29.4 切线长定理（题型专练）数学冀教版九年级下册

29.4切线长定理 题型1 应用切线长定理求解或求证 1．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，直接根据切线长定理，即可得出结果． 【详解】∵为外一点，，分别切于，两点， ∴， 故选B． 2．下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵是的切线， ∴， ∴，故C不符合题意； 如图，∵， ∴， 而， ∴， ∴不能推出，故D符合题意； 故选D 3．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，连接，证明，得到，利用三角函数即可求解，由三角形全等得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，分别与相切于两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，、分别切⊙O于A、B，，⊙O半径为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解题关键是熟记切线长定理，得出，再利用勾股定理求解； 连接，，根据切线长定理得出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，， ∵、分别切⊙O于A、B，， ∴，， ∵⊙O半径为2， ∴， ， 故答案为：． 5．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，切线长定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，根据角平分线的性质得到．根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到．根据和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 过点作于点， ，平分， ． 是的半径，， 是的切线； （2）解：． 与相切， 是的切线， ． ，， ，． 在中， 设，则根据勾股定理得：， 解得：． ． 题型2 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 1．在△ABC中，，，，则△ABC内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设△ABC内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选B． 2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（    ） A．6步 B．5步 C．4步 D．3步 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，可确定出内切圆半径，即可求得直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r=是解题的关键． 3．已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为 . 【答案】1 【分析】分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，由切线的性质可得：∠ODC=∠OEC=90°，设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形，从而得出：EC=CD=OD=OE=r，再根据切线长定理可得：BF=BD =3－r，AF=AE =4－r，再根据勾股定理求出AB，利用AB的长列方程即可. 【详解】解：如图所示，分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF ∴∠ODC=∠OEC=90° ∵∠C=90°，设OD=OE=r ∴四边形OECD是正方形 ∴EC=CD=OD=OE=r 根据切线长定理可得：BF=BD=BC－CD=3－r，AF=AE=AC－EC=4－r 由勾股定理可知：AB= ∵AF＋BF=AB ∴（4－r）＋（3－r）=5 解得：r=1 故答案为1 4．设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的内切圆，直线与圆的位置关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 可知该三角形为直角三角形，进而利用等面积法求出内切圆半径正好为1，当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点． 【详解】解：如图， 由得该三角形为直角三角形，设，作出的内切圆，设切点为，连接，则，，设， ∵， ∴， 解得：， 进而可知内切圆半径为1，此时正好有3个交点， 当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点，如图， 故答案为：4． 5．已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 【答案】3； 【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的性质及半径的求法，利用切线长定理得出四边形是正方形是解题的关键； 首先设、、与的切点分别为D、E、F；证四边形是正方形；根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图； 设、、与的切点分别为D、E、F； 在，，，； 根据勾股定理； 四边形中，，； 则四边形是正方形； 由切线长定理，得：，，； 则； 即：． 当，，， 由以上可得： ； 即：． 则的半径r为：． 题型3 圆的外切四边形模型 一、单选题 1．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 2．下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 3．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 4．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 题型4 三角形内心有关的应用 1．要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．根据题意得到圆形薄板的圆心应是三角形的内心，根据内心的性质解答即可． 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点， 故选：B． 2．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆，尺规作角平分线，根据内心为三条角平分线的交点，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的内心为三角形的三条角平分线的交点， ∴可以成功找到内心的是： 故选B． 3．已知△ABC中，，点I是它的内心，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是△ABC内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．已知I是△ABC的内心，交于D，交于E，，求长度． 【答案】2 【分析】连接，可得出，由三角形内心的定义可得出，，由同弧所对的圆周角相等可得出，进而利用三角形外角的定义以及等量代换，等边对等角得出，再证明，由相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵I是△ABC的内心， ∴，， ∵和都对应弧， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 题型5 一般三角形周长、面积与圆内切圆半径的关系 1．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径． 【详解】解：设内切圆的半径为r 根据 解得：r=1 故选D． 2．如图，△ABC的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵△ABC的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴△ABC的周长， 故选：A． 3．若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比． 由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1． 故选D． 4．如图，是△ABC的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 【答案】110° 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE． 【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−50°−60°＝70°， ∵E，D是切点， ∴∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE＝360°−90°−90°−70°＝110°． 故答案为：110°． 5．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径． 【答案】 【分析】作，根据勾股定理求解，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可． 【详解】如图，作，设，则， 由勾股定理可知：， 则，解得，则， 故， 由三角形的内切圆性质，可得： ． 题型6 三角形的内切圆与外接圆综合 1．下列命题中，正确的是（　　） A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 【答案】B 【分析】根据圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义逐一进行判断即可． 【详解】A、不在同一条直线的三个点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意； B、等弧所对的圆周角相等，选项说法正确，符合题意； C、直角三角形的内心和外心不重合，选项说法错误，不符合题意； D、经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，选项说法错误，不符合题意； 故选B． 2．如图，是△ABC的内切圆，若，则 ． 【答案】/119度 【分析】根据是△ABC的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是△ABC的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，为的中点，连接．在矩形外部找一点，使得，则线段长为 ；线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意利用勾股定理即可求出的长；利用外接圆、中位线以及勾股定理求出最大值即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 如图， 以为中心为圆心，为半径画圆， 在矩形中， ∵， ∴所画圆为外接圆， 弦右侧画弧上任意一点E与构成，使得四边形是圆内接四边形， ∴， 连接并延长与圆的交点即为的最长距离， 作于点H， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴PH=1/2CP=4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．已知：在△ABC中，， (1)利用直尺和圆规作△ABC的外接圆； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）分别作的垂直平分线，二者的交点为圆心，以为半径作圆，即可求解； （2）连接，，根据圆周角定理得出，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所作． （2）解：如图，连接，， 则：， ， ， 是等边三角形， ， 即：的半径为6． 题型7 圆的综合问题 1．如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； （2）∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 2．如图，是△ABC的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】 （1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得，即可证，可得，则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得，可证可得，根据勾股定理可求的半径长． 【详解】（1） 证明：连接 ， ，， 四边形是圆内接四边形， ，且， ； （2） 证明：连接 为直径， ， 又， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （3） 解：过点作于点， 又，， ， 在和中， (AAS)， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 的半径的长为． 1.（1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 【答案】（1）①；②；（2），；（3）或 【分析】此题是四边形的综合题，本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力．通过添加适当的辅助线证明，并能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． （1）①由条件易证，从而得到．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； ②利用，得出，利用为等边三角形，得出，即可解答； （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形及为等腰中边上的高可得，从而证到． （3）由可得：点在以点为圆心，1为半径的圆上；由可得：点在以为直径的圆上．显然，点是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 【详解】解：（1）①如图1， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：； ②，理由如下： ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：； （2），． 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ，． 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． ，， ． ， ． ． （3）点到的距离为或．理由如下： ， 点在以点为圆心，1为半径的圆上． ， 点在以为直径的圆上． 点是这两圆的交点． ①当点在如图3①所示位置时， 连接、、， 过点作，垂足为，作，交于点， 如图3①．四边形是正方形， ，，． ． ， ． ， 、、、在以为直径的圆上， ． 是等腰直角三角形． 又是等腰直角三角形，点、、共线，， 由（2）中的结论可得：． ． ； ②当点在如图3②所示位置时， 连接、、，过点作，垂足为，作，交的延长线于点，如图3②． 同理可得：． ． ． 综上所述：点到的距离为或． 2．如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，理解内心的概念及性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键， （1）连接，根据是的内心，可得，由数量关系可得，由此即可求解； （2）连接交于点E，可得，，，可证，由数量代换即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的内心， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：连接交于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 3．如图，射线，O是上的一点，以O为圆心，长为半径，在上方作半圆，与半圆O相切于点D，交于点E，于点F． (1)求证：； (2)若， ①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外） ②，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①圆上；② 【分析】（1）证明是半圆O的切线，切点为A，由切线长定理可得． （2）①由，可得．由，是圆O的切线．可得．则．证明．则．进而可得点F在半圆O所在的圆上； ②如图，连接，由与半圆相切于点D，可得，进而可得，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴是半圆O的切线，切点为A． 又∵与半圆O相切于点D， ∴． （2）①解：∵， ∴． ∵，是圆O的切线． ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴点F在半圆O所在的圆上， 故答案为：圆上． ②解：如图，连接， ∵与半圆相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴阴影部分的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 29.4切线长定理 题型1 应用切线长定理求解或求证 1．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ．  4．如图，、分别切⊙O于A、B，，⊙O半径为2，则的长为 ． 5．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 6．如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 题型2 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 1．在△ABC中，，，，则内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（    ） A．6步 B．5步 C．4步 D．3步 3．已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为 . 4．设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 5．已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 题型3 圆的外切四边形模型 一、单选题 1．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 3．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 4．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 题型4 三角形内心有关的应用 1．要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 2．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 3．已知△ABC中，，点I是它的内心，则 ． 4．已知I是△ABC的内心，交于D，交于E，，求长度． 题型5 一般三角形周长、面积与圆内切圆半径的关系 1．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，△ABC的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 3．若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 4．如图，是△ABC的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 5．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径． 题型6 三角形的内切圆与外接圆综合 1．下列命题中，正确的是（　　） A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 2．如图，是△ABC的内切圆，若，则 ． 3．如图，在矩形中，，，为的中点，连接．在矩形外部找一点，使得，则线段长为 ；线段的最大值为 ． 4．已知：在△ABC中，， (1)利用直尺和圆规作△ABC的外接圆； (2)若，求的半径． 题型7 圆的综合问题 1．如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 2．如图，是△ABC的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 1.（1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 2．如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 3．如图，射线，O是上的一点，以O为圆心，长为半径，在上方作半圆，与半圆O相切于点D，交于点E，于点F． (1)求证：； (2)若， ①判断点F与半圆O所在圆的位置关系：点F在______；（圆内，圆上，圆外） ②，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$