精品解析：湖南省张家界市慈利县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024年秋季期中教学质量检测八年级数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（每小题3分，共10道小题，合计30分） 1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在代数式、、、、、中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ） A. B. C. 5 D. 6 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. （） D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 三个角分别相等的两个三角形全等 B. 两边和一边的对角分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 6. 甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了120个零件时乙做了90个零件，设甲每小时能做个零件，根据题意可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，DE是AC的垂直平分线，的周长为17cm，且的周长为11cm，则（ ）cm． A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，已知∠B＝∠C，补充下列条件后，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. AD＝AE B. BE＝CD C. ∠AEB＝∠ADC D. AB＝AC 9. 已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D为BC的中点，AD＝12，BD＝5，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE＋PB的最小值为（ ） A. B. 12 C. 10 D. 10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③；④；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，合计24分） 11. 分式，，的最简公分母是_________． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是_____________． 13. 若，，则的值为_______． 14. 如图，，请你添加一个适当的条件_________，使得． 15. 关于的分式方程有增根，则________． 16. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算______． 17. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 18. 如图，在第1个中，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的底角度数是_______________． 三、解答题（合计66分） 19. 计算：． 20. 解分式方程：      21. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 22. 如图，，，，求证：． 23. 如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE． （1）如果∠BAD = 20°，求∠B的度数，求∠C 的度数； （2）如果△ABC的周长为13 cm，AC = 6 cm，求△ABE的周长； 24. 某工厂引进甲、乙两台机器对同样一种零件进行精加工，已知乙种机器每小时精加工的数量比甲种机器每小时加工的数量少，两台机器各加工1200个零件，乙机器比甲机器多用10小时． （1）甲，乙两台机器每小时各能加工多少个零件？ （2）若甲、乙两台机器的加工报废率分别为和，现用甲、乙两台机器一起加工10000个零件，要求报废率不高于，则最多安排甲机器加工多少小时？ 25. 如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 26. 已知和都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请画图并直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期中教学质量检测八年级数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（每小题3分，共10道小题，合计30分） 1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知 A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意； C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2. 在代数式、、、、、中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义进行分析判断即可． 【详解】由分式的定义可知，在代数式：，，，，，中，属于分式的有：，，共计2个． 故选：B． 【点睛】本题考查分式，熟记“分式的定义：形如（其中A、B都为整式，且B中含有字母）的式子叫做分式”是解答本题的关键． 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. （） D. 【答案】B 【解析】 【分析】感觉同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方法则分别计算． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 三个角分别相等的两个三角形全等 B. 两边和一边的对角分别相等的两个三角形全等 C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法对A、B、C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断． 【详解】解：A、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，是假命题； B、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，原说法错误，是假命题； C、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，说法正确，是真命题； D、在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，原说法错误，是假命题； 故选：C． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，角平分线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解题的关键． 6. 甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了120个零件时乙做了90个零件，设甲每小时能做个零件，根据题意可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件，根据甲做120个零件所用的时间和乙做90个零件的时间相等，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设甲每小时能做个零件，则乙每小时做个零件， 由题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键仔细审题，根据甲、乙用时相等列出方程，注意分式方程要检验． 7. 如图，在中，DE是AC的垂直平分线，的周长为17cm，且的周长为11cm，则（ ）cm． A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，AE=CE=AC，再根据△ABC的周长为17cm，△ABD的周长为11cm，可得AB+BC+AC=17cm，AB+BC=11cm，即有AC=6cm，则问题得解． 【详解】∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=DC，AE=CE=AC， ∵△ABC的周长为17cm，△ABD的周长为11cm， ∴AB+BC+AC=17cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=11cm， ∴AC=6cm， ∴CE=3cm， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据△ABC的周长和△ABD的周长得出AC的长度是解答本题的关键． 8. 如图，已知∠B＝∠C，补充下列条件后，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. AD＝AE B. BE＝CD C. ∠AEB＝∠ADC D. AB＝AC 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．A可利用AAS判定；B可利用AAS判定；C只有三个对应角相等，无法证明；D可利用ASA判定． 【详解】A．∵∠B=∠C，∠A=∠A，AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD(AAS)，故该选项不符合题意； B．∵∠A=∠A，∠B=∠C，BE＝CD， ∴△ABE≌△ACD(AAS)，故该选项不符合题意； C．由题意可知只有∠A=∠A，∠B=∠C，∠AEB＝∠ADC三个已知条件， ∴无法由三个角对应相等证明三角形全等，故该选项符合题意； D．∵∠B＝∠C，AB＝AC，∠A=∠A， ∴△ABE≌△ACD(ASA)，故该选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理．能熟记并掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL． 9. 已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D为BC的中点，AD＝12，BD＝5，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE＋PB的最小值为（ ） A. B. 12 C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE＋PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵AD＝12，BD＝5，AB＝13， ∴AB2＝AD2＋BD2， ∴∠ADB＝90°， ∵D为BC的中点，BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴点B，点C关于直线AD对称， 过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE＋PB＝CE的值最小， ∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD， ∴13•CE＝10×12， ∴CE＝， ∴PE＋PB的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题． 10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③；④；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形角平分线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对②进行判断；根据和的关系③进行判断．由角平分线的定义可得出，则可得出结论． 【详解】解：①过点F作FP⊥BC于P, ∵是角平分线，FP⊥BC, , ∴ 又∵（垂线段最短） ∴ ∴，故①错误； ②∵，， ∴， 而， ，故②正确． ③∵是中线，是角平分线，不一定是等腰直角三角形， ∴与不一定相等，不一定相等， ∴不一定全等， ∴不一定相等， ∴不能推出，故③错误； ④∵，是高， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 正确的有：②④，共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 二、填空题（每小题3分，合计24分） 11. 分式，，的最简公分母是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的求法，即可得出答案． 【详解】解：因为分式，，的分母分别是、、，数字部分取三个数字的最小公倍数，字母部分取相同因数指数最大的，可得最简公分母为：； 故答案为． 【点睛】本题考查最简公分母的找法，注意数字部分要找最小公倍数，相同的因数，包括有的是因式，要取相同因式指数最大的，然后乘积就是最简公分母，这部分比较简单，遇到分母为多项式的要先进行因式分解． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是_____________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，题目给出的两边长没有明确腰、底分别是多少，所以分类讨论，再根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：若腰长为4，则三角形的三边长分别为4，4，9， ， 不符合三角形的三边关系， 若腰长为9，则三角形的三边长分别为4，9，9， ， 符合三角形的三边关系， 这个三角形的周长是， 故答案为：22． 13. 若，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则．根据同底数幂的除法可得，再代入值计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，，请你添加一个适当的条件_________，使得． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 添加时，， 故答案为：． 15. 关于的分式方程有增根，则________． 【答案】3或 【解析】 【分析】解分式方程，先将原方程变形为整式方程，然后根据方程有增根的概念可知，或是原方程的增根，代入求值即可求解． 【详解】解：方程左右两边同时乘以得： ∵原方程有增根 ∴或， 当时， 当时， 故答案为：3或． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念准确计算是解题关键． 16. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算______． 【答案】81 【解析】 【分析】根据作图痕迹可得AD是的平分线，EF是线段BC的垂直平分线，根据角与角之间的关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹可得AD是的平分线， ∴， 根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：81． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握相关性质并熟练运用数形结合的思想． 17. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 18. 如图，在第1个中，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的底角度数是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是规律探究题，涉及等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是得出角的变化规律，先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外交的性质和等腰三角形的性质分别求出的度数，然后分析上面计算出的角度，找出规律即可得出第n个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，， ， ，是的外角， ， 同理可得：，，， 第n个三角形中以为顶点的底角度数是， 故答案为：． 三、解答题（合计66分） 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算．先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 解分式方程：      【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键，观察可得最简公分母为，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程，解得x的值，再代入检验即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 21. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 22. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】由得到，然后根据SAS，得到，然后得到结论成立. 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到. 23. 如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE． （1）如果∠BAD = 20°，求∠B的度数，求∠C 的度数； （2）如果△ABC的周长为13 cm，AC = 6 cm，求△ABE的周长； 【答案】（1）∠B＝70°，∠C＝35°； （2）△ABE的周长为7cm； 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出AB=AE，根据等腰三角形的性质可求∠B＝∠AEB，再根据三角外角的性质求出∠C即可； （2）通过线段的等量代换即可求解． 【小问1详解】 解：∵AD⊥BC，BD=DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴∠BAD＝∠EAD＝20°， ∴∠BAE＝40°， ∴∠AEB＝∠B＝， ∵点E在AC的垂直平分线上， ∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC=∠AEB=35°； 【小问2详解】 解：∵△ABC的周长为13cm，AC=6cm， ∴AB+BC=13-6=7(cm)， ∴△ABE的周长=AB+BE+AE= AB+BE+EC=AB+BC=7(cm)． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力． 24. 某工厂引进甲、乙两台机器对同样一种零件进行精加工，已知乙种机器每小时精加工的数量比甲种机器每小时加工的数量少，两台机器各加工1200个零件，乙机器比甲机器多用10小时． （1）甲，乙两台机器每小时各能加工多少个零件？ （2）若甲、乙两台机器的加工报废率分别为和，现用甲、乙两台机器一起加工10000个零件，要求报废率不高于，则最多安排甲机器加工多少小时？ 【答案】（1）甲机器每小时能加工80个零件，乙机器每小时能加工个零件 （2）最多安排甲机器加工50个小时 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设甲机器每小时加工x个零件，则乙机器每小时加工，根据两台机器各加工1200个零件，乙机器比甲机器多用10小时，列出方程，解方程即可； （2）设安排甲机器加工m小时，则甲机器加工零件数为个，乙机器需要加工零件数为：个，根据报废率不高于，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲机器每小时加工x个零件，则乙机器每小时加工，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， （个）， 答：甲机器每小时能加工80个零件，乙机器每小时能加工个零件； 【小问2详解】 解：设安排甲机器加工m小时，则甲机器加工零件数为个，乙机器需要加工零件数为：个，根据题意得： ， 解得：， 答：最多安排甲机器加工50个小时． 25. 如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段和线段垂直； （2）存在或使得与全等 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，证明，得出，求出，即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若，则，， 由题意可得：，，则， ∴， 解得：， ②若，则，， 由题意可得：，，则， ∴， 解得：； 综上所述，存在或使得与全等． 26. 已知和都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请画图并直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1） 解：如图1， ， ， 又，， ， ， ； （2） 解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2， ， ， 又，， ， ， ， ； （3）存在的数量关系为，位置关系为，如图3． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在的数量关系为，位置关系为 如图3， ， ， 又，， ， ，， ． ，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $