专题04实数（考点串讲，3大考点+6大题型突破+4大技巧突破+4大易错剖析）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

八年级数学上学期·期末复习大串讲 专题04 实数 苏科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 6大题型典例剖析+四大技巧 4大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目录 考点一 实数的相关概念 不 平方根 正数 0 负数 算术平方根 立方根 正数 0 负数 考点一 实数的相关概念 【热考】 0 0 0 考点二 实数的分类 考点三 实数的运算 相加 减去 相反数 相乘 正数 负数 0 相除 0 乘方 考点一 实数的相关概念 1. 9的平方根是（    ）． A． B．3 C． D． 2. （2022上·北京昌平·八年级统考期中）已知一个正数m的两个平方根为和，求a和m的值． 3. （2020·广东·统考中考真题）若，则 C 【解答】解：由题意得，， ∴，∴，∴． 【详解】∵ ∴，， ∴ ， 故答案为：1． 考点一 实数的相关概念 4.（2023下·四川广元·七年级统考阶段练习）解方程： (1) (2)． 【详解】（1）（1） 移项得：， 系数化为1得： 解得：； （2）（2） 方程两边同时除以8，得：， ∴， 解得：． 5（2023上·江苏常州·八年级统考期末）已知，求x的值． 【详解】解：， ． ，． 考点一 实数的相关概念 6.（2023下·山东菏泽·八年级统考期中）一个数x的立方根是3，则的算术平方根是 ． 【详解】解：∵，∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 7（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）若，，则的值为（    ） A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或 【详解】解：∵，∴，解得：或， ∵，∴， 当，时，， 当，时，， 综上分析可知，的值为6或0．选：C． 考点二 实数的分类 1．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）在实数，，0，，，3.1415，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 B 2．（2022上·河北石家庄·八年级统考期末）把下列各数写入相应的集合内：． (1)有理数集合：{                        …} (2)正实数集合：{                        …} (3)无理数集合：{                        …} (4)负实数集合：{                        …} 【详解】（1）解：，，， 有理数集合为：． （2）解：正实数集合为：． （3）解：无理数集合为：． （4）解：负实数集合：． 考点三 实数的运算 1．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）． 2．有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（    ） A． B．9 C．3 D． B 考点三 实数的运算 3．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 题型剖析 题型一：非负性的应用 1.已知直角三角形的两直角边、满足，则斜边上的中线长为 ． 【详解】解：∵，， ∴ ，， ，， 由勾股定理得，斜边， 所以，斜边中线长． 故答案为：． 题型剖析 题型一：非负性的应用 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c满足，则的平方根是 ． 【详解】解：，，，， ， ， ， 的平方根是． 故答案为：． 题型剖析 题型二：平方根与立方根综合 1. （2022上·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【详解】解： 是即4的算术平方根，， 是的立方根，，， 题型剖析 题型二：平方根与立方根综合 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5，求的平方根． 【详解】解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是5， ， ， ， 的平方根是， 的平方根是． 题型剖析 题型二：平方根与立方根综合 3.（2021上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）已知：的立方根是，的算术平方根3，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【详解】解：（1）由题得． ．又，   ． ． ． （2）当时，．   ∴其平方根为． 题型剖析 题型三：无理数的估算 1．（2023下·重庆梁平·八年级统考期末）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）整数，满足，则 ． 【详解】∵，即，∴．故选：D． 【详解】解：，，而整数，满足， 或，故答案为：或． 题型剖析 题型三：无理数的估算 3．（2022·福建·模拟预测）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ）  A． B． C． D．π 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在如图所示的数轴上表示的点在（    ） A．点A和点B之间 B．点B和点C之间 C．点C和点D之间 D．点D和点E之间 B C 题型剖析 题型四：实数与数轴 1．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值 ． 【详解】解：由数轴可得：a＜﹣，0＜b＜， 故|﹣b|+|a+|+ ＝﹣b﹣（a+）﹣a ＝﹣b﹣a﹣﹣a ＝﹣2a﹣b． 故答案为：﹣2a﹣b． 题型剖析 题型四：实数与数轴 2. 已知在数轴上的对应点如图所示，化简： 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，， ∴，， ∴ ． 题型剖析 题型四：实数与数轴 3．（21-22八年级下·江苏南通·阶段练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【详解】由数轴可得， ∴，，，， ∴ ． 题型剖析 题型五：新定义问题 1．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为 ． 【详解】．故答案为：8． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：22； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ． 题型剖析 题型五：新定义问题 3．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）对于任意的两个实数a，b，定义运算※如下：若，则 ． 【详解】解：当时，∵，∴，∴，解得或； 当时，∵，∴，∴； 综上所述，或， 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）定义：不超过实数的最大整数成为的整数部分，记作．例如，．按此规定， ． 【详解】解：∵不超过实数的最大整数成为的整数部分，记作， ， ∴， ∴， 题型剖析 题型六：规律探究问题 1．若，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：，，，， ．故选C 题型剖析 题型六：规律探究问题 2．（22-23七年级下·四川广元·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 3．（21-22八年级下·山东滨州·期末）观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律，计算，其结果为 ． 【详解】由题意得： ， 技巧突破 技巧一：实数的比较大小 解题方法：实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 技巧突破 技巧一：实数的比较大小 1．（2021上·山东菏泽·八年级练习）若，，，则下列关系正确的是（    ）． A． B． C． D． D 2．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1：∵，∴，即．∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2：对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【详解】（1）解：∵，∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：，理由如下， ∵， ∴． 技巧突破 技巧二：算术平方根/立方根有关的规律探究 技巧突破 技巧二：算术平方根/立方根有关的规律探究 … … … … 1．（23-24八年级上·河北沧州·期中）探索与应用：先观察表格，再回答问题． (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 技巧突破 技巧二：算术平方根/立方根有关的规律探究 2.（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． D 【详解】∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右(或向左)移动1位． 技巧突破 技巧三：求无理数整数部分与小数部分 技巧突破 技巧三：求无理数整数部分与小数部分 1. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 2. 已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 【详解】解：， ，则． 【详解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 技巧突破 技巧三：求无理数整数部分与小数部分 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为． 【解决问题】 (1)填空：的小数部分是 ； (2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值． 【详解】（1）∵， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故答案为； （2）∵、分别是的整数部分、小数部分， ∴，， ∴ ， ， ， ． 技巧突破 技巧四：程序下的实数运算 技巧突破 技巧四：程序下的实数运算 1．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 技巧突破 技巧四：程序下的实数运算 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 0和1 5 易混易错 类型一：忽略隐含运算而出错 1的平方根是(    ) A． B． C． D． D 类型二：求形如“ ”中x的值时遗漏 2则x= 易混易错 类型三：对无理数的概念理解不透彻 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）把下列各数分别填入所属的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 无理数：{_____________________________}； ；；， 类型四：求精确度时出错 4．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 答案为：；；；；； 押题预测 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）计算与化简： (1) ； (2)． 【详解】（1）解：原式  ； （2）解：原式． 押题预测 3．（22-23八年级·陕西安康·期末）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 押题预测 3．（22-23八年级·福建莆田·期末）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【详解】解：由题意得： ，． ， ． ． ． 的平方根是． 押题预测 4．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．  (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求：的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 押题预测 5．（24-25八年级上·河南期末）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． $$