2024年九年级中考数学二次函数应用中考新题型中考专项练习题

二次函数应用中考新题型中考专项练习 一、单选题 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度与运动时间的运动路线图的一部分，运动员起跳后的运动路线可以近似地看作抛物线的一部分，其中线段表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（    ） A． B． C． D． 3．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（    ） A方案为一个封闭的矩形 B方案为一个等边三角形，并留一处宽的门 C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留宽的门 D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留宽的门 A． B． C． D． 二、填空题 4．发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为 ． 5．图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 6．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是 米． 7．小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过 m． 三、解答题 8．综合与实践 某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务． 课题 用数学的眼光观察校园 调查方式 实地查看了解 调查对象 校门口隔离栏 调查内容 平面图 数学眼光 各个栏杆上彩色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计） 相关数据 隔离栏长为13米，并且的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米．隔离栏顶端G距栏杆底部距离米． 任务： (1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式． (2)若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？ (3)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 9．又是一年秋风起，武汉某花圃基地计划将如图1所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元． (1)设花卉B区的边长为，用含x的代数式表示下列各量： 花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 ． (2)花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ (3)如图2，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A、B区铺设一条宽为a米（）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73000元，则a的值为 ．（直接填写答案） 10．根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 11．如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． (1)若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． (2)当喷水口在点处时，求水线的最大高度． (3)若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 12．根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 13．项目化学习： 项目主题 如何改造儿童游乐公园? 项目背景 为了在儿童游乐公园的花圃场地改造出一块空地来安装大型儿童游乐设施，特提出“如何改造儿童游乐公园？”方案设计的项目学习，以下是项目学习小组对游乐场所改造设计的研究过程． 实践活动一 场地改造前，如图1，有一块长与宽之比为的长方形场地上，阴影部分区域为两条宽度都为米的花圃．剩余空地面积为场地面积的一半． 驱动问题一 （1）项目学习小组需确定场地的尺寸，不再测量的情况下，请你根据以上信息求出长方形场地的长和宽． 实践活动二 确定改造方案：如图2，已知米，米，阴影部分区域栽种花草， 长方形空地安装游乐设施． 驱动问题二 （2）若剩余空地面积为场地面积的，，则 米， 米． 驱动问题三 （3）若比大米，求长方形空地面积的最大值． 14．根据以下素材，探索完成任务． 如何探测水火箭的轨道设计 素材：在我校第十三届科技节“米水火箭”项目中，某同学制作了一款水火箭（图），为验证水火箭的一些性能，通过测试收集发现水火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足一次函数关系：；飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 … 飞行高度 … 素材：图是参加“米水火箭”项目的同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 问题解决： 任务：确定函数表达式．求出关于的函数表达式． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务：确定弹射口高度．当水火箭落到回收区域内（不包括端点，）时，请直接写出发射台弹射口高度的变化范围________． 15．如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮． 已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度． 若篮圈中心距地面． (1)以地面为x轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画y轴，求抛物线的解析式； (2)通过计算说明篮球能否投中篮圈中心． 16．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．    (1)求池底所在抛物线的解析式； (2)若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，求水面下降的高度． 17．图1为广安某新建公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米时，拱顶离水面的距离为米． 当地政府拟在公园投放游船供游客乘坐，图3是游船载重最少时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．为确保安全，拟在桥底P，Q两处设置航行警戒线，要求： ①游船底部HI在点P，Q之间通行； ②载重最少时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．若以所在直线为轴，点D为原点建立直角坐标系，请解答以下问题： (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)求警戒线之间宽度的最大值．（当最大时，船身H与P重合，或I与Q重合） 18．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 19．有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： (1)若为，求此时窗户的透光面积？ (2)与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 20．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的飞行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，在射门路线的形状、最大高度均保持不变的情况下，小明若希望球飞进球门时离地高度h（单位：米）满足，那么当时他应该带球向正后方移动m米再射门，求m的取值范围． 21．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 22．小明为了检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点的坐标为，球在最高点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知某市男子实心球的得分标准如表： 得分 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远（米） 8.5 8.3 8 7.7 7.3 6.9 6.5 6.1 5.8 5.5 5.2 4.8 4.4 4.0 3.5 3.0 假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分； (3)在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有插有一根高1.2米的标杆，该实心球是否有可能砸到标杆，请说明理由． 23．打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 24．【概念感知】 如图1，我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． 【特例求解】 （1）的“友好对称二次函数”为______； 的“友好对称二次函数”，为______； 【性质探究】 （2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是______；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； 【拓展应用】 （3）如图2，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点、分别在、上，点、的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点、，连接、、、．当，且四边形是正方形时， ①请写出的函数解析式； ②请求出的值． 25．根据以下素材，探索完成任务． 问题驱动 目前，我国部分地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓． 小明同学对某电器商场销售的某种家用空气净化器进行了调研． 素材一 这种空气净化器的进价是200元/台． 素材二 经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台． 问题解决 任务一 （1）请求出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； 任务二 （2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？ 26．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数解析式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．当，时， (1)通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时，乙扣球成功，请求出羽毛球在处时与点的水平距离． 27．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 28．在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） (1)根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为________米； (2)求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）． 29．根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃： 素材：有一堵长米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃． 素材：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图），求解决过程如下： 设平行于墙面的篱笆长为米，则垂直于墙面的篱笆长为 依题意得： ∵函数开口向下，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大 ∴时，的最大值为 素材：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图） 设墙左端篱笆长为米，解决下列问题： 任务：当时，对于乙的方案，则可知 （用含的代数式表示），花圃面积 （用含的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：对于丙的方案，设所用墙的长度为米（），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由． 30．综合与实践 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且． 榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求7m篱笆材料恰好用完时与之间的距离； (3)种植区域分隔完成后，榕榕又想用灯带对该金银花种植区域进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．为此，她尝试设计了如图3所示的矩形灯带，其中两个顶点G，H在抛物线上（可与A，B重合），另外两个顶点K，J在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 31． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，．     素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．    问题解决 任务1 确定大棚形状 （1）在图2中以为原点，为正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 　　，　　，点坐标 　　，　　，并求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 （2）当米，求的长度． 任务3 拟定最优方案 （3）只考虑经费情况下，求出的最大值． 32． 主题 探究滑雪运动员起跳后飞行路线的函数关系 素材1 研究步骤： （1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置； （2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； （3）数据分析，形成结论． 实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如表所示： 33．某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学在研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值0.618，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 (1)请用含有的式子表示灯罩的口径； (2)把灯罩的垂直截面图抽象为如图2中的抛物线，并建立如图所示的平面直角坐标系，依题知，，请写出点的坐标，并求出抛物线的解析式； (3)在（1）和（2）的条件下，求灯罩的高度的值． 34．汽车在水平路面以一定的速度转弯时，所受向心力主要由轮胎与路面的静摩擦力提供．向心力必须足够大，以保持车辆沿着曲线行驶，如果速度过快，向心力需求增加，一旦超过轮胎抓地力的极限，车辆就会滑出或翻车．当汽车匀速转弯时，所受向心力为（单位：牛），已知，其中（千克）表示汽车的质量，（米/秒）表示汽车的行驶速度，（米）表示弯道半径．雨雪天气时一辆质量为1600千克的汽车，在一段转弯半径为36米的水平弯道上匀速行驶，若所需向心力为1200牛，求汽车转弯时行驶的速度（结果保留根号）． 35．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 36．问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 数据整理 (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价(元/盆) 日销售量(盆) 模型建立 (2)分析数据的变化规律，求出日销售量y与售价x间的关系； 拓广应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 37．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点C的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 38．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 39．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 40．小德与小胜是两名羽毛球爱好者，他们经常运用数学知识对羽毛球的飞行轨迹进行技术分析．以小德发球点正下方为原点建立平面直角坐标系，记羽毛球与发球点的水平距离为（单位：），距地面的垂直高度为（单位：）．他们采用图象测距技术，获得了羽毛球的某次飞行数据，下表是其中部分数据．经分析发现，此次飞行中，从发球点到某一点的飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，此点之后，球的飞行路线开始偏离抛物线．若在偏离前能达到的最大高度为，根据上述信息，回答下列问题． 水平距离 … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … 垂直高度 … 2.75 3 3.15 3.2 3.15 2.85 2.5 2 … (1)求羽毛球按抛物线飞行时，与满足的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)已知球网高，与发球点的水平距离为．小胜在球网的另一侧，准备在羽毛球与发球点水平距离为的点处，以向下扣球的方式回击该球．扣球时，羽毛球距地面的垂直高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）近似满足一次函数关系； ①若，请通过计算说明小胜回击的球能否过网； ②如果小胜回击的球刚好过网，请直接写出此时的值． 41．跳水运动是一项以高度、技术和美感为特点的水上运动项目．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落水的过程中，运动员离水面的竖直高度（单位：m）与离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系． (1)运动员第一次跳水时水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①根据上述数据，运动员第一次跳水的竖直高度的最大值为______m： ②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在第一次跳水时在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点的水平距离为1.7米，那么判断他是否会失误？请说明理由． (2)进水角度是指运动员跳入水中时身体与水平面的夹角，如图中所示．通常情况下，跳水运动员努力控制身体与水面的角度接近垂直，是减小水花的关键因素之一．在第二次跳水时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系式：，则此时的水花相比第一次跳水的水花______（填“变大”“不变”或“变小”）． 42．如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 43．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 h 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上；根据上述数据，直接写出h的值为____________，直接写出满足的函数关系式：____________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，记她平时训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____________（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成？ 44．某公园有一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离米和对应的竖直高度米，将数据整理如下表： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 竖直距离（米） 5    (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线；判断与之间满足我们学过的哪类函数关系，并求与之间的函数表达式；    (2)此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的位置）向左平移了1米，求喷水管需要向下平移多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 答案 C D C 1．C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义；令，计算求解即可求出结果． 【详解】解：令 即 解得：（舍去） ∴推出铅球的距离为； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可． 【详解】解：根据题意，得， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故抛物线解析式为， 故 ， 故顶点坐标为， 故最大高度为， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了图形的面积处理方法，按相关图形分别求出空白部分（饲养室）的面积，通过比较就可以得到结论． 【详解】解：对于A选项，所图，设边的长为，则可知， 所以， 即当时，最大面积； 对于B选项，如图，设，则可得，即， 所以； 对于C选项，如图，设，则，所以， 所以，， 即当时，最大面积； 对于D选项，如图，设，则， 所以； 故当时，最大面积， 综上可知，建成的饲养室中面积最大的方案是C． 故选：C． 4． 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数的解析式为，代入计算可得解析式，再把时，代入解析式计算即可． 【详解】解：根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 二次函数图象经过， ， 故答案为：． 5． 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，则， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ． 故答案为：20 7． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．根据表中数据得出抛物线解析式；令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【详解】解：由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为. 当时，， ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， （米）， ∴小溪的宽度不超过米． 故答案为：． 8．(1) (2)米 (3)相邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）求出和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致，据此进行解答即可； （3）当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根，它的彩色部分高度为，第根，它的彩色部分高度为，列方程求出，即可得到第9根与第10根的高度差为0.15米．再根据二次函数的对称性得到第3根与第4根的高度差也为0.15米． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为．依题意得． 隔离栏的长被12根栏杆等分成13份， ．， 将，代入， 得， 解得． 抛物线的表达式为． （2）栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致， 依题意得，当时，． 横幅最宽为米． （3）当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时， 设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根，它的彩色部分高度为， 第根，它的彩色部分高度为， 则， 解得． 故第9根与第10根的高度差为0.15米． 由抛物线的对称性可知第3根与第4根的高度差也为0.15米． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根． 9．(1)，， (2) (3)2 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用．熟练掌握正方形和长方形的面积公式，总价与单价和数量的关系，建立方程和函数表达式，是解题的关键． （1）根据矩形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）设，，三种花卉的总产值之和为百元，求出，根据在对称轴的左侧，随的增大而小，由，得，根据花卉区是正方形（边长不超过）即及，，三种花卉的总产值之和最小值为元得．解得． 【详解】（1）解：∵花卉B区的边长为x， ∴面积是． ∵育苗区另一边长是10， ∴花卉A区的一边长为：，另一边长为：． ∴面积为：． ∵花卉C区的一边长为：，另一边长为：， ∴面积为：． 故答案为：，，． （2）∵A，B两种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，A，B两种花卉的总产值相等， ∴． 化简得． 解得或（舍去）． 故花卉B区的边长为时，A，B两种花卉的总产值相等． （3）设，，三种花卉的总产值之和为百元． ∵花卉、区铺设一条宽为米（）且与大矩形边平行的小路， ∴花卉区种植面积：． 花卉区种植面积：．则 ． ∴的对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而小， ∵， ∴， ∵花卉区是正方形（边长不超过）即 ∴当时，有最小值． ∴． 解得． 故答案为：． 10．任务1：超市卖柚子到第30天了；任务2：；任务3：在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合是解题的关键． 任务1：由题意得，第柚子的价格为：，即可求解； 任务2：由待定系数法即可求解； 任务3：当时，则，当时，则，分别求出最大值，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，第柚子的价格为：， 则， 解得：， 即超市卖柚子到第30天了； 任务2：由表格知，日销售量（千克）是时间（天的一次函数， 设函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 故一次函数的表达式为：； 任务3：设销售旺季里利润为元， 当时，则， 当时，取得最大值为（元； 当时，则， 则函数的对称轴为， 故当时，函数取得最大值为：798元， 综上所述：当时，函数取得最大值为1200元， 即在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元． 11．(1)水线最高点与点之间的水平距离为 (2)当喷水口在点处时，水线的最大高度为 (3)的长为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．得出点的坐标为，点坐标为，点的坐标为，进而可得出答案； （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为．将坐标代入即可得出答案； （3）根据抛物线形水线的解析式为，当时，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图，以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． ， 点的坐标为，点坐标为， 若喷水口在点处，水线抛物线的对称轴为直线． 点的坐标为， 水线最高点与点之间的水平距离为． （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为． 经过点，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， 解得 ． 当时，， 当喷水口在点处时，水线的最大高度为． （3）喷水口从点处向上平移到点处， 抛物线形水线的解析式为． 当时， 解得， 点的坐标为 的长为． 12．任务：；任务，不能，理由见解析． 【分析】任务：利用待定系数法，把，代入，即可求出的值； 任务：将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：任务，由题意可知，，，． 把，代入，得， ， 解得：， 任务，不能．理由如下： 由任务知，该抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为米， ∵， ∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过． 13．（1）长为米，宽为米；（2），；（3）平方米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： （1）驱动问题一：设长为米，宽为米，根据题意，列出方程，即可求解； （2）驱动问题二：题意，列出方程，即可求解； （3）驱动问题三：设米，则米，根据题意可得长方形空地面积，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：（1）驱动问题一：设长为米，宽为米， 根据题意得：， 解得：（不合题意舍去）， 则， 答：该长方形场地的长为米，宽为米． （2）驱动问题二：根据题意得：，， 解得：，或（舍去） 故答案为：，． （3）驱动问题三：设米，则米， 长方形空地面积为， 根据题意得： 当时，长方形空地面积最大，最大值为平方米． 14．任务：；任务：飞机落地时，飞行的水平距离为；任务：． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 任务：根据表格中的数据，待定系数法求出关于的函数表达式即可； 任务：令，解方程，求出的值即可求解； 任务：设发射台弹射口高度为，表示出此时抛物线的解析式，分别求出落地点和点时，的值，即可求解． 【详解】解：任务：设关于的函数表达式为，将，，代入得： ， 解得：， 故关于的函数表达式为； 任务：当飞机落地时，即， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∵， ∴时，， 故飞机落地时，飞行的水平距离为； 任务3：由和得：， 设发射台弹射口高度为，则此时抛物线的表达式为：， 当抛物线经过点，即时，， 解得：， 当抛物线经过点，即时，， 解得：， 即， 故答案为：． 15．(1)见解析， (2)不能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，建立直角坐标系，设二次函数的表达式为：，将点代入解析式，利用待定系数法求出二次函数解析式即可． （2）把代入（1）的函数解析式， 看函数值是否等于即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2所示， 解：设二次函数的表达式为：， 将点代入可得：，解得：， 二次函数的表达式为：， （2）解：由（1）可知， 当时，， 答：篮球不能命中篮圈中心． 16．(1) (2) 【分析】（）由图象可得抛物线的顶点坐标为，设池底所在抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）分别求出和时的函数值，再相减即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，抛物线的顶点坐标为， ∴可设池底所在抛物线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴池底所在抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ∴水面下降的高度为． 17．(1)； (2)最大值为16.6米． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、勾股定理和解一元二次方程， （1）根据题意可知：，，即可设抛物线解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）过点E作，垂足为M，利用勾股定理可求得，有，当距离最大时，求得点E的纵坐标，代入解析式求得对应的点的坐标，则有警戒线之间宽度的最大值． 【详解】（1）解：由题意知：，，设抛物线解析式为 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为． （2）解：）如图，过点E作，垂足为M，由题意知：，， ∴， ∴（米） ∵， ∴ ∴当距离最大时，点E的纵坐标为： ∴，解得 ∴（米） 答：警戒线之间宽度的最大值为16.6米． 18．(1) (2) 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 19．(1) (2)当时，窗户透光面积最大，与例题相比透光的最大面积变大 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及矩形和正方形的性质，二次函数的性质，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据矩形和正方形的性质求解即可； （2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，利用二次函数的性质求得最大面积为，进而通过比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴， ∴此时窗户的透光面积为； （2）解：设，则， ∵， ∴， 则窗户的透光面积， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大； ∵， ∴与例题相比透光的最大面积变大． 20．(1)，不能，计算见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用； （1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，用待定系数法可得；当时，，知球不能射进球门． （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点，代入求出对应的的值，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把点代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：由（1）可知，小明带球向正后方移动米后射门路线的抛物线为， 把点代入得，解得（舍去），， 把点代入得，解得（舍去），， ∴m的取值范围为． 21．任务1：；任务2：4.5米 【分析】本题考查的是二次函数应用，理解题意，求出函数表达式是解题的关键． 任务1：由待定系数法求解即可； 任务2：由待定系数法求出函数表达式，进而求解； 【详解】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 可设抛物线为． 又由题意，， ． ， 顶棚部分抛物线的表达式； 任务2：如图， ∵从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同， ∴从喷水口喷出的水流看成的抛物线为， 由题意，点， 把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵ ∴当时，抛物线有最大值为3.05米， 即处喷出的水流在距离点水平距离为4.5米时达到最高． 22．(1)； (2)分 (3)能砸中，理由见解析 【分析】本题考查主要考查了二次函数的应用，解题的关键是由题意列出相应的函数解析式，并且可以求出相应的函数解析式，根据题目要求巧妙的利用函数解析式解答问题． （1）根据题意设函数解析式为顶点式，求出函数解析式； （2）将代入第一问求得的函数解析式，求出的值，然后与表格中的数据对照即可求得小明的得分； （3）将代入第一问求得的函数解析式，求出相应的值，然后与1.2比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：设函数解析式为 ∵在此抛物线上， ∴， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：将代入， 解得， ∵掷出的距离为正值， ∴小明掷出的距离是米，得分是分， 即小明在实心球训练中的得分是分； （3）解：有可能砸中标杆，理由如下： 将代入， 可得， ∵ ∴能砸中标杆． 23．(1) (2)水漂能不能飞过8米宽的河面 【分析】本题考查了二次函数的应用；利用顶点式得到所求抛物线解析式是解决本题的突破点；得到水漂第二次飞越时的函数解析式是解决本题的难点． （1）设水漂第一次飞越时的函数解析式为，由经过点，求出，再设水漂第二次飞越时的函数解析式为，求解即可得相应抛物线； （2）由飞越距离，可得 ，从而求出，再求出总共飞越距离为，最后再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，水漂第一次飞越时，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起． 设水漂第一次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得， 水漂第一次飞越时的函数解析式为 水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． 设水漂第二次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得或（舍去）， 水漂第二次飞越时的函数解析式为； （2）解：飞越两次，飞越距离， ， ， 总共飞越距离为， ， 水漂能不能飞过8米宽的河面． 24．（1）； （2） （3）； 【分析】（1）①可求得的“友好对称二次函数”的二次项系数为，又因两者的对称轴及图象与y轴交点相同，因而可得答案；②令的“友好对称二次函数”为，则可得，由于两者的对称轴相同，因而可得，故可得，可求得函数的图象与y轴交点为，而函数的图象与y轴交点为，因而可得，于是可得答案； （2）①对于二次项系数为1的二次函数，由于，即其“友好对称二次函数”的二次项系数为，因此它没有“友好对称二次函数”，故结论①正确；②对于二次项系数为的二次函数，其“友好对称二次函数”的二次项系数，由于二者的对称轴相同，式中的也相同，因而也相同，由二者与y轴的交点相同可知也相同，于是可得结论②正确；③对于，可知其“友好对称二次函数”的二次项系数为，对称轴为，进而可得，由于与y轴的交点是，因而其“友好对称二次函数”的常数项等于，于是可知结论③正确；综合以上，即可得出答案； （3）①当时，，可得解析式中的二次项系数为，由于的对称轴为，因而可得，进而可得，由于与y轴的交点是，因而解析式中的常数项等于，于是可得的函数解析式；②由于在上，因而可设，同理可设，利用、的对称性可求得正方形的边长，又因，根据可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，图象与y轴交点为， 又， 的“友好对称二次函数”为； ②令的“友好对称二次函数”为， ， 的对称轴为直线， ， 解得：， 对于函数，令，则， 函数的图象与y轴交点为， 对于函数，令，则， 函数的图象与y轴交点为， ， 的“友好对称二次函数”为； 故答案为：，； （2）①二次项系数为1的二次函数，由于，即其“友好对称二次函数”的二次项系数为，故它没有“友好对称二次函数”，故结论①正确； ②对于二次项系数为的二次函数， ， 其“友好对称二次函数”的二次项系数与原函数相同，也是， 二者的对称轴相同，式中的也相同， 也相同， 二者与y轴的交点相同， 也相同， 二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，故结论②正确； ③对于， 其“友好对称二次函数”的二次项系数为， 其对称轴为， ， 解得：， 与y轴的交点是， 其“友好对称二次函数”的常数项等于， 的“友好对称二次函数”为，故结论③正确； 综上所述，正确的结论有， 故答案为：； （3）①当时，， 解析式中的二次项系数为， 的对称轴为， ， 解得：， 与y轴的交点是， 解析式中的常数项等于， ， 的函数解析式为； ②在上， 可设， 在上， 可设， 、均关于直线对称， 正方形的边长， 又 ， 四边形是正方形， ， 即：， 整理，得：， ， ， ， 而， 不符合题意，故舍去， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，求二次函数解析式，轴对称的性质，正方形的性质，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“友好对称二次函数”的定义是解题的关键． 25．（1）；（2）售价定为320元台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润最大 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的应用， （1）根据月销售量原销售量降价，即可列出函数关系式； （2）根据总利润每台利润销售量，列出函数关系式，将函数关系式配方，即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台， 则月销售量（台）与售价（元台）之间的函数关系式：， 化简得：， ∴月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）根据题意得，， 整理得：． 当时，最大值为72000， 答：售价定为320元台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润最大． 26．(1)此球能过网 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）把代入，得：，由于，于是得到结论； （2）设为代入，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵函数解析式，当，时， ∴， 把代入，得：， ， 此球能过网； （2）解：设为代入， 得：， 解得：，（不合题意舍去）， 羽毛球在处时与点的水平距离． 27．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可． 【详解】（1）解：当时，， 故击球点的高度为； （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得， 抛物线的解析式为：， （3）第一次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， 第二次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， ， ， 故答案为： 28．(1) (2)10米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）由表格中的数据即可求解； （2）用待定系数法求函数解析式，再令，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，实心球运行的竖直高度的最大值； （2）解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， 令，则， 解得，（不合实际，舍去）． 故小明这次试投的投掷距离是10米． 29．任务：；，该方案对应的花圃面积的最大值为． 任务：当时，花圃面积取最大值 任务：丙方案设计出的花圃面积更大， 【分析】任务：根据题意分别表示，，即可得花圃面积为 ，，故当时，的最大值为； 任务：根据题意分别表示，，即可得花圃面积为 ，，故当时，花圃面积取最大值； 任务：分别计算当时，当时，相应的最大值和的最大值，排除方案乙，设的最大值函数为，的最大值函数为，令，得，根据，可得与仅有一个交点，因为当时，，在取值范围内，的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方，故丙方案设计出的花圃面积更大， 【详解】解：任务：∵，， ∴， 又∵篱笆总长为，， ∴， ∵乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分， ∴，， ∴， ∴花圃面积， 即， ∵函数开口向下，对称轴为直线， ∴时，最大值， 故答案为：；，该方案对应的花圃面积的最大值为． 任务：∵，， ∴， 又∵篱笆总长为，， ∴， ∵丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分， ∴，， ∴， ∴花圃面积， 即 ， ∵函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，花圃面积取最大值． 任务：∵甲方案：的最大值为；乙方案：最大值为，丙方案：最大值； ∴当时，的最大值为，的最大值为；当时，的最大值为，的最大值为， ∴排除乙方案， 设的最大值函数为，的最大值函数为， 令，则， 即， ∴， ∴与仅有一个交点， 当∵当时，， ∴在取值范围内，的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方， ∴丙方案设计出的花圃面积更大． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，列代数式，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．(1) (2)1 (3)当时，矩形的周长取最大值 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可； （3）设G的横坐标为n，则H的横坐标为；表示矩形的面积，然后利用顶点式求出最值即可． 【详解】（1）解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， 设抛物线的解析式为， 由题意知，，，对称轴为直线， 即，， 则，解得， 抛物线的解析式为； 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，，，对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， 则，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ，， 设直线解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ，， ，， ， ，解得或． 在的左侧， 与之间的距离为1； （3）解：如图，设G的横坐标为n，则H的横坐标为； ， ， 矩形的周长 当时，矩形的周长取最大值． 31．（1）4，3.4，6，3.4，；（2）米；（3）1.6米 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式； （2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （3）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值． 【详解】解：（1）：如图，以为原点，建立如图所示的坐标系，    由题意，可知则点坐标，点坐标， 故答案为：4，3.4，6，3.4； ， 设抛物线解析式为， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 将代入解析式， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为：； （2）如图，建立与（1）相同的坐标系，     ， 为， 改造后对称轴不变， 设改造后抛物线解析式为：， 将代入解析式， 得， 解得， ， 当时，，， 为，为， （米）， 答：的长度为米； （3）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为， 当时，， 当时，， 的坐标为，的坐标为， ， 由题意可列不等式，， 解得， ， 要使最大，需最小， 当时，的值最大，为1.6米． 答：的值最大值为1.6米． 32．任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的性质．正确求出二次函数的解析式是解题关键． 任务1：由表格可知该抛物线对称轴为直线，即为该抛物线顶点，从而可设顶点式，再将，代入求解即可； 任务2：结合（1）可知，即得出答案； 任务3：令，求出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：任务1：根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数，且当时，；当时，， ∴该抛物线对称轴为直线， ∴为该抛物线顶点， ∴可设抛物线解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 任务2：由（1）可知当时，y取最大值，即， ∴运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是 任务3：令，则， 解得：，（舍）， ∴运动员最后着陆点与起跳点的水平距离为． 33．(1) (2)点的坐标为， (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题意，求出函数表达式是解题的关键． （1）根据“高度为，它的口径等于高的倍”即可求解； （2）根据题意得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意可知灯罩的口径边缘的坐标为，且经过抛物线，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵高度为，它的口径等于高的倍 ∴灯罩的口径为； （2）∵，， ∴点的坐标为， 设抛物线的解析式为，将代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式； （3）∵设计的灯罩的抛物线形状不变， 而高度为，灯罩的口径为， ∴灯罩的口径边缘的坐标为，且经过抛物线， 即：，解得：（舍去），， 即：灯罩的高度． 34．汽车转弯时行驶的速度为米/秒 【分析】本题考查二次函数的应用，将各个参数代入函数解析式，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得千克，米，牛． 将它们代入公式，得， 整理，得． 解方程得： ∵是正数， ∴（米/秒）． 答：汽车转弯时行驶的速度为米/秒． 35．(1)3， (2)点到地面的距离为2.25米 (3) 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，则， 解得：； 抛物线的表达式为，则点，即（米）； （2）解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得，解得， 抛物线的表达式为， 当时，（米， 点到地面的距离为2.25米； （3）解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称， 抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 整理得． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． 36．（1）见解析；（2）；（3）①要想每天获得400元的利润，应定价为每盆25元或每盆35元；②售价定为30元时，每天能够获得最大利润 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用、一次函数的应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键． （1）按照从小到大的顺序进行排列即可； （2）根据表格数据，利用待定系数法进行求解即可； （3） ①设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； ②设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）售价按照从低到高的顺序排列，列表如下： 售价(元/盆) 18 20 22 26 30 日销售量(盆) 54 50 46 38 30 （2）由（1）可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆，满足一次函数关系； 故设售价为x元/盆，销售量为y盆，， 把，代入得， 解得， ； （3）①设每盆的售价为x元， 由题意，得， 整理，得， 解得， 答：要想每天获得400元的利润，应定价为每盆25元或每盆35元； ②设每天的利润为w， 由题意，得， ， ， 当时，w有最大值，最大值为450， 答：售价定为30元时，每天能够获得最大利润． 37．(1); (2)本次跳水失误，见解析 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把原点坐标代入解析式，确定a值，结合函数值计算即可； （2）根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米，计算对应的纵坐标，结合标准判断即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为， 把原点坐标代入解析式，得， 解得， 故抛物线的解析式为； ∵水面边缘点C的坐标为，C，B在一条直线上， ∴点B的纵坐标为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点． （2）解：根据，运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为5米，则此时该点的横坐标为米， 当时，， 由， 根据运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势， 故本次跳水失误． 38．(1) (2)小强在这次训练中的成绩为分 (3)小朋友有危险，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的运用， （1）根据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式， 令，则，整理得， 解得，， ∵点在轴的正半轴上， ∴小强掷的距离为米， ∵， ∴小强在这次训练中的成绩为分； （3）解：小朋友有危险，理由如下， 当时，， ∵， ∴小朋友有危险． 39．(1)①见解析；②篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为；③小明第一次投篮练习成功，见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①描点，作图即可； ②根据图表，可得抛物线关于直线对称，图象开口向下，进而可求最高点距离地面的竖直高度； ③设抛物线的解析式为，将代入，求得，则，将代入得，，则小明第一次投篮练习成功； （2）将代入得，，解得，，则，当时，，求出满足要求的值即可． 【详解】（1）解：①如图所示， ②∵，， ∴抛物线关于直线对称， ∵图象开口向下， ∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为； ③小明第一次投篮练习成功． 理由：设抛物线的解析式为． 将代入得，．解得． ∴． 将代入得，． ∴小明第一次投篮练习成功； （2）解：将代入得，．解得． ∴． 当时，． 解得：，（不合题意，舍去）． ∴此时小明距篮筐中心的水平距离． 40．(1) (2)①能过网，理由见详解；②的值为 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，设抛物线的解析式为，把，，代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据表格信息可得，当时，，即，代入一次函数解析式即可得到解析式，再根据球网高，与发球点的水平距离为，把代入计算即可求解；②根据题意可得，刚好过网时球与网接触的点为，运用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得， ， 解得，， ∴与满足的函数关系式为； （2）解：①能过网，理由如下， 根据表格信息可得，当时，，即， ∵， ∴一次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：， ∵球网高，与发球点的水平距离为， ∴当时，， ∵， ∴小胜回击的求能过网； ②，球网高，与发球点的水平距离为，小胜回击的球刚好过网， ∴刚好过网时球与网接触的点为， ∴， 解得，， ∴的值为． 41．(1)①；②没有失误 (2)变小 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）①根据抛物线的性质求得对称轴，进而结合表格，即可求解； ②待定系数法求得抛物线解析式，得出，的值，结合题意，即可求解； （2）根据题意判断抛物线的开口大小，即可求解． 【详解】（1）解：①∵当和时， ∴抛物线的对称轴为直线 又∵抛物线开口向下， 当时，即运动员第一次跳水的竖直高度的最大值为， 故答案为：． ②没有失误，理由如下， 由①可得抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， 解得： 依题意，他没有失误 （2）解：∵在第二次跳水时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系式：，第一次抛物线解析式为 ∴第二次的抛物线的开口比第一次抛物线的开口小，根据题意，此时的水花相比第一次跳水的水花变小， 故答案为：变小． 42．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解即可 （2）利用（1）中所求得出，即可得出抛物线的解析式； （3）将代入（2）中所求解析式即可得出答案； 根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键． 【详解】（1）解：∵当时，，代入， 得：， ∴， ∵当时，，代入， 得：， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为； （3）∵桌面的高度为厘米，正方体纸箱的高度为厘米，小球要落入纸箱中，则小球要在时进入纸箱， ∴将代入， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵正方体纸箱的高度为厘米， ∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为：（厘米）， ∴纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围为． 43．(1)3.5， (2)< (3)她当天的比赛能成功完成 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，即可． （2）分别求出两个解析式，当时，的值，进行比较即可． （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：3.5，． （2）解：∵， 当时：， 解得：或 (不合题意，舍去)； ． ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 故答案为：<． （3）解：， ， ， ， 当时， 即她在水面上能够完成此动作， ∴她当天的比赛能成功完成此动作． 【点晴】本题考查二次函数的实际应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是正确的求出函数解析式． 44．(1)画图见解析，y与x满足二次函数关系，抛物线的表达式为 (2)喷水管需要向下平移米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，涉及求二次函数解析式，二次函数作图，二次函数的平移，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法． （1）先描点，然后连线，作出函数图象；用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出原抛物线的落水点为，根据题意得出新抛物线的落水点为，设喷水管需要向下平移h米，得出新抛物线的表达式为，将代入求出结果即可． 【详解】（1）解：描点，连线如图：    猜想y与x满足二次函数关系； 观察图象可知，顶点坐标为， 设y与x之间的函数表达式为， 将代入，得，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，得，解得：， ∴原抛物线的落水点为， ∴新抛物线的落水点为，即， 设喷水管需要向下平移h米， 则新抛物线的表达式为， 将代入得， 解得：， 答：喷水管需要向下平移米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$