第三单元角的度量 （讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

角的度量 【思维导图+知识精讲+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了期末高频易错专项培优的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为期末拓展培优而设计，对期末高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 2．角的概念和表示 【知识点归纳】 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 3．角的分类（锐角直角钝角） 【知识点归纳】 根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。 （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180° （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360° （3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。 4．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 5．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 第三部分 高频真题 一、选择题 1．用破损的量角器测量角的度数。如图∠1是（　　）度。 A．30 B．35 C．85 D．115 2．下列度数中，用一副三角尺不能拼出的角是（    ）。 A．135° B．75° C．120° D．65° 3．钟面上的分针从1起，走一圈形成角的是（　　）度，是（　　）角． E．平   F．周 A．0 B．180 C．360 D．锐 4．把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是（    ）。 ①锐角   ②直角   ③钝角   ④平角   ⑤周角 A．①④⑤ B．③④⑤ C．④⑤ D．①②③ 5．下列选项中关于∠A的度数正确的描述是（    ）。 A．不满90º B．超过90º不满180º C．超过180º不满270º D．超过270º不满360º 6．用一副三角尺不能拼出的角是（    ）。 A．120° B．105° C．135° D．95° 7．如图中，有（    ）条射线。 A．1 B．4 C．6 D．8 8．如图是一个由一副三角板拼成的图形，那么∠1＝（    ）。 A．45° B．120° C．75° D．135° 9．关于直线、射线、线段，下面说法错误的是（    ）。 A．直线没有端点，可以无限延伸 B．线段有两个端点，可以测量长度 C．过平面内一点，可以画无数条射线 D．过平面内两点，可以画2条线段 二、填空题 10．钟面上9点整时，时针和分针所成的较小角是( )度。 11．钟面上，时针走1小时旋转的角度是( )度，分针走1小格旋转的角度是( )度。 12．在一条直线上有A、B、C三点，如下图，图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 13．小红度量一个角的度数时，把原本该读的内圈刻度读成了外圈刻度，结果读成了140°。那么原来角的度数是( )°。 14．3时整，钟面上分针与时针构成的较小角是( )。经过1小时后，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差( )，这时候钟面上分针与时针构成的较小角是( )。 15．85°的角是( )角，92°的角是( )角；平角是( )°，周角是( )°． 16．量一量． ∠1=( )；∠2=( )． 17．如图所示，已知：∠1＝40°，∠4＝90°。那么，∠2＝( )°，∠5＝( )°。 三、判断题 18．汽车前面的灯发出的光线可近似看作是射线。( ) 19．画一个75゜的角，可以用量角器画，也可以用一副三角板画( )． 20．5时时，钟面上的时针和分针成钝角．   ( ) 21．钝角一定比直角大，比直角大的角一定是钝角。( ) 22．130°的角比平角小50°。( ) 23．一个平角等于两个直角，等于四个周角。( ) 24．量角器是经过圆心把半圆平均分成180份，将其中1份所对的角大小计为1°。( ) 25．所有正方形都有4个角．( ) 四、作图题 26．过点A画一条直线，并在直线上画线段3厘米。 五、解答题 27．已知∠1＝55度，求∠2、∠3、∠4的度数。 28．乐乐把两张硬纸条订在一起，组成了一个37°的角，同桌欢欢在乐乐摆的基础上旋转其中一条边，所形成的角的度数比乐乐的4倍还大12°，这个角是多少度？是什么角？ 29．如果两条平行线被一条直线所截（如图），会产生很多个有联系的角。 （1）请用量角器测量∠1、∠2，你发现了什么？ （2）根据上面得到的结论，观察∠3、∠5，通过推理说明∠3和∠5的关系。 30．已知∠1=35°，∠3=55°，那么∠2，∠4，∠5分别等于多少度？ 31．如图的角被淘气的奇奇撕掉了一部分．聪明的小朋友，你能想办法量出这个角的度数吗？ 32．想一想，当钟面时间是3点整，6点整时，分针与时针所成的角分别是哪种角？ 参考答案： 1．A 【解析】可以根据外圈度数测量，角的一条边指向85°，另一条边指向115°，用减法即可计算出这个角的度数。 【详解】∠1＝115°－85°＝30° 故答案为：A 【点睛】此题主要是考查根据角的度量方法，注意要用同一圈上的刻度值。 2．D 【分析】一副三角尺有以下几个角度：90°，60°，45°，30°；只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出。 【详解】A．135°＝90°＋45°，它可以用一副三角尺拼出； B．75°＝45°＋30°，它可以用一副三角尺拼出； C．120°＝90°＋30°，它可以用一副三角尺拼出； D．65°无法用一副三角尺拼出。 故答案为：D 【点睛】一副三角板中的角可画出15°、30°、45°、60°、75°、90°、120°等15°整数倍数的角，不可能画出不是15°整数倍数的角。 3．CF 【详解】试题分析：因为在钟面上转一圈，就是360度，是一个周角，据此解答即可． 解：钟面上的分针从1起，走一圈形成角的是360度，是周角． 故选C、F． 点评：解决本题的关键是明确不管是时针、分针、还是秒针，只要是转一圈就是360度．与起始位置无关． 4．C 【分析】根据锐角是大于0°小于90°的角；直角是90°的角；钝角是大于90°小于180°的角；平角是180°的角；周角是360°的角；两个锐角拼在一起应是大于0°小于90°加90°和的角；对比解答即可。 【详解】由分析可得： 90°＋90°＝180° 两个锐角拼在一起是大于0°小于180°的角； ①0°＜锐角＜90°；在范围内，两个锐角可能拼成锐角； ②直角＝90°；在范围内，两个锐角可能拼成直角； ③90°＜钝角＜180°；在范围内，两个锐角可能拼成钝角； ④平角＝180°；不在范围内，两个锐角不可能拼成平角； ⑤周角＝360°；不在范围内，两个锐角不可能拼成周角； 所以，把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是平角、周角。 故答案为：C 【点睛】掌握角的分类及各种角的特性是解答此题的关键。 5．C 【分析】观察图形可知，∠A的度数比一个平角的度数大，即∠A大于180°又小于270°，据此逐项分析即可 【详解】观察图形可知，∠A大于180°又小于270°； 故答案为：C 【点睛】熟记：平角＝180°，是解答此题的关键。 6．D 【分析】一副三角尺的角的度数有：30°、45°、60°、90°，这些角的度数都是15°的倍数，所以这些角的和、差也是15°的倍数，所以用一副三角尺能拼出的角都是15度的整数倍，据此即可判断。 【详解】根据分析可知，用一副三角尺能拼出的角都是15度的整数倍，120°、105°、135°是15度的整数倍，95°不是15°的整数倍，所以用一副三角尺不能拼出95°的角。 故答案为：D。 【点睛】本题主要考查学生对三角尺的角的度数的特点的掌握和灵活运用。 7．C 【分析】根据射线的定义：射线有一个端点，直线上的一点，可向一方无限延伸。图中直线上有三个点，每个点都有两条向一方无限延伸的射线，所以射线共有6条。 【详解】射线有一个端点且可向一方无限延伸，图中有A、B、C三个点，则有3×2＝6条射线。 故答案为：C 8．D 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°，1平角是180°，因此用180°减45°即可得到∠1的度数，依此计算。 【详解】180°－45°＝135°，即∠1＝135°。 故答案为：D 9．D 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，没有固定长度；射线有一端有端点，另一端可无限延长，没有固定长度；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，有具体的长度，据此解答。 【详解】A．直线没有端点，可以无限延伸，故该选项正确； B．线段有两个端点，可以测量长度，故该选项正确； C．过平面内一点，可以画无数条射线，故该选项正确； D．过平面内两点，只能画1条线段，故该选项错误。 关于直线、射线、线段，说法错误的是（过平面内两点，可以画2条线段）。 故答案为：D 【点睛】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点，熟练掌握并灵活运用。 10．90 【分析】钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，钟面上9时整，时针和分针之间相差的3个大格数，用大格数3乘30°即可；依此计算即可。 【详解】12－9＝3（个） 3×30°＝90° 钟面上9点整时，时针和分针所成的较小角是90度。 【点睛】此题考查了利用钟面上每一大格是30°的性质，来解决分针转动一定的时刻所组成夹角的度数问题的灵活应用能力。 11． 30 6 【分析】钟面上有12大格，钟面上时针走1小时也就是走了1大格；钟面上一共有12大格，钟面上中心的周角为360°，1大格所表示的度数为30°；1大格中有5小格，用1大格的度数除以5计算出1小格的度数；据此解答。 【详解】根据分析：时针走1小时旋转的角度是30度；30°÷5＝6°，所以分针走1小格旋转的角度是6°。 12． 1 6 3 【分析】直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度。据此解答。 【详解】由图可知，直线上有A、B、C三个点，根据直线的特征可知，图中有1条直线；根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线，所以一共有2×3＝6（条）射线；根据线段的特征可知，图中有线段AB、线段AC、线段BC，3条线段。 13．40 【分析】量角器上同一刻度线上内圈刻度与外圈刻度之和等于180°，据此即可解答。 【详解】180°－140°＝40° 【点睛】本题主要考查学生对量角器的认识和使用。 14． 90 330 120 【分析】钟面一周为360°，共分12大格，每格为表示30度，3时整，时针指着3，分针指着12，相差3格，组成的角的度数利用大格数乘30°即可；经过1小时后，时间是4时，钟面上分钟转了一圈，走了360°，时针转了1大格，是30°，即经过1小时后，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（360°－30°）；此时时针与分针之间有4个大格，利用大格数乘30°即可。 【详解】30°×3＝90° 360°－30°＝330° （时） 30°×4＝120° 所以，3时整，钟面上分针与时针构成的较小角是90°。经过1小时后，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差330°，这时候钟面上分针与时针构成的较小角是120°。 【点睛】本题考查了钟面角的认识，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30度。 15． 锐 钝 180 360 16．100°；50° 【详解】试题分析：用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数． 解：根据度量角的方法，经测量可得： ∠1=100°；∠2=50°． 故答案为100°；50°． 点评：本题考查了角的测量的应用，用量角器测角的度数时要注意量角器的放置及两个重合，即量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合． 17． 140 50 【分析】观察图中可知，∠1与∠2正好组成一个平角，即∠1＋∠2＝180°，∠1的度数已知，据此即可求出∠2的度数；同理，∠1＋∠5＋∠4＝180°，∠1、∠4的度数已知，据此即可求出∠5的度数。 【详解】因为∠1＋∠2＝180°，∠1＝40°， 所以∠2＝180°－40°＝140°， 因为∠1＋∠5＋∠4＝180°，∠1＝40°，∠4＝90°， 所以∠5＝180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50°。 【点睛】解答本题的关键是利用各个角与特殊角平角的关系解答。 18．√ 【分析】把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线只有一个端点，不可以测量出长度；依此判断。 【详解】汽车前面的灯发出的光线只有一个端点，因此它可近似看作是射线。 故答案为：√ 19．√ 【详解】因为利用量角器可以画出任意度数的角，而且一副三角板的角有30°，45°，60°90°，对它们进行组合，可拼成（30°+45°）=75°的角，据此即可判断． 20．√ 21．× 【分析】钝角为大于90°小于180°的角，直角为等于90°的角，平角为等于180°的角，周角为等于360°的角；据此解答。 【详解】根据分析：比直角大的角还有平角和周角，所以比直角大的角不一定是钝角。 故答案为：× 【点睛】掌握对角的分类的认识是解答本题的关键。 22．√ 【分析】平角为180度，一个角的度数与平角相差多少度，就算出这个角与平角度数之差即可。 【详解】180°－130°＝50° 130°的角比平角小50°，原说法正确。 故答案为：√ 23．× 【分析】根据直角、平角和周角的认识和特征：等于90°的角是直角；等于180°的角是平角；等于360°的角是周角。 【详解】90°＋90°＝180° 180°＋180°＝360° 所以一个平角等于周角的一半。 故答案为：× 【点睛】本题应根据直角、平角和周角的认识和特征进行解答，关键是熟记直角、平角和周角的度数。 24．√ 【详解】量角器又称“半圆仪”，就是经过圆心，把半圆平均分成180份，将其中1份所对的角大小计为1°。 故答案为：√ 25．√ 26．见详解 【分析】直线的概念：把线段的两端无限延长，得到一条直线；线段：直线上任意两点之间的一段叫做线段；画线段的三个步骤：先在需要画线段的直线上摆放好尺子，用左手按住，用铅笔在0刻度上画好一个端点，然后在相应的刻度上画另一个端点即可；据此作图。 【详解】根据分析如图： 27．∠2是125°，∠3是55°，∠4是125° 【分析】已知平角为180度，由图知，相邻两角都刚好构成平角，进而可以用180度减去∠1的度数即可求出∠2和∠4的度数，进而也可知∠3的度数，由此求解即可。 【详解】由图可知，∠2＋∠1＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠3＝∠1，即∠3＝55°； 同理，∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°，所以∠2＝∠4，即为：180°－55°＝125°。 答：∠2、∠3、∠4的度数分别为125°、55°、125°。 【点睛】此题的关键在于看出图中所给角之间的关系，利用相邻两角刚好构成平角进行求解。 28．160°；钝角 【分析】根据题意可知，用乐乐组成角的度数乘4后，再加12°，即可得到欢欢组成角的度数，依此计算并根据角的分类标准解答即可。 【详解】37°×4＋12° ＝148°＋12° ＝160° 160°是一个钝角。 答：这个角是160°，是钝角。 29．（1）∠1＝∠2 （2）∠3＝∠5 【分析】（1）分别量出∠1、∠2的度数，再比较大小即可； （2）平角＝180°，∠1加∠3为平角，∠2加∠5为平角，根据平角的定义，再判断∠3、∠5的大小关系即可；据此解答。 【详解】（1）∠1＝150°，∠2＝150° 所以∠1＝∠2。 答：我发现了∠1＝∠2。 （2）因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠5＝180° 又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠5。 答：∠3＝∠5。 【点睛】能熟练用量角器量角的度数，是解答此题的关键。 30．90°，125°，55°． 【分析】根据补角的定义即可求出∠2，∠4，∠5的度数． 【详解】此题主要利用了平角的定义，平角的度数为180°． 因为∠1=35°，∠3=55°， 所以∠2=180°﹣35°﹣55°=90°， ∠4=180°﹣55°=125°， ∠5=180°﹣125°=55°． 31．我能量出这个角的度数是30° 【详解】方法一： 方法二： 32．直角  平角 学科网（北京）股份有限公司 $$