平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

§5.1平面向量的概念及线性运算 高中数学 高中数学 目录 知识回顾 01 典型例题 02 CONTENT 课堂总结 03 高中数学 高中数学 知识回顾 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的____ (或称 ). (2)零向量：长度为 的向量，记作___. (3)单位向量：长度等于 的向量. (4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 . (5)相等向量：长度相等且方向 的向量. (6)相反向量：长度相等且方向 的向量. 方向 长度 模 0 1个单位长度 相反 平行 相同 相反 0 高中数学 高中数学 知识回顾 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法   交换律：a＋b＝______； 结合律：(a＋b)＋c＝___________ b＋a a＋(b＋c) 高中数学 高中数学 相反 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 减法   a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝_____，当λ>0时，λa的方向与a的方向_____； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝___ λ(μa)＝______； (λ＋μ)a＝_______； λ(a＋b)＝_______ 0 相同 |λ||a| (λμ)a λa＋μa λa＋λb 知识回顾 高中数学 高中数学 典型例题：题型一　平面向量的基本概念 √ √ √ 高中数学 对于A，由相等向量的定义知，A正确； 对于C，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c，故C错误； 典型例题：例题详解 高中数学 高中数学 练1　(多选)下列关于向量的说法正确的是 A.若|a|＝0，则a＝0 C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb √ √ 典型例题：题型一　平面向量的基本概念 高中数学 典型例题：例题详解 对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确； 对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.综上可知对于任意向量a，b， 必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确； 高中数学 高中数学 典型例题：题型二　平面向量的线性运算 √ 高中数学 典型例题：例题详解 如图，在矩形ABCD中， 在△DAO中， 高中数学 高中数学 典型例题：题型二　平面向量的线性运算 √ 高中数学 典型例题：例题详解 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F， 高中数学 高中数学 典型例题：题型三　共线定理及其应用 √ 高中数学 典型例题：例题详解 高中数学 高中数学 典型例题：题型三　共线定理及其应用 高中数学 典型例题：例题详解 且B，P，N三点共线， 高中数学 课堂总结 1．向量的有关概念 2．向量的线性运算 3. 共线向量定理 知识点： 拓展点： 1．三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔→(AP)＝λ→(AB)(λ≠0)⇔→(OP)＝(1－t)·→(OA)＋t→(OB) (O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔→(OP)＝x→(OA)＋y→(OB)(O为平 面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 2．向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则→(OP)＝2(1)(→(OA)＋→(OB))． 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则→(PA)＋→(PB)＋→(PC)＝0⇔P为 △ABC的重心，→(AP)＝3(1)(→(AB)＋→(AC))． 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 高中数学 THANKS 高中数学 例1　(多选)下列说法正确的是 A.若a＝b，b＝c，则a＝c B.若四边形ABCD满足＝，则四边形ABCD是平行四边形 C.若a∥b，b∥c，则a∥c D.与非零向量a共线的单位向量为± 对于B，因为＝，所以AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形，故B正确； 对于D，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±，故D正确. B.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上 对于B，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故B错误； 例2　(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于 A.－ B. 　　　　C. 　　　　D. ∴λ2－μ2＝－＝－. ＝(＋)， ＝(＋)， ∴＝＝＋＝－， ∴λ＝，μ＝－， 练2　(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若＝a，＝b，则等于 A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 则△DEF∽△BEA，所以＝＝， 则＝＝， 所以＝＝，则＝＋＝＋＝a＋b. 例3如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N满足＝，AM与CN交于点D，若＝λ，则λ等于 A. B. C. D. 在△ABC中，因为点M是BC的中点，所以＝＋， 则＝λ＝＋， 又＝，于是得＝＋， 因为点C，D，N共线，则有＋＝1，解得λ＝. 练3如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋，则实数m的值是________. 因为＝，所以＝3， 因为＝m＋＝m＋， 所以m＋＝1，所以m＝. $$