专题03 幂、指数与对数50道计算题专项训练（5大题型）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题03 幂、指数与对数计算道计算题专项训练（5大题型） 题型一 根式的化简求值计算 题型二 指数幂的计算 题型三 对数的运算问题 题型四 对数方程的计算问题 题型五 指数幕、对数的不等式计算 【经典题型一 根式的化简求值计算】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 【答案】 【分析】利用5次方根的定义求解即可. 【详解】的5次方根为 . 2．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据立方根的定义求解； （2）根据4次方根的定义求解. 【详解】的立方根为； 256的4次方根为. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，求的值． 【答案】0 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为， 所以. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1) (2)（其中）． 【答案】(1) (2) 【分析】根据奇数次根式和偶次根式运算法则可得； 【详解】（1） （2）（其中）． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】（1）（2）（3）（4）利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） （4）. 6．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分数开方等于分子分母分别开方； （2）由得出各项结果后再合并即可得到结果. 【详解】（1） （2） 7．（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)答案见解析 【分析】利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，. 8．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，化简． 【答案】 【分析】当n为奇数时，，当n为偶数时，，而不论n是奇数还是偶数，. 【详解】当时，原式；当时，原式．综上，． 9．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）（1）化简：； （2）求方程的解集． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将式子分母有理化，即可得解； （2）依题意可得，解得，即可求出，从而得解. 【详解】（1） ； （2）方程，即，则， 解得或， 所以或或或， 则方程的解集为. 10．（2024高一·全国·专题练习）阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)，，，，，， 【分析】（1）令，，求出的值即可． （2）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得． （3）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得． 【详解】（1）解：可令和， 解得和，∴，分别为和的零点值． （2）解： 当时， ， 原式 当时， ， 原式 当时， ，， 原式 （3）解：当时， ∴， ∴方程左边； 当时，∴， ∴方程左边； 当时，∴，， ∴方程左边， ∴， ∴整数解为：，，，，，，． 【经典题型二 指数幂的计算】 11．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据根式与指数式的互化即可得解. （2）（3）（4）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 12．（24-25高一上·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用根式计算即可得出结果； （2）利用分数指数幂以及绝对值和三角函数值计算可得结果. 【详解】（1）易知， 所以 （2）显然， 所以. 13．（23-24高一上·湖北武汉·期中）化简求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数的运算法则进行计算即可求解. 【详解】（1） （2） 14．（23-24高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）（2）利用指数运算法则计算得解. 【详解】（1）. （2）. 15．（23-24高一上·江苏盐城·开学考试）（1）计算：； （2）先化简，后求值：，其中． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）指数、根式以及特殊角的三角函数值可求得所求代数式的值； （2）先化简所求代数式，然后将代入所求代数式即可得解. 【详解】解：（1）原式； （2）. 16．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，求： (1) (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【详解】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则 17．（23-24高一上·宁夏银川·期中）计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】利用根式的性质求解（1）（2）；利用指数幂的运算性质求解（3）（4）. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 19．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 20．（23-24高一上·福建宁德·开学考试）解决下列问题： (1).计算：. (2).先化简，再求值：，其中x的值是从的整数值中选取. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由零指数，分数指数，负指数幂计算规则可得答案；（2）由题意可得x取值，后由分式加减与乘除法计算法则可得答案. 【详解】（1）由题，原式 （2）由题，原式 . 又由题可知，结合x的值是从的整数值中选取，则. 故原式. 【经典题型三 对数的运算问题】 21．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据对数的运算性质计算即可. 【详解】（1） （2） （3）. 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)320 (2)6 (3)3 【分析】由指数和对数运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 23．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，用表示和. 【答案】， 【分析】根据对数的加减法进行求解. 【详解】， . 24．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，化简. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质化简即可. 【详解】由，且， 于是 25．（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】 【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解. 【详解】因为，又，， 所以. 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）（2）根据对数运算律计算即可； 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 27．（23-24高一上·上海崇明·期中）（1）计算：； （2）已知，，化简：. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】（1）利用对数的运算性质即可求解. （2）利用指数的运算性质即可求解. 【详解】（1）. （2），，. 28．（23-24高一上·上海虹口·期中）（1）不用计算器求值：； （2）运用幂的性质证明：若，，则． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据对数的运算法则及性质化简求值； （2）根据指数式与对数式的转化，利用指数幂的性质证明即可. 【详解】（1）原式 . （2）证明：令，则， ，， 又，， 即. 29．（23-24高一上·上海黄浦·期末）（1）化简：； （2）令，用a表示． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解， （2）利用对数的运算性质求解 【详解】（1）原式， （2）因为， 所以， 30．（25-26高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助对数运算可得，，结合对数的运算法则即可用a、b表示； （2）左右同取以为底的对数后结合对数的运算法则计算即可得. 【详解】（1）由，，则，， 则； （2）易得且，由，则， 即，即，即， 则. 【经典题型四 对数方程的计算问题】 31．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值： (1)； (2). 【答案】(1)16 (2)2 【分析】（1）将对数式化成指数式计算即得； （2）将对数式化成指数式后，结合的范围即可解得. 【详解】（1）由可得，； （2）由可得，，因且，故. 32．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)32 (2) (3)16 【分析】（1）（2）（3）根据对数式和指数式的互换，对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以 （2），所以. （3）因为，所以，即，所以. 33．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 34．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 35．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）化简求值： (1) (2)若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指对运算法则即可得解； （2）利用指对互换，结合指数的运算即可得解. 【详解】（1） . （2）因为，所以，则， 所以，故. 36．（24-25高一上·江西宜春·期中）（1）求值：+； （2）求下列关于x的不等式的解集：． 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）根据指数运算和对数运算公式计算即可； （2）将分式不等式转化为整式不等式求解即可； 【详解】（1） . （2）由不等式，得，即，解得， 所以不等式的解集为. 37．（24-25高一上·湖南长沙·期中）（1）计算； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数、对数的运算法则计算可得出原式的值； （2）对等式平方可得出，再对等式两边平方可得出的值. 【详解】（1） ； （2）由题意得，得， 所以，故. 38．（24-25高一上·江苏连云港·期中）（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）11；（2） 【分析】（1）根据指数幂以及对数的运算性质即可求解， （2）根据指数幂的性质可得，即可利用立方差公式求解. 【详解】（1）原式= . （2）因为，两边平方得， 所以. 39．（23-24高一下·湖北·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）1（2）18 【分析】（1）运用指数对数性质求解即可； （2）运用完全平方公式和，立方和公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2），， 展开，， 又. 40．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)若，求的值； (3)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解， （2）（3）根据指数与对数的互化，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） ； （2），又， 所以． （3）由，得．由， 所以，所以，解得：， 则，即， 所以，所以． 【经典题型五 指数幕、对数的不等式计算】 41．（24-25高一上·北京·期中）（1）求值： （2）解不等式组 【答案】（1）73；（2）； 【分析】（1）根据指数幂运算； （2）根据分式不等式、绝对值不等式求解； 【详解】（1） ； （2）因为，可得：， 解得：或； 得：解得： 然后取交集 综上不等式解集为：； 42．（24-25高一上·陕西渭南·期中）计算 (1)求不等式解集 (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式因式分解可得，再根据函数图像可求解； （2）根据分数指数幂，零指数幂以及负指数幂的运算法则可求解. 【详解】（1）由题意可知， 令，可得或， 因为二次不等式二次项系数为，所以函数图象开口向上， 所以得解集为 （2）原式. 43．（23-24高一上·四川广安·期末）（1）计算：； （2）解关于的一元二次不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）根据指数运算和对数运算法则计算出答案； （2）分，与三种情况，求出不等式解集. 【详解】（1）； （2）当得，，无解， 当时，解集为， 当时，解集为， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 44．（24-25高一上·天津河东·期中）（1）计算； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂的运算进行化简求解； （2）利用基本不等式进行求解. 【详解】（1） . （2）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为. 45．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）计算. （2）已知，解关于不等式：. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，将不等式化为，然后分类讨论，即可得到不等式的解集. 【详解】（1）原式 . （2）由可得，， 即，所对应方程的两根分别为， 当时，即，解得或； 当时，即，解得或； 当时，即，解得； 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 46．（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）解关于x的不等式： (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）不等式分类讨论问题，结合题意，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小． （2）将指数式化成对数式，利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）等价于 ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式等价于，不等式的解集为 ③当时，不等式等价于， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为, 当时，不等式的解集为; （2）因为，所以， 由换底公式和对数的运算性质可得: 47．（24-25高一上·河南郑州·期中）解答下列问题. (1)设，，用a，b表示； (2)解关于x的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由对数运算性质可得答案； （2）分类讨论与的大小可解不等式. 【详解】（1）． （2），即， 当，解集为； 当，解集为； 当，解集为． 48．（23-24高一上·辽宁阜新·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）利用对数运算计算即可. （2）利用基本不等式求出最大值即得. （3）根据已知，利用指数运算计算即得. 【详解】（1）由，得，即， 所以. （2）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是. （3）由，两边平方得：，即， 两边再次平方得，解得， 所以. 49．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）化简与求值： (1)； (2)若，求的值； (3)已知，求的最大值. 【答案】(1)14 (2)2 (3)1 【分析】（1）根据指数和对数的运算法则可求出； （2）由对数运算可得，即可求出； （3）利用基本不等式可求出. 【详解】（1）原式； （2）由已知得，则， 即，也即. 因为，，所以，于是有，即. （3）由，可得， 所以 ， 当且仅当时，取得最大值1. 50．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2). (3)已知，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂计算即可. （2）利用对数的运算法则与换底公式计算即可. （3）化解，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）由题意，， 则 ， 当且仅当，即取等号. 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 幂、指数与对数计算道计算题专项训练（5大题型） 题型一 根式的化简求值计算 题型二 指数幂的计算 题型三 对数的运算问题 题型四 对数方程的计算问题 题型五 指数幕、对数的不等式计算 【经典题型一 根式的化简求值计算】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，求的值． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1) (2)（其中）． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2). 7．（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 8．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，化简． 9．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）（1）化简：； （2）求方程的解集． 10．（2024高一·全国·专题练习）阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 【经典题型二 指数幂的计算】 11．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25高一上·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 13．（23-24高一上·湖北武汉·期中）化简求值： (1) (2) 14．（23-24高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 15．（23-24高一上·江苏盐城·开学考试）（1）计算：； （2）先化简，后求值：，其中． 16．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，求： (1) (2). 17．（23-24高一上·宁夏银川·期中）计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 19．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 20．（23-24高一上·福建宁德·开学考试）解决下列问题： (1).计算：. (2).先化简，再求值：，其中x的值是从的整数值中选取. 【经典题型三 对数的运算问题】 21．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 23．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，用表示和. 24．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，化简. 25．（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 27．（23-24高一上·上海崇明·期中）（1）计算：； （2）已知，，化简：. 28．（23-24高一上·上海虹口·期中）（1）不用计算器求值：； （2）运用幂的性质证明：若，，则． 29．（23-24高一上·上海黄浦·期末）（1）化简：； （2）令，用a表示． 30．（25-26高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【经典题型四 对数方程的计算问题】 31．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值： (1)； (2). 32．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3). 33．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 34．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 35．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）化简求值： (1) (2)若，求的值 36．（24-25高一上·江西宜春·期中）（1）求值：+； （2）求下列关于x的不等式的解集：． 37．（24-25高一上·湖南长沙·期中）（1）计算； （2）若，求的值. 38．（24-25高一上·江苏连云港·期中）（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 39．（23-24高一下·湖北·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 40．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)若，求的值； (3)已知实数，满足，求的值． 【经典题型五 指数幕、对数的不等式计算】 41．（24-25高一上·北京·期中）（1）求值： （2）解不等式组 42．（24-25高一上·陕西渭南·期中）计算 (1)求不等式解集 (2)计算： 43．（23-24高一上·四川广安·期末）（1）计算：； （2）解关于的一元二次不等式. 44．（24-25高一上·天津河东·期中）（1）计算； （2）已知，求的最大值. 45．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）计算. （2）已知，解关于不等式：. 46．（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）解关于x的不等式： (1) (2)已知，求的值. 47．（24-25高一上·河南郑州·期中）解答下列问题. (1)设，，用a，b表示； (2)解关于x的不等式：． 48．（23-24高一上·辽宁阜新·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的值． 49．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）化简与求值： (1)； (2)若，求的值； (3)已知，求的最大值. 50．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2). (3)已知，且，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$