数学01（含考试版+参考答案+全解全析+答题卡）-2025年1月“八省联考”考前猜想卷

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年1月“八省联考”考前猜想卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 4．设，，则（    ） A． B． C． D． 5．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．若函数为奇函数，则 B．函数在上是减函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数为偶函数，且在上是单调递增，则在上是单调递减 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，．记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数的单调递增区间为 D．函数的图像关于直线对称 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与曲线相切，则实数的值为 . 13．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则 ； . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积 (1)证明： (2)求. 16．（15分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人. (1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数； (2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）； (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数. 17．（15分）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 18．（17分）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得 平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由． 19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在处的曲率的平方； (2)求正弦曲线曲率的平方的最大值. (3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月“八省联考”考前猜想卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C A D D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分【答案】(1)证明见解析;(2)或 【解析】（1）点在边上，且满足, 所以，……………………………………………………3分 ，……………………………………………………………4分 故，即；……………………………………………………………6分 （2）由图可知，……………7分 可得，解得或，……………9分 1°当时，，；…………………11分 2°当时，，；……………12分 综上所述或.……………………………………………………………13分 16．【答案】(1)0.025，4000人;(2)众数为85.0，平均数80.7;(3)212500 【解析】（1）有频率分布直方图知 即，解得……………………………………………………2分 设总共调查了人，则， 解得，即调查的总人数为4000人；……………………………………………5分 （2）最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，……………7分 由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25， 所以设平均数为， 则……………11分 （3）由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为 ……………13分 所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:……………15分 17．【答案】(1)(2) 【解析】（1）， 离心率为.…………………………………………………………5分 （2）由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，…………………………………6分 联立得，………………………………8分 由，①………………………9分 ，，…………………………………………………11分 由可得，②…………………………………………………12分 由可得，③…………………………………………………13分 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．………15分 18．【答案】(1)见解析;(2) 【解析】（1）由四边形是直角梯形，，，， 可得，，从而是等边三角形，，平分． 为的中点，，，…………………………………3分 又，，平面，平面………………4分 平面，……………………………………………………………………5分 平面，所以平面平面.…………………………………6分 （2）在平面内作于，连接，平面， 又平面，平面平面． 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得 ，，为的中点，．…………………………8分 以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，……………………………9分 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得，……………………………………………10分 ，，， 由，得，……………………………………11分 解得，满足题意，，，……………12分 取，，， ，， ，…………………………………………………………15分 求出点N到直线PD的距离为：.…………………………16分 所以N点直线PD的距离为.…………………………………………………………17分 19．【答案】(1);(2)1;(3)零点个数为2，证明见解析 【解析】（1）因为，所以，，………………1分 所以，………………………………………………3分 .………………………………………………………………5分 （2）由，，则，………………………6分 ，令，则，故，…………7分 设，则，……………8分 在时，递减，所以，最大值为1.……………10分 （3）因为，，则. ①当时，因为， 所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点.……………………………………………………………12分 ②当时，因为单调递增，且，， 所以存在，使. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以.设，， ，,……………………………………………14分 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，所以. 所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点.……………………………………………………………16分 综上所述，在上的零点个数为2…………………………………………17分 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年 1 月“八省联考”考前猜想卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年1月“八省联考”考前猜想卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 4．设，，则（    ） A． B． C． D． 5．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．若函数为奇函数，则 B．函数在上是减函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数为偶函数，且在上是单调递增，则在上是单调递减 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，．记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数的单调递增区间为 D．函数的图像关于直线对称 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与曲线相切，则实数的值为 . 13．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则 ； . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积 (1)证明： (2)求. 16．（15分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人. (1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数； (2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）； (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数. 17．（15分）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 18．（17分）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得 平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由． 19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在处的曲率的平方； (2)求正弦曲线曲率的平方的最大值. (3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月“八省联考”考前猜想卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，可得， 又因为全集，所以， 故选：D 2．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，所以. 故选：B 3．在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C 4．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：A. 5．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高，侧面积， 故选：D. 6．下列说法正确的是（    ） A．若函数为奇函数，则 B．函数在上是减函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数为偶函数，且在上是单调递增，则在上是单调递减 【答案】D 【解析】对于选项A：例如为奇函数，但无定义，故A错误； 对于选项B：因为，所以函数在定义域上不是减函数，故B错误； 对于选项C：因为函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为，故C错误； 对于选项D：因为函数为偶函数，且在上是单调递增， 所以在上是单调递减，故D正确； 故选：D. 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调递增等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 故选：C 8．已知数列满足，．记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， ， ，故， 由累加法可得当时，， 又因为当 时， 也成立，所以， 所以， ，故， 由累乘法可得当 时，， 所以，所以． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ). A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B不正确； 选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：， 所以，故C正确； 选项D：解法一：由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为直线：， ，所以在正态曲线中，的峰值较高，正态曲线较“瘦高”， 随机变量分布比较集中，所以，故D正确. 解法二：因为，， 所以， 故D正确. 故选：ACD. 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数的单调递增区间为 D．函数的图像关于直线对称 【答案】BD 【解析】 的定义域为： ， ， = ； 对于A，错误； 对于B， ， 是偶函数，正确； 对于C， 不在定义域内，错误； 对于D，二次函数 的对称轴是x=-1， ∴ 是关于x=-1对称的，正确； 故选：BD. 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 【答案】ABD 【解析】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为， 则， 即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值， 显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与曲线相切，则实数的值为 . 【答案】 【解析】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即，所以，所以，所以. 故答案为：. 13．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【解析】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.    因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则 ； . 【答案】 【解析】在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以 ； 根据定义，对于 整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数， 显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7；当a=5，7，11，17，19时，x不存在； ； 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积 (1)证明： (2)求. 【答案】(1)证明见解析;(2)或 【解析】（1）点在边上，且满足, 所以，……………………………………………………3分 ，……………………………………………………………4分 故，即；……………………………………………………………6分 （2）由图可知，……………7分 可得，解得或，……………9分 1°当时，，；…………………11分 2°当时，，；……………12分 综上所述或.……………………………………………………………13分 16．新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人. (1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数； (2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）； (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数. 【答案】(1)0.025，4000人;(2)众数为85.0，平均数80.7;(3)212500 【解析】（1）有频率分布直方图知 即，解得……………………………………………………2分 设总共调查了人，则， 解得，即调查的总人数为4000人；……………………………………………5分 （2）最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，……………7分 由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25， 所以设平均数为， 则……………11分 （3）由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为 ……………13分 所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:……………15分 17．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）， 离心率为.…………………………………………………………5分 （2）由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，…………………………………6分 联立得，………………………………8分 由，①………………………9分 ，，…………………………………………………11分 由可得，②…………………………………………………12分 由可得，③…………………………………………………13分 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．………15分 18．（17分）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得 平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】（1）由四边形是直角梯形，，，， 可得，，从而是等边三角形，，平分． 为的中点，，，…………………………………3分 又，，平面，平面………………4分 平面，……………………………………………………………………5分 平面，所以平面平面.…………………………………6分 （2）在平面内作于，连接，平面， 又平面，平面平面． 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得 ，，为的中点，．…………………………8分 以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，……………………………9分 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得，……………………………………………10分 ，，， 由，得，……………………………………11分 解得，满足题意，，，……………12分 取，，， ，， ，…………………………………………………………15分 求出点N到直线PD的距离为：.…………………………16分 所以N点直线PD的距离为.…………………………………………………………17分 19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在处的曲率的平方； (2)求正弦曲线曲率的平方的最大值. (3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】(1);(2)1;(3)零点个数为2，证明见解析 【解析】（1）因为，所以，，………………1分 所以，………………………………………………3分 .………………………………………………………………5分 （2）由，，则，………………………6分 ，令，则，故，…………7分 设，则，……………8分 在时，递减，所以，最大值为1.……………10分 （3）因为，，则. ①当时，因为， 所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点.……………………………………………………………12分 ②当时，因为单调递增，且，， 所以存在，使. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以.设，， ，,……………………………………………14分 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，所以. 所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点.……………………………………………………………16分 综上所述，在上的零点个数为2…………………………………………17分 第 14 页 共 14 页 第 13 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年1月“八省联考”考前猜想卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$