5.2直角坐标系---求面积问题 专项训练 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

苏科版八年级数学上 5.2直角坐标系---求面积问题 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，顶点． (1)画出关于x轴对称的图形，其中分别和对应；并写出点的坐标； (2)若y轴上有一点P，且满足，直接写出点P坐标． 2．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． (1)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，写出的三个顶点，，坐标． (2)求的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足，点M为第三象限内的一点． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若点 ， 请用含 m的式子表示的面积 (3)若点到坐标轴的距离相等，且，，求点N的坐标． 4．已知：，， (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)求的面积； (3)设点P在坐标轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 5．如图，在边长为1的正方形网格中，将的三个顶点A，B，C分别关于x轴对称得到，A，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)请在图中画出，并直接写出F的坐标，F ； (2)的面积为： ； (3)在y轴上有一点P，使得的面积为2，求P点的坐标． 6．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，分别以所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)直角三角形的面积为______； (3)已知轴、轴上分别有动点，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴负方向匀速移动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速移动，两点同时出发，当点到达点时，整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 7．如图所示， 在正方形网格中（图中每个小正方形的边长均为1个单位长度），在平面直角坐标系中，已知． (1)请在下方坐标系中画出 关于y轴对称的 ； (2)写出点的坐标 ； (3)的面积是 ； (4)在x轴上有一点 P， 且，则点 P 的坐标为 ． 8．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，点的坐标分别是，，关于轴对称的图形为． (1)画出； (2)直接写出的面积：_____； (3)在轴上找出一点，使的周长最小．（不写画法，但需保留作图痕迹） 9．如图，已知． (1)在图中画出关于轴对称的，并写出、、的坐标；（点、、的对称点分别为、、）； (2)的面积为__________ (3)已知为轴上一点，若的面积为4，则点的坐标为___________ 10．梯形在平面直角坐标系中的位置如图，已知，点，，，其中满足． (1)直接写出___________； (2)求点，的坐标； (3)若在第二象限有一点，连接，，已知的面积是面积的一半，求点的坐标． 11．如图，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)求 的面积． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，如下图所示． (1)请作出关于y轴对称的． (2)请分别写出点A、B、C三点关于x轴对称点，、的坐标，并求出四边形的面积． 13．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角影）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格内作出轴、轴； (2)请作出关于轴对称的，且的面积是__________． (3)在轴上是否存在点，使得的面积和的面积相等，若存在，求出点的坐标． 14．如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格的格点上． (1)已知和关于直线l对称． ①请在图中把和补充完整； ②在以直线l为纵轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； (2)已知网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶角的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出，，的坐标； (2)已知点，在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 16．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标为． (1)画出关于轴的对称图形（不写画法），并写出点关于轴的对称点的坐标：______； (2)在轴上确定一点（不写作法，保留作图痕迹），使得最小． 17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为． (1)画出并写出点的坐标为______ (2)写出的面积为______ (3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹） 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于轴对称的；（要求点与点，点与点，点与点分别对应） (2)在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点； (3)求的面积． 19．如图：在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，． (1)画出关于x轴对称的图形．其中A、B、C分别和、、对应； (2)点P在y轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是______个． 20．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 21．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，， (1)在图中作，使和关于x轴对称 (2)写出点、、的坐标，并总结关于x轴对称的两个点的坐标之间有何关系． (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小，并直接写出的最小值． 22．如图，三个顶点的坐标分别为,,． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)作关于轴对称的，并写出顶点的坐标； (3)计算的面积． 23．如图所示． (1)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)求出的面积； (3)在y轴上作出一点M，使的值最小． 24．平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，设交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且．请你补全图形（不需要尺规作图）、并求的值．（用含的式子表示） 25．在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析， (2)或 【分析】本题考查了轴对称作图及坐标系中求面积，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出，根据点在坐标系的位置写出点的坐标即可； （2）先用割补法求出，进而利用求出长，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据关于x轴对称的点的坐标特征，分别找出点关于x轴的对称点，顺次连接， 如图：即为所求；， ； （2）解：， ， ， ，即， ， ， ， 或． 2．(1)画图见解析，，， (2)． 【分析】（）根据图形平移的性质画出，并写出各点坐标即可； （）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可； 本题考查了坐标与图形，平移作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求，，，； （2）解：的面积为 ． 3．(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值和完全平方公式的非负性，平面直角坐标系的坐标和图形， （1）根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b的值，可得答案； （2）以为底，以点M的纵坐标的绝对值为高可得答案； （3）先根据距离相等可得方程，再结合所在象限求出点M的坐标，然后根据的长度得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：如图， 为，且在第三象限内， ， 的面积； （3）解：到坐标轴的距离相等， 或， 或8. 为第三象限内一点， . ，， . ，， 或． 4．(1)见解析 (2)4 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查作图—复杂作图、坐标与图形性质、三角形的面积． （1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）当点P在x轴上时，设点P的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值即可得点P的坐标．当点P在y轴上时，设点P的坐标为，根据题意可列方程为，求出n的值即可得点P的坐标，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E． ∴四边形的面积，的面积，的面积，的面积． ∴的面积＝四边形的面积的面积的面积的面积 ． （3）当点P在x轴上时， 设点P的坐标为， ∵与的面积相等， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点P在y轴上时， 设点P的坐标为， ∵与的面积相等， 解得或， ∴点P的坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 5．(1)见详解， (2)4 (3)或 【分析】本题考查对称作图，涉及图形与坐标、对称性、三角形面积等知识，熟练掌握对称作图是解决问题的关键． （1）分别找出点关于轴的对应点，依次连接点，即可求得； （2）根据求解即可； （3）根据题意可得，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求，F的坐标为． （2）解：如图所示． ． 故答案为：4． （3）解：根据题意可得． 得， ∵， ∴或． 6．(1)，； (2)； (3)存在，． 【分析】本题考查了直角坐标系与几何图形的结合，绝对值和算术平方根非负性，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据 即可得到点、点的坐标； （）根据（）进而利用三角形面积公式即可得直角三角形的面积； （）根据点和点的运动方向和速度，由题意得，，，利用三角形面积公式并根据，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：由（）得点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：存在， 由题意易知点从点运动到点的时间为秒，点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，点在线段上，点在线段上， 由题意得， ∴，， ∵点的坐标是， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 7．(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】此题考查了轴对称的作图、坐标与图形等知识． （1）找到点关于y轴对称的对称点，顺次连接即可； （2）根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （3）用包含的长方形的面积减去周围直角三角形的面积即可； （4）设点 P 的坐标为，则，根据得到，解得或，即可得到点 P 的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）由（1）可知， 故答案为： （3）的面积是； （4）设点 P 的坐标为，则， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点 P 的坐标为或． 故答案为：或． 8．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形，由轴对称性质解决最短距离问题； （1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：； （3）解：如图所示，点即为所求． 9．(1)图见解析，，， (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，在平面直角坐标系中画关于轴的对称的图形，在网格中求三角形的面积，及其根据三角形面积求点的坐标． （1）分别标出、、关于轴对称的点，依次连起来，并读出点的坐标即可； （2）在网格中，利用割补法计算即可； （3）设点，那么，利用，从而求得，得到的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，为所求 此时，，， （2）解： 故答案为：3． （3）解：设点，那么 ，点横坐标为4 或 或 10．(1)； (2)点的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】（）根据算术平方根的定义即可求解； （）由，则，然后由勾股定理求出，即，从而求解； （）根据的面积是面积的一半，得到，然后解出即可； 本题考查了坐标与图形，算术平方根，勾股定理，三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 故答案为：； （2）解：由（）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，的面积是面积的一半， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 11．(1)画图见解析， (2) 的面积为． 【分析】（）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案，根据作出的图形直接写出坐标即可； （）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图——轴对称变换，三角形面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴，，； （2）解： 的面积为． 12．(1)图形见解析 (2)，，； 四边形的面积为 【分析】本题考查了轴对称与坐标变化，关键在于能够理解关于坐标轴对称的两个点坐标的关系，并确定对称点坐标． 轴对称与坐标变化规律：关于轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数．关于轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据以上规律可确定关于轴对称的顶点坐标，即可作出；根据以上规律亦可得到、、三点关于轴对称点，、的坐标，再利用、、、的坐标及梯形面积公式：（上底下底）高，即可求得四边形的面积． 【详解】（1） 如图，即为所求． （2），，． 关于轴对称的点坐标为：，，． 关于轴对称的点坐标为，，． 如图，连接，． 根据、、、的坐标特点可知：，四边形是梯形． ． 四边形的面积为． 13．(1)详见解析 (2)4 (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了作图−−轴对称变换，坐标与图形，三角形的面积问题等知识点， （1）依据，，即可作出x轴、y轴； （2）依据轴对称的性质，即可得到关于x轴对称的，进而可得出的面积； （3）设P点坐标为，由（2）知，，得出，求出t值，进而即可求解； 关键是确定组成图形的关键点位置． 【详解】（1）如图所示，x轴、y轴即为所求； （2）如图所示，即为所求， ∴， 故答案为：4； （3）存在，设P点坐标为，如图所示， 由（2）知，， ∴， 解得：或， 或． 14．(1)①见解析；② (2)10 【分析】本题考查作图-轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图，和即为所求， ②由题意知：的坐标为， 故答案为：； （2）解：． 15．(1)画图见解析，，， (2)画图见解析， 【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到的坐标； （2）连接交轴于一点即为点，根据图形求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作、、三点的对称点、、，连接、、，如图所示： ， 由图可得：，，； （2）解：如图，点P即为所求， 由图可得：． 16．(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了作图－轴对称变换，图形与坐标，最短路径问题． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后顺次连接即可，然后根据关于轴对称横坐标相等，纵坐标相反写出的坐标即可． （2）连接交y轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示，点即为所求． 17．(1)图见解析， (2)3.5 (3)图见解析， 【分析】（1）根据网格结构找出点、关于轴的对称点、的位置，再与顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解； （3）找出点关于轴的对称点位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与轴的交点即为所求的点，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作，； 由图可得：． （2）解：的面积 ； （3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求， ∵点A关于x轴的对称点， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短，此时，值最小，最小值等于的长， ∵， ∴最小值等于． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，三角形的面积，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，点的坐标，熟练掌握轴对称图形的性质，网格结构，准确作出图形是解题的关键． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作图：轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路线问题，求解网格三角形的面积． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于关于轴的对称点即可； （2）连接交轴于Q点，根据两点之间线段最短可判断Q点满足条件． （3）直接利用梯形的面积减去周围两个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图，连接，与轴相交于一点，即为点， ； （3）解：的面积． 19．(1)见解析 (2)见解析，5 【分析】本题主要考查了轴对称作图、点坐标与轴对称变化、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握轴对称的性质与作图是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点、、，再顺次连接即可得，然后再读出点的坐标即可； （2）以点为圆心，的长为半径作圆，此圆与轴的交点即为点P，以点为圆心，的长为半径作圆，此圆与轴的交点即为点P，作的垂直平分线与轴的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，满足条件的点P的个数是5个． 故答案为：5 20．(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 21．(1)图见解析 (2)，关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数 (3)图见解析， 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标，进而总结出对应的关系即可； （3）连接，与轴的交点即为点，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知：； 关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数； （3）如图，点即为所求； 的最小值为． 22．(1)见详解 (2)见详解，； (3) 【分析】（1）将A，B，C分别向右平移5个单位，得到对应的，，，顺次连接，，即可得到； （2）作A，B，C关于x轴的对称点，，，顺次连接，，，即可得到；（3）用梯形的面积减去和的面积即可得的面积． 本题考查坐标与图形，图形的平移，作轴对称图形，利用格点求三角形面积等，解题的关键是掌握平移和轴对称的性质． 【详解】（1）（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示即为所求，； （3）解：过点作交于点，过点作交于点， ． 23．(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，根据在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据割补法即可求得三角形的面积； （3）连接交y轴于点M，则M点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示即为所求，； （2）解： （3）解：如图，点M即为所求． 24．(1)； (2)点的纵坐标为； (3) 【分析】（1）作轴于点H，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，则可得出答案； （2）作轴于点E，并延长交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，则可得出答案； （3）连接，作于点，于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由折叠的性质得出，证得，则可求出答案． 【详解】（1）解：如图中，    作轴于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 则； （2）解：如图中，作轴于点，并延长交的延长线于点，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中，   ， ， ， 又， ， 点的纵坐标为4； （3）解：图形如图所示，连接，作于点，于点，    由折叠的性质知平分， ∵点M在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，   ， ， 由折叠可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．(1)， (2) 【分析】（1）根据对称的性质得垂直平分，得到，根据等边对等角得，继而得到，根据三线合一性质得，再根据三角形内角和定理得； （2）①证明得，推出点在的平分线上，即可得证； ②证明得，得到，，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：∵点与点关于轴对称，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）①证明：过点作于点， 又∵， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； ②解：由①知：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$