专题03 一元二次方程的解法及其实际问题（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题03一元二次方程的解法及其实际问题 一元二次方程的概念及一般形式 1．（23-24九年级上·云南·期末）关于x的方程是一元二次方程，则（　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东广州·期末）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（    ） A． B．2 C． D．4 4．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（　　） A．0 B． C．2 D． 5．（23-24九年级上·云南昆明·期末）把方程化成一般形式为 ，一次项系数为 ． 一元二次方程的解 6．（23-24九年级上·广东深圳·期末）已知方程的一个根是，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·广东广州·期末）根据下列表格的对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ） A． B． C． D．无法判定 9．（23-24九年级上·山东威海·期末）若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 10．（23-24九年级上·广东汕头·期末）若方程的一个根是a，则的值为 ． 11．（23-24九年级上·河南·期末）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ． 解一元二次方程 12．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·山东滨州·期末）等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是 ． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程： (1) (2) 15．（23-24九年级上·天津津南·期末）先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 16．（23-24九年级上·四川南充·期末）小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得，∴． 小芳： 解：，， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是 ． (2)小芳的解法是 （填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解． 根的判别式与解的情况 17．（23-24九年级上·广东佛山·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于的一元二次方程有实数根，则满足（   ） A． B．且 C．且 D． 20．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 21．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为，请求出方程的另一个根． 利用根与系数的关系求值 22．（23-24九年级上·四川眉山·期末）若是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）关于x的方程的两个根，满足 且则m的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 24．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）已知，是方程的两根，则 ． 25．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 26．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 27．（23-24九年级·广东广州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 28．（23-24九年级上·广东佛山·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 实际应用 29．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ． 31．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 32．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 33．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从6月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 34．（23-24九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 35．（23-24九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 与图形有关的问题 36．（23-24·九年级上 黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，某小区规划在一个长m，宽9m的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·广东广州·期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 39．（23-24九年级上·广东广州·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 动态几何问题 40．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 41．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 42．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    43．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 2．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（    ） A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根 C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D．若m是方程的一个实数根，则 5．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 7．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 . 8．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．    9．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ． 三、23-24题 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 11．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ (2)该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 12．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，是等边三角形，点O是坐标原点，点B的坐标为， (1)求点A的坐标； (2)将绕点A逆时针旋转后，求点B的对应点的坐标； (3)将绕点A逆时针旋转后，求点B的对应点的坐标． 13．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)写出一个“勾系一元二次方程”　 ． (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是25，求四边形的周长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03一元二次方程的解法及其实际问题 一元二次方程的概念及一般形式 1．（23-24九年级上·云南·期末）关于x的方程是一元二次方程，则（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·广东广州·期末）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、该方程的未知数的二次项系数是，当时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】解：把化为一般式为， ∴一次项系数为， 故选：C． 4．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（　　） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴且， 解得：， 故选：D． 5．（23-24九年级上·云南昆明·期末）把方程化成一般形式为 ，一次项系数为 ． 【答案】 【详解】解： ， 故一般形式为，一次项系数为， 故答案为：． 一元二次方程的解 6．（23-24九年级上·广东深圳·期末）已知方程的一个根是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程的一个根是， ， 解得， 故选：B． 7．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴这个方程为， 故选：B． 8．（23-24九年级上·广东广州·期末）根据下列表格的对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【详解】解：由题意，列出表格如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 1.29 2.76 由表格可知，当时，存在一个的值使，即满足方程， 故选B． 9．（23-24九年级上·山东威海·期末）若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】解：∵a，b，c满足， ∴关于x的方程的两个根分别为和， ∴； 故选C． 10．（23-24九年级上·广东汕头·期末）若方程的一个根是a，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵程的一个根是a， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（23-24九年级上·河南·期末）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ． 【答案】 【详解】关于的一元二次方程的一个根为0， ， ． ． 故答案为： 解一元二次方程 12．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 13．（23-24九年级上·山东滨州·期末）等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是 ． 【答案】10或6或12 【详解】解：， ， 解得：或， 等腰三角形的边长是方程的解， 当是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去： 当是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为． 当边长为的等边三角形，得出这个三角形的周长为． 当边长为的等边三角形，得出这个三角形的周长为． 这个三角形的周长为或或． 故答案为：或或． 14．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， 令或， 解得：，； （2）解：， ， 令或， 解得：，． 15．（23-24九年级上·天津津南·期末）先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】， 【详解】解： ， 分式有意义，则， ∴， 解方程得，， ∴， ∴原式． 16．（23-24九年级上·四川南充·期末）按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得，∴． 小芳： 解：，， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是 ． (2)小芳的解法是 （填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解． 【答案】(1)见解析； (2)小芳的解法错误，，． 【详解】（1）根据题意得：小华忽略的情况是没有考虑， 故答案为：没有考虑； （2）小芳的解法错误， 由 或， 解得：，． 根的判别式与解的情况 17．（23-24九年级上·广东佛山·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．中，有两个不相等实数根，不符合题意； B．中，有两个不相等实数根，不符合题意； C．中，没有实数根，符合题意； D．中，有两个相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 18．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， 即， ∴一元二次方程无实数根， 故选A． 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于的一元二次方程有实数根，则满足（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：有实数根， ， ． 是一元二次方程， ， 即， 满足且 故选：B． 20．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：根据题意得， 解得且． 故答案为且． 21．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为，请求出方程的另一个根． 【答案】(1)见详解 (2)方程的另一个根为 【详解】（1）解： ， 无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； （2）方程的一个根为， ， 解得， 方程为， 解方程得， 方程的另一个根为． 利用根与系数的关系求值 22．（23-24九年级上·四川眉山·期末）若是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 23．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）关于x的方程的两个根，满足 且则m的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 24．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）已知，是方程的两根，则 ． 【答案】11 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：11． 25．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【详解】∵α，β是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2024． 26．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 又由三角形的三边关系可得：， ∴， 即， 解得：； ∵方程有两个实根， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 27．（23-24九年级·广东广州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 28．（23-24九年级上·广东佛山·期末）定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 【答案】0 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 实际应用 29．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意得， 故选：C． 30．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ． 【答案】 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 解得：， ∴他去世时年龄为或， 又∵他去世时的年龄大于， ∴他去世时的年龄为 故答案为：． 31．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价元时，商品获利元， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当商品降价元时，商场获利元． 32．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 33．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从6月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 34．（23-24九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 35．（23-24九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 与图形有关的问题 36．（23-24·九年级上 黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，某小区规划在一个长m，宽9m的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：草坪部分的长为 m，宽为 m， 根据题意即可得出方程为：， 整理得：． 故选：A 37．（23-24九年级上·广东广州·期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为，则有：， 故选：C． 38．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 39．（23-24九年级上·广东广州·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】道路的宽为6米． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 动态几何问题 40．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 41．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 42．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【详解】（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）∵， ∴当的面积是面积的时，， 整理得：， 解得：； （3）解：不存在，理由： 由（）得， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 则不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 43．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为． (1)当点落到边上时，求的值； (2)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【详解】（1）当点落到边上时， 则点与点重合， ∴， ∴； （2）当时，如图， ， 当时，如图， ， 当时，如图， ， 综上可知：； （3）如图，， （）时，即， 整理得：， 解得：（舍去），， （），即， 无解， 如图，当，延长交于点， （）时，即， 解得：，， 以上解均不符合题意， （），即， 整理得：， 解得：（舍去），， 综上可知：或． 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中， 、、 ， 方程有两个实数根， ， 解得：且， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（    ） A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根 C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况 【答案】A 【详解】解：∵是偶数，是奇数， ∴、是偶数，是奇数，或者都是奇数； ①、是偶数，是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（偶奇偶）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（偶偶偶）奇奇右边； ∴方程没有整数解； ②都是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（奇奇奇）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（奇偶奇）奇奇右边； ∴方程没有整数解； 综上所述，方程没有整数根； 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 【答案】B 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D．若m是方程的一个实数根，则 【答案】B 【详解】解：A、若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，正确，故此选项不符合题意； B、是方程的一个根，，，当时，等式成立，当，，等式仍然成立，故不一定成立，故一定有成立错误，故此选项符合题意； C、∵方程没有实数根，，，方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意； D、若m是一元二次方程的根，由求根公式可得：，，，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 【答案】 【详解】解：由题意可知：， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 . 【答案】或 【详解】解：过点F作于H， ∵四边形为矩形，平分 ∴ ∴为等腰直角三角形，设， 则，， 由折叠的性质可得， 在中， 即 解得：， ∴或 故答案为：或． 8．（23-24九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．    【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点作，    ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 9．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ． 【答案】 【详解】解：如图 图1中的正方形面积为4 正方形边长为2 直角三角形①中的长直角边为2 解得：（负值已舍去） 故答案为：． 三、解答题 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 当方程有实数根时，实数的取值范围为； （2）解：方程两实数根分别为，， ，． ， ， ， 整理，得：， 解得：，． ， 实数的值为1． 11．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ (2)该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)420千克，详见解析 (2)80元，详见解析 【详解】（1）根据题意得： （千克）， 答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克； （2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：销售单价应定为80元． 12．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，是等边三角形，点O是坐标原点，点B的坐标为， (1)求点A的坐标； (2)将绕点A逆时针旋转后，求点B的对应点的坐标； (3)将绕点A逆时针旋转后，求点B的对应点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【详解】（1）解：过点A作轴于点C， ∵是等边三角形，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：如图，将绕点A逆时针旋转， ∴共线，且为的中点， ∵，， ∴； （3）解：如图，由题意可知，， ∴， 作轴于点E，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， 则． 解得：，（不合题意，舍去） ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，旋转的性质，坐标与图形，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)写出一个“勾系一元二次方程”　 ． (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是25，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：3、4、5为勾股数， 令，，， 写出一个“勾系一元二次方程”为， 故答案为：； （2）证明：， ， ， ， ， ， 关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）解：是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， 的面积是25， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ， 四边形的周长为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$