第16章 二次根式培优讲义 2023-—2024学年人教版数学八年级下册

null 二次根式 模块一：二次根式的基本概念 1．二次根式： 一般地，形如的代数式叫做二次根式，a叫做被开方数． 2．n次根式： 形如的代数式叫做n次根式，其中若n为偶数，则必须满足． 3．最简二次根式： 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： ①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式； ②被开方数中不含有能开方的因数或因式． 4．两个重要性质： ； 5．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式． 模块二：二次根式的四则运算 1．乘除法： ；． 2．加减法： ，． 3．混合运算： 遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用． 4．乘法公式的推广： ①； ②； ③． 5．二次根式的分母有理化 定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程． 方法：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）． 6．（1）单项根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：． （2）两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式． 例：． 12 .（3）分母有理化和最简是对二次根式结果的两大要求． 模块三：二次根式的基本题型（方法） 1．分母有理化+知二推二． 2．①暴算；②移项平方后，运用整体代入或者降次思想（巧算）． 3．裂项相消、换元等． 模块一 二次根式的基本概念 例题1 （1）当x取何值时，下列二次根式在实数范围内有意义． ①；②；③；④． （2）在二次根式、、、中，是最简二次根式的是________． （3）将下列二次根式化成最简二次根式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 例题2 （1）已知最简根式与是同类二次根式，则________，________． （2）在，，，…，这20个式子中，与是同类二次根式的共有____个． （3）在，，，…，这1999个式子中，与是同类二次根式的共有________个． （4）方程的整数解有_________组． 模块二 二次根式的四则运算 例题3 计算下列各式：（1） （2） （3） （4） 例题4 计算下列各式：（1） （2） （3） 例题5 将下列二次根式分母有理化： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 例题6 计算下列各式：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 模块三 二次根式的基本题型 例题7 （1）已知，，求代数式的值． （2），，则的值为________． 例题8 （1）设，则的值为________． （2）已知：，则的值为________． 例题9 （1）________． （2）________． 例题10 ________． 复习巩固 模块一 二次根式的基本概念 演练1 （1）已知实数a满足，则a的取值范围是________． （2）下面各式：①；②；③；④成立的是（ ） A．①② B．③ C．①②③ D．②③ （3）化简________． （4）下面与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． （5）方程的整数解有________组． 模块二 二次根式的四则运算 演练2 计算下列各式：（1） （2） 演练3 计算：（1） （2） （3） （4） 模块三 二次根式的基本题型 演练4 （1）（实外半期）已知，，则的值为________． （2）（育才半期）若，，则的值为________． 演练5 （1）当，时，代数式的值是_______． （2）（全国初中联赛题）当时，多项式的值为（ ）． A．1 B． C．22001 D． 模块一：二次根式的大小比较 1．估算法：，，． 2．平方法：若（且），则． 3．带分母的二次根式比较大小： （1）分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小． （2）分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小． 4．作差作商：作差和0比较大小，作商和1比较大小． 模块二：二次根式的配方 配方： ． 模块三：双重二次根式的化简 1．配方法： （1）类型： 将表示成形式，利用待定系数法得：，求得a和b， 则； （2）类型： 将改写成，转化成（1）的类型即可； （3）类型： 将改写成，转化成（1）的类型即可． 2．平方法． 模块一 二次根式的大小比较 例题11 比较大小：（1）________2； （2）________； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 例题12 （1）比较大小：与． （2）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）． A． B． C． D． （3）已知，，，，比较x，y，z的大小． 模块二 二次根式的配方 例题13 （1）（成外半期）若，则的值为________． （2）已知，则的值为________． 例题14 （1）已知，则________． （2）已知，则________． （3）已知，则________，________． （4）已知，则________，________． 例题15 （1），则________． （2）（成外半期）若实数x，y，z满足：，则的值为________． （3）如果．那么的值是________． 模块三 双重二次根式的化简 例题16 （1）计算下列各式： ①；②；③；④；⑤． （2）计算下列各式： ①；②；③． （3）化简：的结果是________． 例题17 （1）计算下列各式： ①； ②． （2）代数式________． 例题18 （1）若，，求xy． （2）设M，x，y均为正整数，且，则的值是________． 例题19 化简：． 复习巩固 模块一 二次根式的大小比较 演练6 （1）比较大小： ①___3；②____8；③_____；④ （2）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）． A． B． C． D． 模块二 二次根式的配方 演练7 已知非零实数a、b满足等式，求的值． 演练8 设a，b，c是实数，若，则________． 模块三 双重二次根式的化简 演练9 计算： 演练10 代数式：（1）________． （2）________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$