专题6-1一次函数 （考题猜想，热考+压轴 必刷67题17种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想6-1 一次函数 （热考+压轴 必刷67题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的基础 · 从函数图象上获取信息 · 根据一次函数的定义求参 · 待定系数法求一次函数解析式 · 一次函数的性质 · 画一次函数图象 · 一次函数最值问题 · 一次函数平移问题 · 一次函数对称/翻折问题 · 一次函数与方程/不等式 · 一次函数与实际问题 · 一次函数与新定义问题 · 一次函数与规律探究问题 · 求一次函数围成的图形面积 · 一次函数与几何综合 · 一次函数与存在性问题 一．函数的基础（共3小题） 1．（21-22八年级下·河南鹤壁·期末）八（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度v/（） 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量． (2)从表中效据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高______． (3)声音在空气中的传播速度v/（）与气温的关系式可以表示为______； (4)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)气温；声音在空气中的传播速度； (2)； (3)； (4)1721 m 【分析】本题考查了函数的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义， （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出v，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中传播的速度是因变量； 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度． （2）解：由表中的数据得：气温每升高，声音在空气中的传播速度就提高． ∴气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． 故答案为：0.6． （3）解：根据题意：当时，声音在空气中传播的速度为，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高． ∴声音在空气中的传播速度v与气温t（）的关系式可以表示为 故答案为：． （4）解：当时， ， m， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1721m． 2．（22-23八年级下·河南南阳·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示．      (1)根据图2补全表格： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 ______ 5 ______ 5 … (2)变量y是x的函数吗？为什么？ (3)根据图象，摩天轮的直径为______m． (4)假设摩天轮匀速旋转，在开始旋转的第一圈内，离地面高度是40m时，所用时间大约是______min（精确到0.1）． 【答案】(1)见解析 (2)变量y是x的函数，理由见解析 (3)65 (4)1.6或4.4 【分析】（1）根据图2中的数据进行解答即可； （2）根据函数定义结合图2进行解答即可； （3）根据图2可知摩天轮的最高点和最低点，两者相减即可得出直径； （4）先算出摩天轮上该点旋转的平均速度，再根据速度公式分别计算出上升和下降过程中所对应的时间即可． 【详解】（1）补全的表格如下： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 70 5 54 5 … （2）变量y是x的函数； 理由：函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数； 根据图2中圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系可知，该关系符合函数的定义，故变量y是x的函数； （3）， ∴摩天轮的直径为， 故答案为：65； （4）若摩天轮匀速旋转，则摩天轮上该点从最低点到最高点（或从最高点到最低点）的平均速度为， 第一圈，上升到时，所用时间为； 第一圈，下降到时，所用时间为； 故答案为：1.6或4.4． 【点睛】本题考查了函数图象的时间应用，理解题意，熟练运用数形结合是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南安阳·期末）姜瑶帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（单位：）与摆动时间t（单位：）之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断h是否为t的函数并说明理由． (2)结合图象回答以下问题． ①当时，h的值是多少?请说明它的实际意义． ②秋千从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点后继续回到最高点，这个过程称为一个周期．如图：第一周期为．请计算出秋千摆动的第二个周期需要多长时间． 【答案】(1)变量h是变量t的函数，理由见解析 (2)①秋千摆动到时，秋千离地面的高度为；② 【分析】本题主要考查函数的概念，从函数图象中获取信息，掌握函数的概念是解题的关键． （1）根据函数的定义进行判断即可； （2）①根据函数图象即可求解；②根据函数图象即可求解； 【详解】（1）解：由图象可知,对于每一个摆动的时间t， h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h 是变量t的函数； （2）解：①由函数图象可知,当时，； 它的实际意义是：秋千摆动到时，秋千离地面的高度为； ②由图象可知，秋千摆动的第二个周期需要时间为：； 二．从函数图象上获取信息（共4小题） 4．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）奶奶从家里出发，外出散步，走到人民广场看到有人在跳广场舞就跟着跳了一会儿后，继续散步了一段时间，然后回家．下图描述了奶奶在散步过程中离家的距离y（米）与散步所用时间x（分）之间的函数关系．根据图象回答下列问题： (1)奶奶家距离人民广场____________米．奶奶跳广场舞用了____________分钟． (2)第分钟到第分钟，奶奶走了多少米？ (3)返回时，奶奶的平均速度是多少？ 【答案】(1)， (2)第分钟到第分钟，奶奶走了米 (3)返回时，奶奶的平均速度是米/分 【分析】本题考查了函数图象．读懂函数图象信息是解题的关键． （1）到时间增加，而离家的距离没变，所以这段时间跳广场舞，这时候离家距离米； （2）第分钟到第分钟，奶奶走了米； （3）根据“速度路程时间”可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知：奶奶家距离人民广场米，奶奶跳广场舞用了分钟． （2）解：由图象可知：第分钟到第分钟，奶奶走了米． 答：第分钟到第分钟，奶奶走了米． （3）解：返回时，奶奶的平均速度是（米/分）． 答：返回时，奶奶的平均速度是米/分． 5．（23-24八年级上·江西吉安·期末）为践行“低碳环保、绿色出行”的理念，周末小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以的速度骑行一段时间，休息了，再以的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程与时间的关系如图． 请结合图象，解答下列问题． (1)________；________；______； (2)若小军的速度是，小军出发后多少分钟在途中与爸爸第二次相遇． 【答案】(1)10，15，200 (2)分钟 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键是明确题意，从图象中获取信息． （1）根据题意和函数图象可知爸爸以150米/分的速度行驶了1500米，即可求a，再根据休息了5分钟得出b即可，根据图象中的数据，可以计算出的值； （2）根据题意，由路程相等得出方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：由图可得， ，； ； （2）解：设小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间是第分钟， ， 解得， 答：小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间是在第分钟． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑，当小明出发时，妈妈已经距离起点米，他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题． (1)如图，小明出发之后，前秒小明的速度是_____米/秒，前秒妈妈的速度是_____米/秒； (2)求代表的数字是多少？ (3)小明出发后的秒内，多少秒时，小明与妈妈的距离为米？ 【答案】(1)，； (2)； (3)两人分别于秒、秒时相距米． 【分析】（）根据图象即可求解； （）根据图象可知代表的数字是小明和妈妈第一次相遇时距离起点的距离，求出时间即可求出的值； （）分第一次相遇前，两人第一次相距米和第一次相遇后且，两人第二次相距米两种情况解答即可求解； 本题考查了函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，小明出发之后，前秒小明的速度为米秒， 前秒妈妈的速度为米/秒， 故答案为：，； （2）解：由图象可知，代表的数字是小明和妈妈第一次相遇时距离起点的距离， 由得，， ∴； （3）解：在第一次相遇前，当两人第一次相距米时， 由题意得，， 解得； ②在第一次相遇后且，当两人第二次相距米时， 由题意得，， 解得； 综上，小明出发后的秒内，两人分别于秒、秒时相距米． 7．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）“扬州是个好地方”，小明与小亮相约利用周末时间去三湾生态公园游玩，他们从该公园的某条路上的处同时出发，沿相同路线匀速前行，边走边赏景，但小明比小亮走得快一些，小亮的速度是50米/分，小明走到了处停下，观望了一处风景2.6分钟后按原速沿原路匀速返回，直到两人相遇，如图是两人之间的距离（米）与小亮行走的时间（分）之间的函数图象， （1）小明的速度为______米/分，、两处的路程为______米； （2）点的坐标是______，点的坐标是______． （3）求小明与小亮相距时小亮行走的时间． 【答案】（1）80，1040；（2），；（3）相距时小亮行走的时间4分钟或分钟． 【分析】（1）先算出共行的路程，即可算出小明的速度，再根据小明走了13分钟走到N处，根据路程的计算公式计算即可； （2）根据从A到N走了2.6分钟计算即可； （3）根据小明未到点N前和到点N后计算即可； 【详解】解：（1）由图可知，从O到A是小明与小亮沿相同方向匀速前行，则（米）， ∴米/分， 由题可知：当小明走了13分钟时走到N点， ∴米， ∴小明的速度为80米/分，、两处的路程为1040米； （2）由题知， 在2.6分钟内：小亮行走了（米）， ∴（米）， ∴， ∴， 设小明返回后t分钟两人相遇， ∴， ∴， ∴； ∴点的坐标是，点的坐标是； （3）小明未到达点N前：分， 小明到达点N后：，解得， ∴相距时小亮行走的时间4分钟或分钟． 【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，准确分析计算是解题的关键． 三．根据一次函数的定义求参（共2小题） 8．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可； （2）利用正比例函数定义进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得：且， 解得：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如是常数，且的函数叫做正比例函数；形如是常数，且的函数叫做一次例函数． 9．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）已知． （1）满足什么条件时，是一次函数？ （2）满足什么条件时，是正比例函数？ 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）形如是一次函数，根据一次函数的定义解题； （2）形如是正比例函数，根据正比例函数的定义解题. 【详解】（1）：当时为一次函数， 解得． （2）：当时为正比例函数， 解得． 【点睛】本题考查一次函数、正比例函数的定义，其中涉及绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 四．待定系数法求一次函数解析式（共2小题） 10．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）若一个正比例函数的图象经过，点在这条直线上，求m的值？ 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数解析式的求法及运用解析式求点的坐标的方法，熟练运用待定系数法求解析式，并利用解析式求点的坐标是解题关键． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 将点代入，得： ，解得：， ∴正比例函数的解析式为． 当时，， 解得：， ∴． 11．（23-24八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，设一次函数的解析式为，把点和代入进行求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为． 12．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 当时， ， 解得：， 与x的函数关系式为， 即； （2）把代入得， ∴． 13．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高是指距的一次函数．表格是测得的一组数据： 指距 19 20 21 身高 151 160 169 求与之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，根据表格数据，待定系数法求出y与x之间的函数关系式即可； 【详解】解：设y与x的函数关系式为， 由题意可得，， 解得， ∴y与x之间的函数关系式 五．一次函数的性质（共5小题） 14．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知y关于x的函数． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 【答案】(1) (2)①该函数图象经过第一、三、四象限；② 【分析】本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义即可求得的值； （2）①当时，，根据一次函数的系数及常数项即可判断该函数图象经过的象限；②由，可知随增大而增大，结合可得结论． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴且，即且， ∴； （2）①当时，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限； ②∵， ∴随增大而增大， 则当时，． 15．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的一次函数 ． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)当m为何值时，函数图象与轴的交点在x轴的下方？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质． （1）根据图象经过原点，常数项，即可求解； （2）根据两条直线平行，比例系数k相等，即可求解； （3）根据图象与y轴的交点在x轴的下方，常数项，即可求解． 【详解】（1）∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得； （2）∵一次函数的图象平行于直线， ∴， 解得； （3）∵一次函数的图象与轴的交点在x轴的下方， ∴， 解得． 16．（23-24八年级下·吉林·期末）已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，一次函数的增减性，解题的关键是理解题意． （1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式即可； （2）由得：，当时，，当时，，根据随的增大而增大，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ， 当时，， 当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，求的取值范围为：． 17．（23-24八年级上·山东烟台·期末）一次函数（为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）本题考查用待定系数法求字母的值，将点代入一次函数中求解，即可解题． （2）本题考查根据函数的增减性求最值，根据题意分以下两种情况讨论，①当时，随的增大而增大，在时，函数取得最大值，②当时，随的增大而减小，在时，函数取得最大值，根据以上两种情况分析，建立关于的等式并求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点代入一次函数中， 有，解得． （2）解：一次函数的解析式为， ①当时，随的增大而增大， 当时，在时，函数取得最大值为， 函数有最大值为10， ，解得， 当时，随的增大而减小， 当时，在时，函数取得最大值为， 函数有最大值为10， ，解得， 综上，的值为或． 18．（21-22八年级下·河北保定·期末）已知关于x的一次函数． (1)当时，点和在该函数的图象上，试比较与的大小； (2)当n为何值时，该函数的图象与y轴的交点在直线的下方？ (3)若该函数的图象经过，两点． ①求的值； ②求这个一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据题意可得函数解析式为．再根据一次函数的增减性，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）①利用待定系数法解答，即可求解；②由①，即可求解． 【详解】（1）解：当时，． ∵， ∴y随x的增大而减少． ∵3＜6， ∴； （2）解：根据题意得：函数的图象与y轴的交点为， ∴， ∴； （3）解：①根据题意得：， 解得， ∴； ②这个一次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 六．画一次函数图象（共3小题） 19．（23-24八年级下·全国·期末）分别画出函数和的图象，再根据图象，回答下列问题： （1）两个图象各经过哪些象限？ （2）判断点、 是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什么？ 【答案】画图见解析；（1）函数的图象过第一、二、三象限，函数的图象过第二、三、四象限；（2）、在函数的图象上，在函数的图象上 【分析】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是画出函数的图象．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分别令、找出函数与坐标轴的交点坐标，根据交点坐标画出图象是关键． 利用画直线的方法画出两个函数的图象． （1）结合函数图象，即可得出两个图象各经过哪些象限； （2）分别将各点的横坐标代入这两个函数关系中，求解并判断即可． 【详解】解：在中，令，则，得，令，得， 函数的图象过点和， 在中，令，则，得，令，得， 函数的图象过点和， 在坐标轴上画出两函数图象，如图所示． （1）观察两函数的图象发现：函数的图象过第一、二、三象限，函数的图象过第二、三、四象限； （2）当时，，， 在函数的图象上； 当时，，， 在函数的图象上； 当时，，， 不在这两个图象上； 当时，，， 在函数的图象上； 20．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据当时，或1，得到和有一个点不在该函数图象上，再根据待定系数法求出一次函数的解析式，求出当时x的值，即可得到答案； （2）根据描点法进行画图即可； （3）根据斜率相同，两直线平行，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，或1， ∴和有一个点不在该函数图象上，和在该函数图象上， 设一次函数的解析式为， 则， 解得：，， ∴一次函数的解析式为， 当时，，解得， ∴点不在该图象上， 故答案为：； （2）解：一次函数的图象如下所示， （3）解：∵当一次函数斜率相同时，两直线平行，一次函数的解析式为 ∴正比例函数的解析式为：． 【点睛】本题考查求一次函数的解析、描点法画一次函数的图象和一次函数图象的性质，解题的关键是求出一次函数的解析式． 21．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 a b 0 … 则______，______. (2)描点并画出该函数的图像； (3)①判断：函数的图像______（填“是”或“不是”）轴对称图形； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是______ ③观察函数图像，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接指出最小值，并通过代数推理加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；； (2)画图见解析； (3)①是；②或；③存在，最小值为，证明见解析． 【分析】（1）把的值代入计算，即可求出、的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）①利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； ②分情况讨论：时和时，分别求解不等式，即可得到答案； ③利用绝对值的性质，得到，当且仅当时取等号，即可判断最小值． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即， 故答案为：；； （2）解：函数图象如下： （3）解：①由（2）图象可知，函数的图像是轴对称图形， 故答案为：是； ②， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：， 故答案为：或； ③存在，最小值为，证明如下： ， ，当且仅当时取等号， 函数的最小值为； 即存在最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 七．一次函数最值问题（共4小题） 22．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值2，求的函数表达式； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质； （1）将点代入关系式，求出，即可求解； （2）①当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；②当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解； 掌握一次函数的性质，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：； （2）当时，即随x的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：， ∴函数表达式为； 当时，即随x的增大而减小， ∴当时，，即， 解得：， ∴函数表达式为； 综上所述，函数表达式为或． 23．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数关系式； (2)当时，y的最大值为7，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与成正比例列关系式，将时，，代入求解即可； （2）对于一次函数，y随x增大而增大，所以将代入（1）中所求函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解： 与成正比例， 设， 将时，，代入得：， 解得， ， 故y与x的函数关系式为：； （2）对于一次函数，y随x增大而增大且当时，y的最大值为7， 点在该函数图象上， ， 解得， 故m的值是． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数关系式、函数上点的坐标，属于基础题．题目难度不大，细心计算是关键． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②1或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②先求出，然后分两种情况，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得：，     ∴的表达式为； （2）解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∵当时，函数有最大值6， 若，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 若，y随x的增大而减小， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 综上所述，a的值为1或． 25．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． (1)求此函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，求得M、N． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求得最大值M和最小值N，进而即可求得的值． 【详解】（1）解：∵一次函数（k为常数且）的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵当时，记函数的最大值为M，最小值为N， ∴， ∴． 八．一次函数平移问题（共3小题） 26．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将直线AB向上平移6个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． （1）直接把点和代入一次函数，求出，的值即可得出函数解析式； （2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：一次函数的解析式为， 直线向上平移6个单位后所得直线的解析式为， 当时，； 当时，， 直线与坐标轴的交点为，， 平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 27．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点、，把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．    (1)求直线l对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出C、D两点的坐标，然后用的面积减去的面积即可得出四边形的面积． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， ∵直线l分别与x轴、y轴交于点、， ∴， 解得， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：直线l沿y轴向下平移3个单位长度得， ∴直线m的解析式为， 当时，， ∴点D坐标为， ∴， 当时，， ∴点C坐标为， ∴， ∵，， ∴四边形的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，直线的平移，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 28．（21-22八年级上·江苏泰州·期末）点，为一次函数（）图像上两点． (1)若 ①当时，的范围为______． ②若将此函数图像沿轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为______． (2)比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据题意得到-2x+4＜0，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得； （2）根据一次函数的性质即可判断． 【详解】（1）∵k=-2， ∴一次函数为y=-2x+4， ①∵y＜0， ∴-2x+4＜0， ∴x＞2； ②将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为y=-2x+4+3=-2x+7； 故答案为：①；② （2）∵一次函数y=kx+4中，k＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y=kx+4（k＜0）图象上两点，且m＜m+3， ∴p＞q． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，正确记忆平移规律是解题关键． 九．一次函数对称/翻折问题（共4小题） 29．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标． (2)已知与关于直线对称．若点的坐标为，画出直线并写出直线的函数表达式． 注：点，，及点，，分别是点，，按题中要求变换后对应得到的点． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质得到点、、的对应点、、的坐标，然后描点得到； （2）根据题意可知直线垂直平分直线，连接交直线于点，求得点坐标，结合，得到点在直线上，即可得出解析式． 【详解】（1）解：将，，分别向左平移4个单位得到，，，依次连接得到， 如图所示，即为所求， 点的坐标为． （2）解：，，与关于直线对称 直线垂直平分线段 连接交直线于点，不妨设点 那么有， 解得， 点的坐标为 连接，，根据网格性质可知 点在直线上 设直线的解析式为，代入 则，即 直线的函数解析式为 故如图所示，直线即为所求， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平移变换，轴对称变换，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 30．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)若点B，O关于点D对称，求直线的解析式； (3)若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积． （1）把点代入直线中，求得b的值，即得到直线的解析式，再分别令，，即可求得点A，B的坐标； （2）根据点，关于点对称可得，采用待定系数法，将，代入直线即可求解； （3）根据三角形的面积公式求得，连接，可求得，满足题意，此时直线过原点O，根据待定系数法求出k的值；当时，根据三角形面积公式可求出点C的坐标，进而可以待定系数法求出k的值． 【详解】（1）解：将点代入直线得，， 解得：， 直线， 令，得，令，得， 点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：∵点，关于点对称， ∴点D是的中点， ∴点的坐标为， 将，代入，得 ，解得， 直线的解析式为； （3）解：∵，， ∴． 连接， 则， ∴， ∴直线过原点O时，满足直线将的面积分成两部分， 将点，代入直线，得 ，解得； 当时， 即， ， 点的坐标为， 将点，代入直线，得 ，解得； 综上所述，或． 31．（22-23八年级下·四川绵阳·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，过点，分别作坐标轴的垂线交于点，点，分别在轴，线段上，原点和点关于直线对称．    (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 【分析】（1）根据轴对称的性质可得与关于直线对称，在中，勾股定理即可求解． （2）设点，在中，，即，得出，设直线的解析式为，待定系数法求一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：原点和点关于直线对称，即与关于直线对称， ，，． 点，， ． 在中，， 又， ， ． ． （2）设点．    ．， 在中，，即， 解得， ， 设直线的解析式为． 将和代入， 解得 ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，勾股定理，坐标与图形，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理以及轴对称的性质是解题的关键． 32．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，与关于直线对称，且点E在对角线上．    (1)求线段的长； (2)求点D的坐标及直线的函数表达式． 【答案】(1)10； (2)，． 【分析】（1）根据点B的坐标，利用勾股定理直接计算出长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出长，点的坐标可求，根据B、D坐标，待定系数法可求直线解析式． 【详解】（1）∵点B的坐标是， ∴，， 在中，由勾股定理得： ； （2）∵与关于直线对称， ∴，，， 在中，设，则，，， 由勾股定理得得，， 解得， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴的解析式为． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算． 一十．一次函数与方程/不等式（共4小题） 33．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)填空：当时，x的取值范围是 ； (2)填空：不等式的解集是 ； (3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据函数图象得出答案即可； （2）根据两条直线的交点坐标，结合函数图象得出答案即可； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点B的坐标，得出的面积，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标． 【详解】（1）解：根据图象可得： 时，x的取值范围是， 故答案为：； （2）解：根据图象可知： 不等式的解集是：； 故答案为：； （3）解：把代入，得， ∴点C坐标为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∴， ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． 34．（22-23八年级下·辽宁阜新·期末）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理： 　   (1)小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他们所指的内容写出来： ①____________________； ②____________________； ③____________________； ④____________________； (2)如果点的坐标为，那么不等式的解集是______． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】（1）①写出对应的一元一次方程；②两个函数的解析式组成的方程组的解中，的值作为横坐标，的值作为纵坐标．③④可以写出两个对应的不等式． （2）不等式的解集是，就是函数和的图象中，的图象位于上边的部分对应的自变量的范围． 【详解】（1）解：根据题意知：①； ②； ③； ④． 故答案为：；；；； （2）如果点的坐标为， 那么不等式的解集是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系． 35．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或 的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过数形相结合的思想作答即可； （3）①通过观察图象求解即可； ②通过观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵经过， ∴的解集为， ∵直线与直线的交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：上述材料中主要运用的数学思想是数形相结合的思想， 故选. （3）解：①∵直线与直线的交点坐标火， ∴关于，的二元一次方程组的解为； ②由关于轴的对称点为，在图中作， ∵与轴交于， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． 36．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 一十一．一次函数与实际问题（共4小题） 37．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图1，一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，现有一辆客车由A地匀速驶往B地，同时一辆货车以的速度由B地匀速驶往C地．如图2，折线和线段分别表示客车、货车与C地的路程y（千米）与客车行驶时间x（小时）之间的函数关系，线段与相交于点M． (1)填空：A，B两地相距______千米； (2)求折线对应的y与x的函数关系式； (3)求点M的坐标，并写出点M的实际意义． 【答案】(1)420； (2)； (3)M点的实际意义为：客车出发4小时后与货车相遇，相遇点距离C地． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、待定系数法、二元一次方程等知识，解题的关键是学会读懂图象信息，学会用方程的思想思考问题； （1）根据图象得出、进而解答即可； （2）先求出F坐标，再分时，时，运用待定系数法求出解析式即可； （3）先求出段解析式，再联立方程组即可解答； 【详解】（1）解：由图象可知千米，千米，则（千米）， 故答案为：420； （2）解：由图象可知：客车的速度为（千米/小时）， 点F的横坐标为， 点F的坐标为． ①当时，设，将点，代入得： ， 解得，， ； ②当时，设，将点，代入得：， 解得：， ； 综上得：； （3）解：∵货车速度为， 点H的横坐标为， 点H的坐标为； 设段解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ； 联立， 解得：， ； M点的实际意义为：客车出发4小时后与货车相遇，相遇点距离C地． 38．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）随着“新冠病毒”防控政策的优化调整，广大市民对消毒液等防疫物品需求量大增．某药房分批次购进了酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，每次购进同一商品的进价没有变化，具体情况如表所示： 项目 购进数量(件) 购进所花费用(元) 酒精消毒液 额温枪 第一次 第二次 (1)酒精消毒液的进价为 元，额温枪的进价为 元； (2)该药房对酒精消毒液以每件元出售，额温枪以每件元出售，很快销售一空．为满足市场需求，药房准备再次购进这两种商品，如果此次购进酒精消毒液和额温枪共件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，如果商品可以确保销售完毕，求这件商品能够使药房获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当购进酒精消毒液件、额温枪件时，销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购进额温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件，根据总利润单件利润购进数量，即可得出与之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元， 根据题意得： ， 解得：， ∴酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元． 故答案为：；． （2）设购进额温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件， 根据题意得：， 酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍， ， 解得：， 又在中，， 的值随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为， 答：当购进酒精消毒液件、额温枪件时，销售利润最大，最大利润为元． 39．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【答案】(1)300 , 200 (2) ，A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少． (3)a的最小值为10 【分析】（1）设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； （2）如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． （3）由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 40．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲； (2)乙槽中铁块的高度为14厘米； (3)注水2分钟； (4)84立方厘米． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为： ， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 一十二．一次函数与新定义问题（共4小题） 41．（21-22八年级下·江苏南通·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______； (2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2)2 (3)或 【分析】（1）根据题意作出相应函数图象，然后由一次函数解析式确定点A的坐标即可； （2）先确定出函数解析式，然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）根据题意得出经过定点，该图象与x轴交点，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求函数图象： y=x+1， 当y=0时，x=-1， ∴点A的坐标为 （2）由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1， ∴， 解得 ∴ 线段AD所在直线的解析式为y=x+1， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴△ABC的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时 ∵， 由图象可知， 解之得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． 42．（23-24八年级上·四川达州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，，那么称点是点是A，B的“相似点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“相似点”． (1)已知点 请说明其中一个点是另外两个点的“相似点”； (2)如图，点在 x 轴上，点 是直线上任意一点，点是点D，E的“相似点”，试确定n与m的关系式并在上图中画出其图象． 【答案】(1)点是点A，B的相似点 (2)，图见解析． 【分析】本题是一次函数综合运用题，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解，解决本题关键是搞清楚新定义． (1)由题中相似点的定义即可求得答案； (2)由题中相似点的定义列方程求解求解出n与m的关系式．再画出函数图象即可． 【详解】（1）解：∵ 则有：，， ∴点是点A，B的相似点． （2）解：设点 坐标为， 由相似点定义知∶ ， 又∵， ∴， 化简得． 画出函数图象如图： 43．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义:对于一次函数,我们称函数为函数的“友好函数”. (1)若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由; (2)设函数与的图象相交于点M. ①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围; ②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)函数是函数的“友好函数”，理由见解析 (2)①;②, 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质,弄懂“友好函数”的定义是解题的关键. (1)根据定义进行判断即可; (2)①求出点的坐标为,再求出函数的“友好函数”,根据点在函数的“友好函数”图象的上方得到,整理后根据即可得到p的取值范围;②将点的坐标代入“友好函数”得到由得到将代入“友好函数”得到,把代入得到 解得,进一步即可求出定点Q的坐标. 【详解】（1）解：是函数的“友好函数”, 理由:由函数的“友好函数”为: 把代入上式, 得, 函数是函数的“友好函数”; （2）解:①解方程组 得, 函数与的图象相交于点, 点的坐标为 的“友好函数”为 点在函数的“友好函数”图象的上方, 整理得, 的取值范围为; ②存在,理由如下: 函数的“友好函数”图象经过点. 将点的坐标代入“友好函数”,得 将代入, 把代入, 得 解得: 当,则 , 对于不等于2的任意实数,存在“友好函数”图象与轴交点的位置不变. 44．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）定义：形如（，，、为常数）的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，则的值为　　　； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图象和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）将点代入函数的“分移函数”的解析式，可得关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）根据函数的“分移函数”图象与矩形的性质，通过计算函数图象分别过点和过点时的值，即可确定图象与矩形有两个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 故答案为：4； （2）根据题意，设函数的“分移函数”为， 将点代入， 得①， 将点代入， 得②， 得， ∴； （3）解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为3， ∴， 当时，函数图象与矩形没有交点， 当时，当函数图象经过点B时，此时函数图象与矩形有一个交点， 将点代入， 得， 解得， 当函数图象经过点D时，此时函数图象与矩形有三个交点， 将点代入， 得， 解得， ∴当函数图象与矩形有两个交点时，k的取值范围是． 一十三．一次函数与规律探究问题（共4小题） 45．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，正方形…按如图所示的方式放置．点…在直线上，点…在x轴上，若点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、规律性：点的坐标，解答本题的关键是发现点的横纵坐标的变化特点，写出其相应的坐标．根据题意和函数图象，可以先写出的坐标，然后即可发现横、纵坐标的变化特点，即可写出点的坐标． 【详解】解：∵点，点在直线上， ∴， ∵正方形， ∴点的坐标为，， 同理：，点的坐标， 点的坐标， …， 则点的坐标为， 点的坐标． 故选：B． 46．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，根据题意可得点与的横坐标相同，与的纵坐标相同，再根据可求出 ，，，，，，，，通过观察这些点的坐标可得出的横坐标为，然后根据可得出答案，找出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：与的横坐标相同，与的纵坐标相同， ∵， ∴对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， 同理可得：，，，，，， 观察这些点的坐标可得出：的横坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， 故选：． 47．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律． 由题意易得，设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解． 【详解】解：在直线， ∴ ， ， 设，，，，， 则有， ， ， 又∵，，，…都是等腰直角三角形， ， ， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 48．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上一点，过作轴，交直线于点，过作轴，交直线于点，过作作轴，交直线于点，…，依次做下去，若点的纵坐标是1，则的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类，找出的纵坐标是解题的关键． 由题意分别求出，，，的坐标，找出的纵坐标的规律，即可求解． 【详解】点的纵坐标是1， ，， 过作轴，交直线于点，过作轴交直线于点，…，依次作下去， ∴，，，，，… 可得的纵坐标为， ∴的纵坐标是． 故答案为：． 一十四．求一次函数围成的图形面积（共4小题） 49．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值； (2)根据图象，求的面积． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，坐标与图形面积． （1）把代入可得的值，再把的坐标代入可得的值，从而可得答案； （2）先求解的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得：， ∴点的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， ∴， ∴； 50．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数． (1)当它的图象经过一次函数、图象的交点时．求这个交点坐标及b的值； (2)当它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4时，求b的值． 【答案】(1)交点坐标， (2) 【分析】本题为一次函数综合题，考查了一次函数与二元一次方程的关系，待定系数法求函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点等知识． （1）先求出一次函数、图象的交点坐标为，再代入一次函数即可求解； （2）先求出一次函数图象与x轴交点，与y轴交点，再根据与两坐标轴所围成的图形的面积等于4列出关于b的绝对值方程，即可求出b． 【详解】（1）解：∵一次函数、图象有交点， ∴, 解得， ∴一次函数、图象的交点坐标为， ∵一次函数图象经过交点， ∴， 解得 ； （2）解：令，得；令，得， ∴一次函数图象与x轴交点，与y轴交点， ∴·， ∴． 51．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图像上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且． (1)求正比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合应用，面积的计算、点的坐标得确定． （1）由待定系数法即可求解； （2）根据，得出，即可求解； （3）由的面积，即可求解． 【详解】（1）解：设正比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则正比例函数的表达式为：； （2）解：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，设直线的表达式为， 由点，， ∴， ∴， 直线的表达式为：， 当时，，则点 ， 则的面积， 过点作轴交于点，设点，则点， 则， 则的面积， 解得：或， 则， 则点的坐标为：或． 52．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． (1)分别求出直线和直线解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为：或或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，求出，分两种情况：当点P在、D之间时，当点P在点上面时，分别求出点P的坐标即可； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵， ∴点B的坐标为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 联立， 解得：， ∴点D的坐标为， ∵，， ， 设点P的坐标为， 当点P在、D之间时， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 当点P在点上面时， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． （3）解：∵，， ∴；， 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 当时，， ∴，， ∴轴， ∴此时点； 综上分析可知，点E的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 一十五．一次函数与将军饮马问题（共3小题） 53．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上，点． (1)请作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______； (2)在x轴上存在一点P，当满足点P到点和点距离之和最小时，请直接写出的最小值：_______和点P的坐标：______． 【答案】(1)见解析， (2)， 【分析】本题考查了坐标与轴对称、勾股定理以及一次函数解析式的求解，掌握相关结论是解题关键． （1）关于轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解； （2）作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，根据勾股定理求出的长度，设直线的解析式为：，将点，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求 则， 故答案为： （2）解：作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，如图所示： 则， ， ∴的最小值为， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，得， ∴ 故答案为：， 54．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点． (1)画出关于x轴对称的图形，其中A、B、C分别和、、对应； (2)分别写出、的坐标； (3)若点M为x轴上一个动点，当最小时，点M的坐标为______； (4)若y轴上有一点P，且满足，点P坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或． 【分析】本题考查了轴对称作图及坐标系中求面积，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出即可； （2）根据各点在坐标系的位置写出、的坐标即可； （3）连接交x轴于点M，求出直线的解析式即可得到点M的坐标； （4）先用割补法求出，进而利用求出长，即可求出结论． 【详解】（1）如图，即为所求； （2） （3）连接交x轴于一点即为点M，此时最小，    设直线的解析式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （4）， ∵ ， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴或． 55．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）． (1)直线l1的表达式为 　 　； (2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标； (3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝﹣x﹣3 (2)N（0，﹣） (3)存在，G（1，）或（﹣7，﹣） 【分析】（1）由待定系数法求出答案即可； （2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y1＝x﹣，则可得出答案； （3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可． 【详解】（1）由题意知：A（﹣6，0），B（0，﹣3）， 设直线l1的表达式为：y＝kx+b，将A（﹣6，0），B（0，﹣3）代入，得 ， 解得：， ∴y＝-x﹣3； （2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N， ∵点A、C关于y轴对称， ∴AN=CN， ∴当AM+MN最小时为MC，△AMN的周长最小， ∵M（﹣2，﹣2）， 设直线CM的表达式为：y1＝k1x+b1，将M（﹣2，-2），C（6，0）代入，得 ， 解得：， ∴直线CM的解析式为y1＝x﹣， ∴N（0，﹣）； （3）如图2， 由 解得：， ∴C（﹣3，﹣）， 设直线CD的表达式是：y2＝mx+n， ∴，解得：， ∴y2＝x+3， 令y2＝0， ∴x+3＝0， ∴x＝﹣2， ∴E（﹣2，0）， ∴AE＝6﹣2＝4， ∴S△ACD＝AE•DF＝， ∵S△CDG＝S△ACD， ∴S△CDG＝×9＝6， 设G（x，x）， ∴OD•|x+3|＝6， 即×3•|x+3|＝6， ∴x1＝1，x2＝﹣7， ∴G（1，）或（﹣7，﹣）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形的面积，两点间距离等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式． 一十六．一次函数与几何综合（共5小题） 56．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标；                          图1                                                 图2                                     图3 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线：分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点M在直线上．问点A，P，M能否构成以点为腰的等腰直角三角形？若能，请直接写出M点的坐标，若不能，请说理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点B作轴，利用证明，得出，，即可求解； （2）过点B作交于点C，过点C作轴于D，先证明是等腰直角三角形，然后利用证明，类似（1）求出点C的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （3）分和两种情况讨论，然后构造全等三角形求解即可． 【详解】解∶（1）过点B作轴， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵轴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴B点坐标为； （2）过点B作交于点C，过点C作轴于D， 对于直线：， 当时，，则， 当时，， ∴，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （3）设，当时， ∵是以点为腰的等腰直角三角形， ∴， ①当点M在下方时， 如图，过M作交延长线于N， 由（2）同理可证， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当点M在下方时， 如图，过M作轴于N， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去， 当时， ∵是以点为腰的等腰直角三角形， ∴， ③M在上方时， 如图，过M作轴于N，交延长线于点D， ∵， ∴， ∴， 由（2）同理可证， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ④M在下方时， 如图，过M作轴于N，交于点D， 同③可求， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去， 综上，M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于m的方程是解题关键． 57．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数． (1)根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______； (2)试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为； (3)如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)点P的坐标为． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及根据一次函数求解其与坐标轴的交点等知识，掌握一次函数的性质以及新定义交换函数的含义是解答本题的关键． （1）根据交换函数的定义，直接写出即可； （2）联立求解即可； （3）先求得，当时，取得最小值，作于点，得到是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一次函数的交换函数是； 故答案为：； （2）解：由题意得一次函数的交换函数是； 联立得，解得， ∴， ∴一次函数与其交换函数的交点坐标为； （3）解：∵点是一次函数与其交换函数的交点， ∴，解得， ∴，， 令，则，， ∴直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为， 令，则，解得， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，取得最小值， ∵， ∴，， 作于点， 此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴点P的坐标为． 58．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：    【模型运用】 （1）如图1，若，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．    【模型拓展】 （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，P是直线上一点，将线段延长至点Q，使，将线段绕点B顺时针旋转45°后得，直接写出的最小值．    【答案】（1）5；（2）（3），；  （4） 【分析】（1）根据证明 可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式解题； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可解题； （3）画出符合题意的示意图，可知有两个点符合，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可解题； （4）过点作于点，于点，连接，设，由全等三角形的判定与性质得到，再由全等三角形对应边相等得到，由此解得点的坐标，继而推出点在直线上，过点作直线的垂线，根据垂线段最短及等积法解题即可. 【详解】解：（1）根据题意得， 在与中， 中， 中， ， 故答案为：；    （2）作轴于点, 在与中， 设直线的解析式为：，代入点得， 解得： 直线的解析式为： 令得，， ；    （3）存在，有两个点符合题意，，理由如下： 设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，如图，    由题意得 在中， 即 在直线上， （4）过点作于点，于点，连接，如图，    设， 由题意可知 点在直线上， 过点作直线的垂线，垂足为点，根据垂线段最短原理，可知此时线段最短，如图， 令 解得直线与轴的交点 令 解得直线与轴的交点 由等积法得， ， 故答案为：.    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较大，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键. 59．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线与y轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为________；（直接写出结果） (2)在x轴上求一点P使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． (3)若点Q为线段上的一个动点，连接．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)满足条件的点P的坐标为或或或． (3)点Q的坐标为． 【分析】（1）根据一次函数求出点D的坐标，将点，点D，代入一次函数中求解，即可得到直线的函数表达式； （2）利用勾股定理算出，根据在x轴上求一点P使为等腰三角形，分以下三种情况讨论，①当时， ②当时，过点作轴于点，③当时，在的垂直平分线上，利用等腰三角形性质、勾股定理，对上述情况进行分析，即可解题． （3）记翻折后点D恰好落在y轴上的点为，设点Q的坐标为，由翻折的性质可得，，利用勾股定理算出，推出，再根据建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点D，且点D的横坐标为4， ， ， 一次函数的图象经过点，且与相交于点D， ，解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：． （2）解：当时，有，解得， ， ， 点P在x轴上， 为等腰三角形， 下面分情况讨论： ①当时，如图所示： ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ②当时，过点作轴于点，如图所示： 由（1）知，， ， ， 点的坐标为， ③当时，在的垂直平分线上， ，， 设的坐标为， ，解得， 点的坐标为， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或． （3）解：存在， 记翻折后点D恰好落在y轴上的点为，设点Q的坐标为， 由翻折的性质可知，，， 即， 点的坐标为， ， ， 解得， 点Q的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、坐标与图形、用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形性质、垂直平分线性质、勾股定理、翻折的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想对不同的情况进行分析． 60．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)求出点A、点B的坐标； (2)点D是在直线上的动点，当时，求出点D的坐标； (3)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内线作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或； (3)K点的位置不发生变化，其坐标为，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）在中，求出当时y的值，当时x的值即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积求出，据此求解即可； （3）如图所示，过点Q作轴于H，根据一线三垂直模型证明，得到进而证明，得到是等腰直角三角形，则，由此可证明为等腰直角三角形即可求出结论． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 当时， ∴点D的坐标为或； （3）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H，    ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 一十七．一次函数与存在性问题（共7小题） 61．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线．设运动的时间为t秒，是否存在t，使是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或或 【分析】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，运动的时间是t，则，，利用勾股定理把，和用t表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判断t是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可． 【详解】解：运动的时间是t，则，． 在直角中，， 过C作轴于点D，则D的坐标是． 在直角中，， ， 当是斜边时，，则， 解得：． 此时，，，此时不是等腰三角形，故不符合条件； 当是斜边时，，则， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当是斜边时，，则， 解得：（舍去），或1． 当时，，，此时． 总之，当时，是等腰直角三角形． 62．（16-17八年级上·陕西西安·期中）如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 63．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②存在，或 【分析】（1）把代入，可得答案； （2）①过点作，垂足为点．求解直线表达式为．可得．证明，过作，垂足为点．证明．可得，则，从而可得答案； ②若点在射线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．证明．可得，结合点B坐标为，可得点的坐标为．若点在的延长线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．同理．从而可得答案． 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：①过点作，垂足为点．   ． ， ． ． 点在直线上， ． 直线表达式为． 把代入中， 得 ． ． ． 在中，． ， ． 过作，垂足为点． ． ． 又平分， ． ， ． ． 在直线上，令，得， ， 设直线的函数表达式为． 把代入，得． 直线的表达式为． ②存在． 若点在射线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． ． ． 又， ． ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． 点B坐标为 ． ． 点的坐标为． 若点在的延长线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． 同理． ． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键． 64．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 点， 点， 的平分线交y轴于点M． (1)求直线的函数解析式． (2)在直线上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以为边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为： (2)或 【分析】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到平行四边形的性质、角平分线的性质，分类求解是解题的关键． （1）在中，，即，求出点，即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：过点M作于点N， 由点A、B的坐标得，， ∵的平分线交y轴于点M，则， 设，则，则， 在中，，即， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为， 由点、的坐标得， 解得，， ∴直线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：，即点； 当为对角线时， 同理可得：， 解得：， 即点； 综上，点P的坐标为或． 65．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知四边形为长方形，O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P是线段上一动点，设，点D是直线位于第一象限上的任意一点，直线与x轴交于点． (1)求直线的关系式； (2)连接（如图1），当且时，求m的值及点D的坐标； (3)若将直线向右平移6个单位后，在该直线上是否存在一点D，使成为不以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，， 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等，理解题意，作出相应辅助线及图形是解题关键． （1）利用待定系数法直接代入求解一次函数解析式即可； （2）作轴于点E，作轴于点F，根据全等三角形的判定和性质得出，，然后结合图形求解即可； （3）根据一次函数的平移得出直线向右平移6个单位后的解析式为，然后分两种种情况分析：当时，当时，作出相应图象求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵点在直线上， ， ， ∴直线的解析式是； （2）如解图①，作轴于点E，作轴于点F，可得， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， 设点D的横坐标为x，由，得， ∴点D的坐标是； ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴； （3）存在点D，使为等腰直角三角形，点D的坐标为． 根据题意得：直线向右平移6个单位后的解析式为． （i）如解图②所示，过点D作，分别交于点E､F，当时，， ∴D点坐标； （ii）如解图③所示，过点D作，交的延长线于点F，当时，，设点P的坐标为， 则D点坐标为， 由，得， ∴D点坐标为； （iii）如解图④所示，过点D作，分别交的延长线于点E､F．当时，， 同理可求得D点坐标为， 综上，符合条件的点D存在，坐标分别为． 66．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点． (1)求点的坐标； (2)如图， 点是直线上一动点， 过点作轴交直线于点，连接， 若， 设点的横坐标为， 求的取值范围； (3)如图，点为轴正半轴上一动点，在线段上是否存在点，使直线交轴负半轴于点时， 的值是定值?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)在线段上存在点，使直线交轴负半轴于点时， 的值是定值，此时点的坐标为． 【分析】（1）联列两个函数解析式，即可求解． （2）设点的横坐标为，结合函数关系式，即可得到点的坐标为，点的坐标为，即，结合，即可求出的取值范围． （3）设点的坐标为，点的坐标为，待定系数法可得，直线的解析式为，将代入上式，可得的值，即点的坐标为，所以，故，故当时，为定值，此时点的坐标为． 【详解】（1）解：联列两条直线的函数关系式得：， 解得：， ∴点的坐标为． （2）解：设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴的取值范围为． （3）解：存在点． 理由：设点的坐标为，点的坐标为，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 故当时，为定值， 此时点的坐标为 故在线段上存在点，使直线交轴负半轴于点时， 的值是定值，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一元一次不等式，绝对值，一次函数和二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 67．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，一次函数的图象经过点A，与x轴交于点，点P是直线上一点，点Q是直线上一点． (1)求一次函数的表达式； (2)当点P在第二象限，轴且时，求点P的坐标； (3)当以点O，P，Q为顶点的三角形是以为直角的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据题意求得点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）设，则则，将点代入，解方程，即可求解； （3）当点在第一象限时，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，则，，设，则，将点代入，解方程，即可求解，当点在第四象限时，同理可得的值． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， 当时，，则， 一次函数的图象经过点，与轴交于点， ∴ 解得： ∴； （2）解：∵点是直线上一点，点是直线上一点，． 又点在第二象限，设，则， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当点在第一象限时，如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为，     ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 设 ，则， ∵点在直线上， ∴或， 解得： ∴． 当点在第四象限时， 如图所示，    同理可得， ∴ 解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． $$考题猜想6-1 一次函数 （热考+压轴 必刷67题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的基础 · 从函数图象上获取信息 · 根据一次函数的定义求参 · 待定系数法求一次函数解析式 · 一次函数的性质 · 画一次函数图象 · 一次函数最值问题 · 一次函数平移问题 · 一次函数对称/翻折问题 · 一次函数与方程/不等式 · 一次函数与实际问题 · 一次函数与新定义问题 · 一次函数与规律探究问题 · 求一次函数围成的图形面积 · 一次函数与几何综合 · 一次函数与存在性问题 一．函数的基础（共3小题） 1．（21-22八年级下·河南鹤壁·期末）八（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度v/（） 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量． (2)从表中效据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高______． (3)声音在空气中的传播速度v/（）与气温的关系式可以表示为______； (4)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 2．（22-23八年级下·河南南阳·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示．      (1)根据图2补全表格： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 ______ 5 ______ 5 … (2)变量y是x的函数吗？为什么？ (3)根据图象，摩天轮的直径为______m． (4)假设摩天轮匀速旋转，在开始旋转的第一圈内，离地面高度是40m时，所用时间大约是______min（精确到0.1）． 3．（23-24八年级下·河南安阳·期末）姜瑶帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（单位：）与摆动时间t（单位：）之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断h是否为t的函数并说明理由． (2)结合图象回答以下问题． ①当时，h的值是多少?请说明它的实际意义． ②秋千从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点后继续回到最高点，这个过程称为一个周期．如图：第一周期为．请计算出秋千摆动的第二个周期需要多长时间． 二．从函数图象上获取信息（共4小题） 4．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）奶奶从家里出发，外出散步，走到人民广场看到有人在跳广场舞就跟着跳了一会儿后，继续散步了一段时间，然后回家．下图描述了奶奶在散步过程中离家的距离y（米）与散步所用时间x（分）之间的函数关系．根据图象回答下列问题： (1)奶奶家距离人民广场____________米．奶奶跳广场舞用了____________分钟． (2)第分钟到第分钟，奶奶走了多少米？ (3)返回时，奶奶的平均速度是多少？ 5．（23-24八年级上·江西吉安·期末）为践行“低碳环保、绿色出行”的理念，周末小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以的速度骑行一段时间，休息了，再以的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程与时间的关系如图． 请结合图象，解答下列问题． (1)________；________；______； (2)若小军的速度是，小军出发后多少分钟在途中与爸爸第二次相遇． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑，当小明出发时，妈妈已经距离起点米，他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题． (1)如图，小明出发之后，前秒小明的速度是_____米/秒，前秒妈妈的速度是_____米/秒； (2)求代表的数字是多少？ (3)小明出发后的秒内，多少秒时，小明与妈妈的距离为米？ 7．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）“扬州是个好地方”，小明与小亮相约利用周末时间去三湾生态公园游玩，他们从该公园的某条路上的处同时出发，沿相同路线匀速前行，边走边赏景，但小明比小亮走得快一些，小亮的速度是50米/分，小明走到了处停下，观望了一处风景2.6分钟后按原速沿原路匀速返回，直到两人相遇，如图是两人之间的距离（米）与小亮行走的时间（分）之间的函数图象， （1）小明的速度为______米/分，、两处的路程为______米； （2）点的坐标是______，点的坐标是______． （3）求小明与小亮相距时小亮行走的时间． 三．根据一次函数的定义求参（共2小题） 8．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 9．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）已知． （1）满足什么条件时，是一次函数？ （2）满足什么条件时，是正比例函数？ 四．待定系数法求一次函数解析式（共2小题） 10．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）若一个正比例函数的图象经过，点在这条直线上，求m的值？ 11．（23-24八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的解析式． 12．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 13．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高是指距的一次函数．表格是测得的一组数据： 指距 19 20 21 身高 151 160 169 求与之间的函数解析式． 五．一次函数的性质（共5小题） 14．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知y关于x的函数． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 15．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的一次函数 ． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)当m为何值时，函数图象与轴的交点在x轴的下方？ 16．（23-24八年级下·吉林·期末）已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 17．（23-24八年级上·山东烟台·期末）一次函数（为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 18．（21-22八年级下·河北保定·期末）已知关于x的一次函数． (1)当时，点和在该函数的图象上，试比较与的大小； (2)当n为何值时，该函数的图象与y轴的交点在直线的下方？ (3)若该函数的图象经过，两点． ①求的值； ②求这个一次函数的解析式． 六．画一次函数图象（共3小题） 19．（23-24八年级下·全国·期末）分别画出函数和的图象，再根据图象，回答下列问题： （1）两个图象各经过哪些象限？ （2）判断点、 是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什么？ 20．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 21．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 a b 0 … 则______，______. (2)描点并画出该函数的图像； (3)①判断：函数的图像______（填“是”或“不是”）轴对称图形； ②观察函数图像，当时，x的取值范围是______ ③观察函数图像，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接指出最小值，并通过代数推理加以证明；若不存在，说明理由. 七．一次函数最值问题（共4小题） 22．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值2，求的函数表达式； 23．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数关系式； (2)当时，y的最大值为7，求m的值． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 25．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． (1)求此函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 八．一次函数平移问题（共3小题） 26．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将直线AB向上平移6个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 27．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点、，把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．    (1)求直线l对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 28．（21-22八年级上·江苏泰州·期末）点，为一次函数（）图像上两点． (1)若 ①当时，的范围为______． ②若将此函数图像沿轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为______． (2)比较、的大小，并说明理由． 九．一次函数对称/翻折问题（共4小题） 29．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标． (2)已知与关于直线对称．若点的坐标为，画出直线并写出直线的函数表达式． 注：点，，及点，，分别是点，，按题中要求变换后对应得到的点． 30．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴、y轴分别交于点，过点M的直线与x轴、y轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)若点B，O关于点D对称，求直线的解析式； (3)若直线将的面积分为1：3两部分，直接写出k的值． 31．（22-23八年级下·四川绵阳·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，过点，分别作坐标轴的垂线交于点，点，分别在轴，线段上，原点和点关于直线对称．    (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式． 32．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，与关于直线对称，且点E在对角线上．    (1)求线段的长； (2)求点D的坐标及直线的函数表达式． 一十．一次函数与方程/不等式（共4小题） 33．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)填空：当时，x的取值范围是 ； (2)填空：不等式的解集是 ； (3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 34．（22-23八年级下·辽宁阜新·期末）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．小刚在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，结合图示对相关知识作如下归纳整理： 　   (1)小刚学习笔记中的①②③④分别指什么呢？请你根据以上的复习阅读，在下面横线上将他们所指的内容写出来： ①____________________； ②____________________； ③____________________； ④____________________； (2)如果点的坐标为，那么不等式的解集是______． 35．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或 的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 36．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 一十一．一次函数与实际问题（共4小题） 37．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图1，一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，现有一辆客车由A地匀速驶往B地，同时一辆货车以的速度由B地匀速驶往C地．如图2，折线和线段分别表示客车、货车与C地的路程y（千米）与客车行驶时间x（小时）之间的函数关系，线段与相交于点M． (1)填空：A，B两地相距______千米； (2)求折线对应的y与x的函数关系式； (3)求点M的坐标，并写出点M的实际意义． 38．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）随着“新冠病毒”防控政策的优化调整，广大市民对消毒液等防疫物品需求量大增．某药房分批次购进了酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，每次购进同一商品的进价没有变化，具体情况如表所示： 项目 购进数量(件) 购进所花费用(元) 酒精消毒液 额温枪 第一次 第二次 (1)酒精消毒液的进价为 元，额温枪的进价为 元； (2)该药房对酒精消毒液以每件元出售，额温枪以每件元出售，很快销售一空．为满足市场需求，药房准备再次购进这两种商品，如果此次购进酒精消毒液和额温枪共件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，如果商品可以确保销售完毕，求这件商品能够使药房获得的最大利润是多少？ 39．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 40．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 一十二．一次函数与新定义问题（共4小题） 41．（21-22八年级下·江苏南通·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______； (2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围． 42．（23-24八年级上·四川达州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，，那么称点是点是A，B的“相似点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“相似点”． (1)已知点 请说明其中一个点是另外两个点的“相似点”； (2)如图，点在 x 轴上，点 是直线上任意一点，点是点D，E的“相似点”，试确定n与m的关系式并在上图中画出其图象． 43．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）定义:对于一次函数,我们称函数为函数的“友好函数”. (1)若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由; (2)设函数与的图象相交于点M. ①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围; ②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 44．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）定义：形如（，，、为常数）的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，则的值为　　　； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形有两个交点，求的取值范围． 一十三．一次函数与规律探究问题（共4小题） 45．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，正方形…按如图所示的方式放置．点…在直线上，点…在x轴上，若点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 48．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上一点，过作轴，交直线于点，过作轴，交直线于点，过作作轴，交直线于点，…，依次做下去，若点的纵坐标是1，则的纵坐标是 ．    一十四．求一次函数围成的图形面积（共4小题） 49．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，函数和的图象相交于点． (1)求m，a的值； (2)根据图象，求的面积． 50．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数． (1)当它的图象经过一次函数、图象的交点时．求这个交点坐标及b的值； (2)当它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4时，求b的值． 51．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图像上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且． (1)求正比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 52．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． (1)分别求出直线和直线解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标． 一十五．一次函数与将军饮马问题（共3小题） 53．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上，点． (1)请作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______； (2)在x轴上存在一点P，当满足点P到点和点距离之和最小时，请直接写出的最小值：_______和点P的坐标：______． 54．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点． (1)画出关于x轴对称的图形，其中A、B、C分别和、、对应； (2)分别写出、的坐标； (3)若点M为x轴上一个动点，当最小时，点M的坐标为______； (4)若y轴上有一点P，且满足，点P坐标为______． 55．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）． (1)直线l1的表达式为 　 　； (2)若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标； (3)如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 一十六．一次函数与几何综合（共5小题） 56．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标；                          图1                                                 图2                                     图3 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线：分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点M在直线上．问点A，P，M能否构成以点为腰的等腰直角三角形？若能，请直接写出M点的坐标，若不能，请说理由． 57．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数． (1)根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______； (2)试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为； (3)如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标． 58．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：    【模型运用】 （1）如图1，若，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．    【模型拓展】 （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，P是直线上一点，将线段延长至点Q，使，将线段绕点B顺时针旋转45°后得，直接写出的最小值．    59．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线与y轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为________；（直接写出结果） (2)在x轴上求一点P使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． (3)若点Q为线段上的一个动点，连接．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 60．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)求出点A、点B的坐标； (2)点D是在直线上的动点，当时，求出点D的坐标； (3)如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内线作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 一十七．一次函数与存在性问题（共7小题） 61．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线．设运动的时间为t秒，是否存在t，使是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 62．（16-17八年级上·陕西西安·期中）如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 63．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 64．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 点， 点， 的平分线交y轴于点M． (1)求直线的函数解析式． (2)在直线上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以为边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 65．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知四边形为长方形，O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P是线段上一动点，设，点D是直线位于第一象限上的任意一点，直线与x轴交于点． (1)求直线的关系式； (2)连接（如图1），当且时，求m的值及点D的坐标； (3)若将直线向右平移6个单位后，在该直线上是否存在一点D，使成为不以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 66．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点． (1)求点的坐标； (2)如图， 点是直线上一动点， 过点作轴交直线于点，连接， 若， 设点的横坐标为， 求的取值范围； (3)如图，点为轴正半轴上一动点，在线段上是否存在点，使直线交轴负半轴于点时， 的值是定值?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 67．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，一次函数的图象经过点A，与x轴交于点，点P是直线上一点，点Q是直线上一点． (1)求一次函数的表达式； (2)当点P在第二象限，轴且时，求点P的坐标； (3)当以点O，P，Q为顶点的三角形是以为直角的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． $$