28.2.1解直角三角形（教学课件） 2023-—2024学年人教版数学九年级下册

28.2.1解直角三角形 第二十八章 锐角三角函数 素养目标 1.了解解直角三角形的概念； 2.理解、掌握直角三角形中的五个元素之间的联系； 3.能根据直角三角形中除直角以外的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形； 重点 重难点 新课导入 A C B 直角三角形中，除直角外，共有5个元素， 即三条边和两个锐角. 直角三角形由哪些元素组成？ 【问题1】能否通过直角三角形中的已知元素求出未知元素？ 【问题2】需要几个已知元素才能求出其余的所有未知元素？ 下面我们带着问题开始本节课的学习探究 探究新知 现在我们回到本章引言中提到的比萨斜塔倾斜程度的问题. 我们能否运用前几节所学的知识解决该问题？ 探究新知 意大利比萨斜塔 垂直中心线 塔身中心线 1972 年的情形： 设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5.2m， AB = 54.5m，求∠A的度数. B A C 探究新知 垂直中心线 塔身中心线 B A C 由计算器可得 ∠A ≈ 5°28′. 将上述问题推广到一般情形，就是：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数. 根据正弦的定义我可以得到 探究新知 思考：在上面的Rt△ABC中，除了能求出∠A 的度数，你能求出其他角或者边吗？ 请说出你的思路和依据，不用解答 【总结】一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 探究新知 【思考】在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ A B C b a c （1）三边之间的关系 a2 + b2 = c2（勾股定理） （2）两锐角之间的关系 ∠A + ∠B = 90° （3）边角之间的关系 1.sinA=（ ）= （ ） 2.cosA=（ ）= （ ） 3.tanA=（ ）= （ ） 探究新知 【思考】知道五个元素中的几个，就可以求出其余未知元素？ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90° （1）根据∠A=60°，你能求出这个三角形的其他元素吗？ （2）根据∠A=60°，∠B=30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？ （3）根据∠A=60°，斜边AB = 4，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 不能 不能 能 A B C 探究新知 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 60°，斜边AB = 4，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 60° A B C 已知∠A=60°，因此可以得到 【总结】已知一斜边和一锐角，可以解这个直角三角形. 探究新知 【总结】已知一直角边和一锐角，可以解这个直角三角形. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). 解： A B C b c a 35° 探究新知 A B C 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ， 解这个直角三角形. 解： 【总结】已知两直角边，可以解这个直角三角形. 探究新知 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，解这个直角三角形． A B C 【总结】已知一直角边和一斜边，可以解这个直角三角形. 归纳总结 在Rt△ABC中，已知一角或两角，不能求其它元素；已知一角一边或两边，能求其他元素 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三） 解直角三角形的两种基本类型： ①已知一角一边，解直角三角形； ②已知两边，解直角三角形． 锐角 邻边、对边或斜边 两条直角边，或斜边和一条直角边 图形 已知条件 解法 两边 两直角边（a,b） 斜边、一直角边 （如c，a） 一边和一锐角 一直角边和一锐角 一锐角与邻边（如 ∠A,b） 一锐角与对边（如∠A,a ） 一锐角与斜边（如 ∠A,c） A B C b a c B C D 9 小结 解直角三角形 解题依据 除直角外五个元素中，知二（至少一边）求三 勾股定理 两锐角互余 锐角三角函数 已知两边 已知一边 一角 两条直角边 一直角边与斜边 一直角边与一角 斜边与一角 谢谢同学们的聆听 可以得到∠A为60°， ， 练习1 在 中， 的长等于( ) QUOTE sinA=,1-3. ，则AC QUOTE AB=15 ， QUOTE ∠C=90° ， A.45 B. C. D. 解析： ， ， 由勾股定理可知： ，故选：B. 练习2 如图，在 中， ， ， ，则 的长为( ) A. B.3 C. D.2 解析： 在 中， ， ， ， ， . 故选：C. 练习3 在 中， ， ， ，则 的长为( ) A.3 B.2 C. D. 解析：在 中， ， . ， . . .故选：D. 练习4 如图，在 中， ， ， ， ，则 ______. 解析： ， ， ， ， ， 在 中， ， . 故答案为：9. 练习5 在 中， ， ， ，求BC的长. 解：在 中， ， ， ， . 练习6 如图,在 中, 于点D,已知 , , ,求 的长. 解：∵ ,∴ , ∴ , 设 ,则： , ∴ ,∴ ,∴ , ∵ ,∴ . 练习7 如图，在 中， . (1)已知 ， ，求BC的长； (2)已知 ， ，求 的度数. 解：(1)在 中， ， ， ， . 解：(2)在 中， ， ， ， . 练习8 如图，在 中， ， 是 边上的中线， ， ， . （1）求 的长；（2）求 的值. 解：（1）在 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； 解：（2） EMBED Equation.DSMT4 是 边上的中线， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 . $$