海南省海口市美兰区海口实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023级高二年级第一学期期中考试 数 学 (考试时间: 150分钟 试卷满分: 150分) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题： 本大题共8小题， 每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.下列直线中过第一、二、四象限的是( ) 2.在直三棱柱 中， D 为 上一点.若二面角 的大小为 则AD的长为 C.2 3.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则 与 是共线向量 的单位向量是(N,1,0) 与 夹角的余弦值是 D.平面ABC的一个法向量是( 4.在三棱锥 中， ,D,E,F 分别是棱AB,BC,CP 的中点, ,则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 ( ) 5.已知一组数据5,2,x,5,8,9,且 .若该组数据的众数是中位数的 倍，则该组数据的平均数为 A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 6.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为 Ax+ By+ Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B，C不同时为零)，点 到平面α的距离 则在底面边长与高都为2 的正四棱锥. 中，底面中心O到侧面 PAB 的距离d 等于（ ） C.2 D.5 7.在正方体. 中， E为 的中点，点F满足 下列结论错误的是( ) A. 若 则点F到平面 的距离为 B. 若 则四面体. 的体积是定值 C. 若 则点F的轨迹长为 D. 若. 则存在点 使得 的最小值为 8.若E∉平面γ, F∈平面γ, EF⊥平面γ, 则称点F为点E在平面γ内的正投影，记为 如图，在直四棱柱 中， P,N 分别为 的中点， 记平面 为α, 平面ABCD为/β, 则不正确的是（ ） A. 若 则 B. 存在点H, 使得 C. 线段 长度的最小值是 D. 存在点H, 使得 α 二、多项选择题： 本大题共3小题， 每小题6分， 共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得0分. 9.关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A.已知三棱锥O-ABC,点 P 为平面 ABC 上的一点，且 则 B.已知向量u，v不共线，若( ,则a,b,c共面 C.已知向量( ，则存在向量可以与a，b构成空间的一个基底 D.已知空间两点 A(1,0,2),B(2,--2,--1),若向量 且 则 10.在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球个数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.下列说法正确的是（ ） A.平均来说甲队比乙队防守技术好 B.乙队比甲队防守技术水平更稳定 C.甲队防守有时表现很差，有时表现又非常好 D.乙队很少失球 11.已知空间中的三点 A(0,1,0),B(2,2,0), ，则下列说法不正确的是（ ） 不是直线AB 的一个方向向量 B.直线 AB 的一个单位方向向量是 与 夹角的余弦值是 D.平面ABC 的一个法向量是( 三、填空题： 本大题共3小题， 每小题5分， 共15分. 12.已知正方体 的棱长为1,E,F分别是棱AD, 上的中点.若点 P 为侧面正方形 内(含边)动点，且存在x， 使 成立，则点 P 的轨迹长度为 13.在直三棱柱 中， 点 P 满足 其中 则直线 AP 与平面 所成角的最大值为 14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点)如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为4，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点 P.若AB=6,则cos∠PAC= ;若AC:AB:BC=6:5:4, 则PA+PB+PC 的值为 四、解答题： 本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知直线 l (1)若直线l不经过第四象限，求k 的取值范围； (2)若直线 l交x轴的负半轴于点 A，交y轴的正半轴于点 B，O为坐标原点，设 的面积为 S，求S 的最小值及此时直线l 的方程. 16.（15分）记 的内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知 (1) 求 bc; (2) 若 求 面积. 17.(15分)某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. (1)求x : y : z的值; (2)若抽到B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的A会场的高一、高二、高三年级的学生人数. 18．（17分）如下图，直角梯形中， , ，平面平面，为等边三角形， 分别是的中点，. (1)证明：; (2)证明：平面; (3)若,求几何体的体积. 19. (17分)已知椭圆 的焦距为 直线 过点 且与椭圆E相交于P， Q两点， M是线段PQ的中点， O为坐标原点. (1) 求椭圆E的方程； (2) 若梯形ABCD的顶点都在椭圆E上， 且. 对角线AC和BD交于点M， 线段AB, CD的中点分别为G, H. (i) 证明: G, H, O, M四点共线; ( ii) 试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点， 若是， 请求出该定点并证明；若 不是， 请说明理由. 数学试题 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2023级高二年级第一学期期中考试 数学参考答案 1、 单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D A B A B 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 AB ABC BC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13.45° 14.， 四、解答题（共77分） 15.(1)直线 l的方程可化为 则直线在y轴上的截距为 要使直线l不经过第四象限，需满足 解得 故k的取值范围是 (2)依题意，直线 l 在x 轴上的截距为 在 y轴上的截距为 且 所以 故 当且仅当 即 时取等号， 故 S 的最小值为16， 此时直线 l 的方程为 16.解: (1) 因为 所以 所以 所以 所以 即 由A为三角形内角得 面积 17.(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,则去A会场的学生总数为0.25(a+b +c),去B会场的学生总数为0.75(a+b+c).对应人数如下表所示 , 则 0.1(a+b +c)=17 : 19 : 4. 高一 高二 高三 A会场 0.125(a +b +c) 0.1(a+b+c). 0.025(a+b+c) B会场 0.3(a +b +c) 0.375(a+b +c) 0.075(a +b+c) (2)由题意，得n×0.75×0.5 = 75.解得 n = 200.所以抽到A会场的学生总数为50人. 所以抽到A会场的高一年级的人数为50×50%=25，高二年级的人数为50×40%=20，高三年级的人数为50×10%=5. 18.(1)为等边三角形，是的中点 又因为平面平面，交线为,平面， 根据面面垂直的性质定理得 平面， 又平面， ； (2)取中点G，连接， ， ,且， ,， ,且， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面 平面； (3)在直角梯形中，， 则直角梯形的面积为， 由（1）可知平面，是四棱锥的高， 在等边中，由边长，得， 故几何体的体积为：. 19. 解： (1) 由直线l过点M 易得直线l的方程为 设 联立 消去y并整理得 …2分 由韦达定理可得 整理得 又因为 解得a=2, b=1, 所以椭圆E的方程为 (2)(i)不妨设AB∥CD, AB的中点为G, CD的中点为H, 设 由题知可得直线AB斜率必存在， 以上两式相减得 移项得 即 . 同理 又因为AB∥CD, 所以 因此 即O, G, H三点共线, 又因为四边形ABCD是梯形， 且AC与BD交与M， 由平面几何知识可知M， G， H三点共线， 即得证G, H, O, M 四点共线 ( ii) 由(i) 易知 所以 设直线AB的方程为： 直线CD的方程为： 联立 消去y并整理得 由韦达定理得 不妨设 同理： 因为 所以，化简得 即 上式两边同时平方化简得 2mn-3(m+n)+4=0. …13分 设梯形两腰AD与BC的交点为T， 由平面几何知识易知T， G， H三点共线， 故设 由 可得 (注: 为M 到的直线AB的距离， 为M 到直线CD的距离， 为T到的直线AB的 距离， 为T到直线CD的距离) 所以 $$