专题04 幂、指数与对数易错必刷题型专训（45题15个考点）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题04 幂、指数与对数错必刷题型专训（45题15个考点） 【易错必刷一 根式的计算】 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷二 指数幂的运算】 1．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设，下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【易错必刷三 分数指数幂与根式的互化】 1．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用有理数指数幂的形式表示: 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【易错必刷四 指数幂的化简、求值】 1．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）已知，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）（1）计算的值； （2）已知，比较与的大小 【易错必刷五 指数幂的不等式、方程运算】 1．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若不等式的解集是，则的值为 . 3．（24-25高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）已知、，求的值． 【易错必刷六 指数幂的混合运算】 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．4 2．（24-25高一上·福建福州·期中）计算 . 3．（安徽省卓越县中联盟&皖豫名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，且，求的值． 【易错必刷七 对数的概念判断与求值】 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷八 指数式与对数式的互化】 1．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知，，，且，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．12 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【易错必刷九 对数的运算】 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海嘉定·期末）依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，是一个2位数，100是一个3位数，实数，若，则，为位数，据此，是一个 位数（附）. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【易错必刷十 对数的运算性质的应用】 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 2．（23-24高一上·上海·开学考试）已知，则 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）通常情况下，和的对数不等于对数的和，如，但是否存在实数对，使呢？若存在，请写出一对符合要求的；若不存在，请说明理由． 【易错必刷十一 运用换底公式化简计算】 1．（23-24高一上·上海青浦·期中）现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，，用，的代数式表示 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【易错必刷十二 运用换底公式证明恒等式】 1．（23-24高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 2．（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【易错必刷十三 对数的最值计算】 1．（23-24高一·全国·课后作业）若，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·新疆·期末） (1)计算 (2)已知， 求的最小值． 【易错必刷十四 指、对数的方程计算】 1．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）若，则的值约为（    ） A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求的值． 【易错必刷十五 对数的综合应用】 1．（23-24高一上·上海·课后作业）用计算器计算：．根据计算结果写出一个一般性结论，并证明． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）将指数式，化为对数式，结合指数运算性质能否将其化为对数式？它们之间有何联系（用一个等式表示）？ （2）结合问题1，若，又能得到什么结论？ （3）结合问题1，若，又能有何结果？ 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）设2024年我国国民生产总值为亿元．如果我国国民生产总值的年平均增长率为8%，那么经过多少年我国国民生产总值是2024年时的2倍？（，，结果精确到1年） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 幂、指数与对数错必刷题型专训（45题15个考点） 【易错必刷一 根式的计算】 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】（1）（2）（3）（4）利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） （4）. 【易错必刷二 指数幂的运算】 1．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设，下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数的运算逐一判断即可. 【详解】，，， 故选：C 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【详解】, 故答案为： 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】. 【易错必刷三 分数指数幂与根式的互化】 1．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将根式化为分数指数幂形式，再进行指数运算. 【详解】由，则， 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用有理数指数幂的形式表示: 【答案】 【分析】根据根式与有理数指数幂的关系及有理数指数幂的运算化简即可. 【详解】由，则. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用指数幂的运算法则，结合根式与指数幂的转化即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【易错必刷四 指数幂的化简、求值】 1．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）已知，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算公式化简计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【答案】a 【分析】根据根式与指数幂的互化与指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】因为， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）（1）计算的值； （2）已知，比较与的大小 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）利用根式和分数指数幂运算法则得到答案； （2）作差法比较大小. 【详解】（1）； （2）， 故，当且仅当时，等号成立. 【易错必刷五 指数幂的不等式、方程运算】 1．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式及指数幂的运算性质求最值，注意等号成立条件. 【详解】由，当且仅当，即时取等号， 所以目标式最小值为. 故选：C 2．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若不等式的解集是，则的值为 . 【答案】-8 【分析】根据二次不等式的解集，结合韦达定理，可求出a,b，即可求解 【详解】不等式的解集是， 则，的两根为-2,6； 则根据韦达定理得，，所以. 故答案为：-8 3．（24-25高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）已知、，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对已知式子两边平方求出的值，再利用配方法可得答案； （2）对所求的式子通分化简可得答案. 【详解】（1）因为， 所以，即，解得， 可得； （2） . 【易错必刷六 指数幂的混合运算】 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由已知求得，代入计算，即可得. 【详解】由题意，得， 则， 注意到 则. 故选：C 2．（24-25高一上·福建福州·期中）计算 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质化简计算可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 3．（安徽省卓越县中联盟&皖豫名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由题意可知，所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 【易错必刷七 对数的概念判断与求值】 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 2．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 【易错必刷八 指数式与对数式的互化】 1．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知，，，且，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可. 【详解】，故可得，又，则. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化得解. 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 【易错必刷九 对数的运算】 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可. 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 2．（23-24高一上·上海嘉定·期末）依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，是一个2位数，100是一个3位数，实数，若，则，为位数，据此，是一个 位数（附）. 【答案】 【分析】利用位数的定义，结合对数运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 则，所以是位数. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)320 (2)6 (3)3 【分析】由指数和对数运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 【易错必刷十 对数的运算性质的应用】 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【详解】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海·开学考试）已知，则 ． 【答案】2 【分析】先求出，， 由此利用对数性质能求出的值． 【详解】， ， ， ． 故答案为：2． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）通常情况下，和的对数不等于对数的和，如，但是否存在实数对，使呢？若存在，请写出一对符合要求的；若不存在，请说明理由． 【答案】存在无数对，如（2，2），等． 【分析】利用对数的运算性质将对数式化成，即可判断. 【详解】由可得，即 ，即， 只要满足的都可以． 故存在无数实数对，如（2，2），等． 【易错必刷十一 运用换底公式化简计算】 1．（23-24高一上·上海青浦·期中）现有下列计算式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ 【答案】D 【分析】由对数的运算性质与换底公式依次判断即可. 【详解】①右边， 当时，左边无意义，右边，故不成立； ②当时，，故不成立； ③，故不成立； ④由对数的运算性质，，式子成立； ⑤由换底公式，，故式子成立. 其中正确的是④⑤. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，，用，的代数式表示 . 【答案】 【分析】利用对数的换底公式求解. 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用对数换底公式，结合对数性质及运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 【易错必刷十二 运用换底公式证明恒等式】 1．（23-24高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 【易错必刷十三 对数的最值计算】 1．（23-24高一·全国·课后作业）若，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】化简，求得关于与的等式，结合二次函数的性质求得的最大值. 【详解】对等号两边同时取对数，得， 即，令，则， 所以， 即的最大值是4（此时，对应）. 故选：D 2．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先用对数运算得出，再用常值代换结合基本不等式即可. 【详解】因为， 所以，且，变形得， 因为 所以，当且仅当即时取等号， 故答案为： 3．（23-24高一上·新疆·期末） (1)计算 (2)已知， 求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算、对数的运算可得答案； （2）由可得，再由基本不等式可得答案. 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当即时取得最小值为． 【易错必刷十四 指、对数的方程计算】 1．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）若，则的值约为（    ） A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 【答案】A 【分析】利用指对互化与换底公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则 【答案】± 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及根式的互化，准确计算，即可求解. 【详解】由，可得，即，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】2 【分析】先由平方求得，再利用立方和公式展开计算，代入所求式即得. 【详解】因为，所以所以， 所以 故 【易错必刷十五 对数的综合应用】 1．（23-24高一上·上海·课后作业）用计算器计算：．根据计算结果写出一个一般性结论，并证明． 【答案】，，；证明见解析． 【分析】利用换底公式证明. 【详解】，， 结论， 证明：设且， 由换底公式得：. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）将指数式，化为对数式，结合指数运算性质能否将其化为对数式？它们之间有何联系（用一个等式表示）？ （2）结合问题1，若，又能得到什么结论？ （3）结合问题1，若，又能有何结果？ 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） 由，  得，. 由得. 从而得出（且，，）. （2）将指数式化为对数式， 得（且，，）. （3）由，得. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）设2024年我国国民生产总值为亿元．如果我国国民生产总值的年平均增长率为8%，那么经过多少年我国国民生产总值是2024年时的2倍？（，，结果精确到1年） 【答案】9年 【分析】设经过年我国国民生产总值是2024年时的2倍，则由题意可得，两边除以，再两边取对数可求得结果. 【详解】解：设经过年我国国民生产总值是2024年时的2倍． 根据题意，得， 即，所以．解得． 因此，大约经过9年我国国民生产总值是2024年时的2倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$