的等差数列. 由题意知，，故， 故. 故答案为：. 10. 在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝________. 【答案】5 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算、数量积运算、三角形重心性质即可求出. 【详解】如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． ∵AB＝1，∠ABC＝60°， ∴.设C(a，0)．∵·＝－1，所以，解得a＝4. ∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，所以 . 故答案为：5. 11. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解 【详解】设椭圆的半焦距为， 如图，延长，与椭圆交于点L，连接， 由，所以根据对称性可知，， 设，则，， 从而，故， 在中，，所以， 在中，，即， 所以，所以，所以离心率， 故答案为： 12. 对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数可得为单调递增函数，根据零点存在性定理找到方程的实数根的取值范围，代入，即可得出通项公式，由等差数列求和公式即可求出答案. 【详解】令，则，函数单调递增， 因为，故方程存在唯一的实数根， 又时, ， 所以， 因此可得：，所以， 因为，其中表示不超过实数的最大整数， 所以， 结合等差数列求和公式可得：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据零点存在性定理找到方程的实数根取值范围，得到，再由题意得到. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 下列不等式中，解集为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，举反例排除即可； 对于C，利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误； 对于B，令，则，满足，所以其解集不为，故B错误； 对于D，令，则，满足，所以其解集不为，故D错误； 对于C，由得， 即，解得，故其解集为，故C正确. 故选：C. 14. 已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ） ①平面内的所有直线均与直线l异面； ②平面内存在与直线l垂直的直线； ③平面内不存在直线与直线l平行； ④平面内所有直线均与直线l相交. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用长方体模型举反例判断命题①④，分情况证明命题②，利用反证法证明命题③正确. 【详解】在长方体中，取平面为平面，直线为直线， 则直线l与平面相交，满足条件， 对于命题①，因为直线平面，直线与直线相交，所以命题①错误， 对于命题④，因为直线平面，直线与直线不相交，所以命题④错误， 对于命题②，若直线l与平面垂直，则任取直线，都有，即平面内存在与直线l垂直的直线；若直线l与平面不垂直，如图，，在直线上任取异于点的点，过点作平面，垂足为，连接，在平面过点作直线，因为平面，，所以，又，，平面，所以平面，直线平面，所以直线，故平面内存在与直线l垂直的直线；命题②正确， 对于命题③，如图，假设平面内存在直线与直线l平行； 因为，，，所以，与矛盾，所以平面内不存在直线与直线l平行；命题③正确， 故选：B. 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ） A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数 C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案. 【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数， 由概率指的是事件的对立事件的概率， 则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数. 故选：D. 16. 已知定义在R上的函数对任意，都有成立且满足（其中a为常数），关于x的方程：的解的情况．下面判断正确的是（ ） A. 存在常数a，使得该方程无实数解 B. 对任意常数a，方程均有且仅有1解 C. 存在常数a，使得该方程有无数解 D. 对任意常数a，方程解的个数大于2 【答案】B 【解析】 【分析】将方程的解的情况转化为零点的情况，然后根据得到，根据，得到，然后利用定义法得到在R上单调递增，即可得到对任意常数，方程只有一个解. 【详解】令，则方程的解的情况可以转化为零点的情况， 因为，所以， 因为，所以，则， 令，，因为，所以， ，即， 所以在R上单调递增，又，所以对任意常数，只有一个零点，即方程只有一个解. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． （1）若，，，求数列的通项公式： （2）设数列的前n项和为，若，，求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量关系即可列式求得，，进一步即可得解； （2）由等差数列基本量的关系即可列方程组求解. 【小问1详解】 由题意得，，. 因为，所以， 解得，所以，， 所以数列的公比为3， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ∵数列为等差数列，且公差为2， ，， ∴， 解得，故. 18. 已知平面， （1）求证：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值大小. 【答案】（1） ∵平面，平面,∴ ， 又∵且平面 ， ∴平面，∵平面, ∴平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）证明即为直线与平面所成的角，然后解三角形即可求得该角大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面, 平面，则 , ∴即为直线与平面所成的角， ，，，∴ ﹐ 又平面，平面,∴ ， 而 ，∴ ， ∴在 中， ， 又， 故线与平面所成角的正弦值为. 19. 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. （1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 【答案】（1）(米) （2）2022万元 【解析】 【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度; (2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可. 【小问1详解】 解:由题, ,同理,故, 由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上, 则, , 因为,, 所以为等边三角形, 则, 因此三条街道的总长度为（米）. 【小问2详解】 由图可知, , , , 在中由余弦定理可知: , 则, 设三条步行道每年能产生的经济总效益,则 , 当即时取最大值, 最大值为. 答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元. 20. 已知抛物线：． （1）求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； （2）过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长； （3）已知点，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、N（均不与点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的焦点，准线. （2）20 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程求焦点和准线； （2）根据题意可得直线AB的方程，联立方程，理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算； （3）设直线MN，联立方程，根据题意可得，结合韦达定理分析运算. 【小问1详解】 ∵抛物线：，则，且焦点在轴正半轴， 故抛物线的焦点，准线. 【小问2详解】 由（1）可得：，可得直线， 设， 联立方程，消去y得， 可得， 故. 【小问3详解】 存在，理由如下： 设直线， 联立方程，消去x得， 则， 可得， 若以线段MN为直径的圆恒过点P，则， 可得 ， 可得或， 若，则，可得直线， 过定点，与点重合，不合题意； 若，则，此时， 可得直线，过定点； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法定睛：存在性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； ③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】（1）是函数的一个1度点；不是函数的1度点 （2）证明如下： 设，， 则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当（*）． 设，则当时，，故在区间上严格增． 因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点． （3）或 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求； （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕； （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【小问1详解】 设，则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点， 该切线过点，故， 令，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，也时最小值，且， 故无解，点不是函数的一个1度点 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 对任意，曲线在点处的切线方程为． 故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解． 设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点． 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求． 若，因为， 由或时得严格增；而当时，得严格减． 故在时取得极大值，在时取得极小值． 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求． 故两个不同的零点当且仅当或． 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或． 综上，的全体2度点构成的集合为或． 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市普陀区2024-2025学年高三上学期11月调研测试（0.5模）数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的定义域为____. 2. 已知圆的周长为，则实数的值为______. 3. 已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为_____________． 4. 对于复数（i是虚数单位），则______. 5. 已知的展开式各项系数之和为64，展开式中含项的系数为______. 6. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1 ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 ④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16 7. 已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_______ 8. 函数（，且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______. 9. 已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为______. 10. 在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝________. 11. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________． 12. 对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则______. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 下列不等式中，解集为的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ） ①平面内的所有直线均与直线l异面； ②平面内存在与直线l垂直的直线； ③平面内不存在直线与直线l平行； ④平面内所有直线均与直线l相交. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ） A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数 C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数 16. 已知定义在R上的函数对任意，都有成立且满足（其中a为常数），关于x的方程：的解的情况．下面判断正确的是（ ） A. 存在常数a，使得该方程无实数解 B. 对任意常数a，方程均有且仅有1解 C. 存在常数a，使得该方程有无数解 D. 对任意常数a，方程解的个数大于2 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． （1）若，，，求数列的通项公式： （2）设数列的前n项和为，若，，求． 18. 已知平面， （1）求证：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值大小. 19. 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. （1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 20. 已知抛物线：． （1）求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； （2）过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长； （3）已知点，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、N（均不与点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $