专题06 反比例函数易错必刷题型专训（93题31个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题06 反比例函数易错必刷题型专训（93题31个考点） 【易错必刷一 常量与变量】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（    ） 年份 1957 1974 1987 1999 2010 人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿 A．仅有一个，是时间（年份） B．仅有一个，是人口数 C．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份） D．一个也没有 2．（23-24八年级上·全国·假期作业）若长方形的周长为20，其中一边长是，面积是，则与之间的关系式为 ． 3．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题： (1)汽车行驶1h后油箱里还有油______L，汽车行驶6h后油箱里还有油______L； (2)这一变化过程中共有______个变量，其中______是变量，______是常量； (3)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； (4)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【易错必刷二 函数的概念】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是 （填写所有正确的序号） 3．（23-24八年级上·山西晋中·期中）周日上午，李颖和骑友响应国家低碳出行的号召，从家出发骑自行车去南山，8点离开家，14点回家．如图表示她离家的距离S(千米)与所用时间t(时)之间的函数图象．根据这个图象回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)李颖第一次休息了多长时间?此时离家多远? (3)直接写出图中点A表示的实际意义． (4)哪个时段李颖骑行的平均速度慢?此时骑行的平均速度是多少? 【易错必刷三 函数解析式】 1．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等． 七张桌面分开可组合成不同的图形． 如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为 ． 3．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）如图，长方形的长，宽，E为上一动点，F为上一定点，连接，设． (1)求三角形的面积y与x的关系式； (2)根据（1）中关系式填写下列表格： 1 2 3 4 5 【易错必刷四 求自变量的值】 1．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，若输入的值为，则输出的值为（    ）    A． B． C．7 D．5 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）一空水池，现需注满水，水池深．现以不变的流量注水，水的深度与对应的注水时间如下表： 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）能推出注满水的时间是 ． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： 碗的数量x（个） 1 2 3 4 5 … 高度 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量x（个）之间的关系式； (2)若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 【易错必刷五 函数图象识别】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（        ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 3．（23-24八年级上·河南周口·期中）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：    (1)小红家到舅舅家的路程是________米，小红在商店停留了________分钟． (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？全程平均速度是多少？ 【易错必刷六 从函数的图象获取信息】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法其中错误的是（    ） A．甲的速度为40千米／小时 B．3小时甲追上乙 C．行驶1小时乙在甲前10千米 D．乙的平均速度为42.5千米／小时 2．（2024八年级上·全国·专题练习）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发．在跑步过程中，甲、乙两人的距离与乙出发的时间之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确的是 ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为贯彻落实教育部《教育信息化2.0行动计划》精神，某中学在科创实践类比赛中，开展无人机进行展示活动．已知无人机上升和下降的速度相同，设无人机的离地高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示． 根据图象回答下列问题： (1)无人机上升到最高点停留时间是___________s． (2)在上升或下降过程中，无人机的速度是___________． (3)图中字母a表示的数是________． (4)求当操控无人机飞行的时间是多少时，无人机离地高度恰好为？ 【易错必刷七 用描点法画函数图象】 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图像，再结合函数图像研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究． (1)请根据下表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像： 0 1 2 3 4 5 6 8 0 4 4 0 8 (2)观察图像，研究性质： ①该函数图像关于________对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是________； ③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：________； (3)深入思考，拓展探究： ④若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是________； ⑤不难发现，函数的图像可通过将函数图像的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图像可通过将函数在_____上的图像（填“具体哪一部分”）沿着______（填“具体哪条直线”）翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）． 【易错必刷八 动点问题的函数图象】 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源监测点为 ． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期中）动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒． (1)______，______，______； (2)当三角形的面积为时，求点的运动时间的值． 【易错必刷九 函数的三种表示方法】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 2．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）判断下面各题中的两个变量成反比例关系的是 ． ①付琦老师把长为100米的绳子剪下m米后，还剩下n米； ②熊婷老师买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； ③马丽珠老师的家到学校的距离为480米，步行上班的平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟． 3．（23-24八年级上·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【易错必刷十 正比例函数的图象和性质】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）在探究“重力的大小与质量的关系”实验中，下列选项能反映物体重力G与质量m的函数关系大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知正比例函数的图象过点，则该函数的解析式为 ． 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【易错必刷十一 用反比例函数描述数量关系】 1．（2024·浙江金华·一模）在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（    ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【易错必刷十二 根据定义判断是否是反比例函数】 1．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中，y关于x的反比例函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·广西·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）． (1)求y关于x的函数表达式这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数． (2)求当时，函数y的值，并说明这个值的实际意义． (3)利用y关于x的函数表达式，说明当动臂长扩大到原来的倍时，所需动力将怎样变化？ 【易错必刷十三 根据反比例函数的定义求参数】 1．（23-24八年级上·全国·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·开学考试）已知函数为反比例函数，则的值为 （填具体数值）． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 【易错必刷十四 求反比例函数值】 1．（2024·北京·模拟预测）对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（    ） A． B．函数的最大值为1，最小值为0 C．函数不存在对称轴 D．随着的增大，函数和函数越来越接近 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． x 10 ？ y 3 5 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当时，求二氧化碳密度ρ的值． 【易错必刷十五 由反比例函数值求自变量】 1．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 2．（2024·四川眉山·模拟预测）函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． (1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； (2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 【易错必刷十六 判断反比例函数图象】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【易错必刷十七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B、D在轴上． 已知点、． (1)直接写出点C、D的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长； (4)求平行四边形ABCD的面积S． 【易错必刷十八 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中存在线段，已知端点，，若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点，写任意出一个符合条件的的整数值： ． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【易错必刷十九 判断反比例函数的增减性】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，反比例函数（k是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．该函数图象经过点 C．当时，y随x的增大而减小 D．当， 2．（2024八年级上·河南·学业考试）如图，已知反比例函数的图象经过点， 那么当时， x的取值范围是 ．    3．．（23-24八年级上·河南鹤壁·期中）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … a －3 0 3 b … (1)______；______；并在图中补全该函数图象； (2)根据函数图象，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） (3)兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图象，结合你所画的函数图象完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【易错必刷二十 判断反比例函数图象所在象限】 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·开学考试）反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象不是轴对称图形 D．y随x的增大而增大 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知点在反比例函数的图象上，其中为常数，且，则点一定在第 象限．（填“一”，“二”，“三”或“四”） 3．（2024·山东临沂·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图像，如图． 列表： x … … y … … 描点，连线得到函数图像： (2)观察图像并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图像是由函数的图像向__________平移_____个单位长度而得到； ③函数的图像关于点__________成中心对称；（填点的坐标） (3)设、是函数的图像上的两点，且，试求的值． 【易错必刷二十一 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在反比例函数的图像上有两点，.若时， ，则取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖北随州·一模）已知在反比例函数中．当时，y随x的增大而减小，k的取值范围 ． 3．（2024八年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 【易错必刷二十二 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（2024·山西晋城·一模）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·三模）在函数的图象上有两点，当时，，且图象上有三点，则函数值a，b，c的大小关系为 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 【易错必刷二十三 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（2024·重庆九龙坡·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线过原点，与反比例函数图象交两点，轴于点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．    3．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【易错必刷二十四 根据图形面积求比例系数】 1．（2024·江苏扬州·一模）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·甘肃陇南·一模）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为 ． 3．（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【易错必刷二十五 求反比例函数解析式】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知反比例函数的图象经过点，若点在此反比例函数的图象上，则n的值为（    ） A．10 B．7 C．5 D．2 2．（2024·四川广元·二模）如图，已知点，，反比例函数 的图象的一支与线段有交点，则符合条件的k的整数值共有 个． 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图像在第二象限的交点为，轴，垂足为．若，，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，的解集． 【易错必刷二十六 反比例函数与几何综合】 1．（2024·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点．连接，以为边，作正方形，若点B恰好在x轴的正半轴上，且正方形的面积为8，则k的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线经过边的中点D，若，则 ． 3．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的值． 【易错必刷二十七 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，．请根据图象写出不等式的解集 ．    3．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 【易错必刷二十八 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（2024·福建三明·一模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，反比例函数图象交直线于点（点在第四象限），若，则的值为 ． 3．（2024·河南平顶山·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于，两点，连接，． (1)求出一次函数的表达式和的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【易错必刷二十九 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（23-24八年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    3．（23-24八年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【易错必刷三十 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ． 3．（2024·甘肃兰州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 【易错必刷三十一 用反比例函数解决问题】 1．（2024·河南南阳·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器，其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法正确的是（    ） A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越大 B．当时，的阻值为 C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D．当时，燃气报警器为报警状态 2．（2024·贵州·模拟预测）小华给学校劳动实践基地的蔬菜大棚设计一个记录测量空气湿度的电路方案，已知该方案中电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示，则当电阻为时，电流为 ． 3．（2024·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数易错必刷题型专训（93题31个考点） 【易错必刷一 常量与变量】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（    ） 年份 1957 1974 1987 1999 2010 人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿 A．仅有一个，是时间（年份） B．仅有一个，是人口数 C．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份） D．一个也没有 【答案】C 【分析】根据变量的定义直接判断即可． 【详解】解；观察表格，时间在变，人口在变，故正确； 故选：． 【点睛】本题考查了变量的定义，解题关键是明确变量的定义，能够正确判断． 2．（23-24八年级上·全国·假期作业）若长方形的周长为20，其中一边长是，面积是，则与之间的关系式为 ． 【答案】 【解析】略 3．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题： (1)汽车行驶1h后油箱里还有油______L，汽车行驶6h后油箱里还有油______L； (2)这一变化过程中共有______个变量，其中______是变量，______是常量； (3)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； (4)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1)37.5；25 (2)2；油箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量 (3) (4)16小时 【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，属于基础题，关键是掌握函数的基础知识. （1）基本关系：油箱里剩下的油=油箱里原有的油-行驶过程中耗掉的油，据此求解即可； （2）可以取不同的数值的量是变量，数值不变的量是常量，据此判定即可； （3）根据（1）中的基本关系求解即可； （4）当油箱里剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可. 【详解】（1）（L），（L）， 故答案为：37.5；25 （2）这一变化过程中，变量有：油箱里剩下的油量和行驶的时间，共2个，常量有：每小时耗油的油量； 故答案为：2；油箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量 （3）由题意，得： （4）当时，有， 解得： 即这辆汽车最多能行驶16小时. 【易错必刷二 函数的概念】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的概念，正确理解函数的定义并灵活运用是解题的关键． 根据函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．对于任意的x，有唯一的y与之对应，故本选项不符合题意； B．当，有2个值与之对应，故本选项符合题意； C．对于任意的x，有唯一的y与之对应，故本选项不符合题意； D．对于任意的x，有唯一的y与之对应，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是 （填写所有正确的序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了函数的概念．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数， ∴①②③不符合定义，④符合定义， 故答案为：④． 3．（23-24八年级上·山西晋中·期中）周日上午，李颖和骑友响应国家低碳出行的号召，从家出发骑自行车去南山，8点离开家，14点回家．如图表示她离家的距离S(千米)与所用时间t(时)之间的函数图象．根据这个图象回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)李颖第一次休息了多长时间?此时离家多远? (3)直接写出图中点A表示的实际意义． (4)哪个时段李颖骑行的平均速度慢?此时骑行的平均速度是多少? 【答案】(1)时间，距离 (2)休息了30分钟， 这时离家15千米 (3)11: 00到达目的地， 离家30千米 (4)李颖骑行速度慢，此时骑行速度是为每小时10千米 【分析】本题考查了函数的定义，观察函数图象的能力， （1）根据自变量、因变量的定义，即可求解； （2）9：30-10：00休息了30分钟，即可求解； （3）11：00到达目的地，逗留了1个小时，即可求解； （4）由图象可知，8：00—9：30：李颖骑行速度慢，路程除以时间即为平均速度，即可求解． 【详解】（1）解：在这个过程中，自变量是时间，因变量是距离； 故答案为：时间，距离． （2）由图象可知，李颖第一次休息，在9：30−10：00休息了30分钟，这时离家15千米； （3）由图象可知，点A表示的实际意义，李颖11：00到达目的地，离家30千米 （4） 速度为 千米小时 速度为 千米小时 开始返回， 到家 速度为 千米小时 答：：：李颖骑行速度慢，此时骑行速度是为每小时千米. 【易错必刷三 函数解析式】 1．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，树苗每个月增长的高度是， 故该树苗的高度与生长月数之间的函数关系式为， 故选：． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等． 七张桌面分开可组合成不同的图形． 如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）如图，长方形的长，宽，E为上一动点，F为上一定点，连接，设． (1)求三角形的面积y与x的关系式； (2)根据（1）中关系式填写下列表格： 1 2 3 4 5 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能根据题意列出函数关系式． （1）根据三角形面积公式求解即可． （2）由（1）求出的函数关系式求出相应的函数值即可． 【详解】（1）由题意得：， ； （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故填表如下： 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15 【易错必刷四 求自变量的值】 1．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，若输入的值为，则输出的值为（    ）    A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数的函数值，根据流程图可知只需要把代入函数中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）一空水池，现需注满水，水池深．现以不变的流量注水，水的深度与对应的注水时间如下表： 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）能推出注满水的时间是 ． 【答案】 注水时间 水的深度 【分析】（1）根据自变量与因变量的定义判断即可； （2）根据水的深度每小时注水深度注水时间，写出关于的函数关系式，求出当时对应的的值即可． 本题考查函数的表示方法及常量与变量，掌握常量与变量、自变量与因变量的定义是本题的关键． 【详解】解：（1）依题意，自变量是注水时间，因变量是水的深度． 故答案为：注水时间，水的深度； （2）根据表格数据，得， 得， 当时，得， 解得， 注满水的时间是． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： 碗的数量x（个） 1 2 3 4 5 … 高度 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量x（个）之间的关系式； (2)若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是准确熟练地进行计算出增加一个碗的高度． （1）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得； （2）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （2）解：当时，， 解得：， 这摞碗的数量为14个． 【易错必刷五 函数图象识别】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据洗涤衣服时经历的三个阶段洗衣机内的水量的变化情况，分析得到水量与时间的函数图象． 【详解】解：注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多；清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间；排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0；如图所示： 故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 3．（23-24八年级上·河南周口·期中）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：    (1)小红家到舅舅家的路程是________米，小红在商店停留了________分钟． (2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？ (3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？全程平均速度是多少？ 【答案】(1) (2)分钟时速度最快，最快速度为米/分钟 (3)小红一共行驶了米，全程平均速度是米/分钟 【分析】（1）认真观察图象，根据舅舅家和小红家的纵坐标，即可得到小红家到舅舅家的路程，根据图象平行与横轴可知小红在商店停留，即可求得小红在商店停留的时间； （2）根据图象的陡缓判定速度的快慢，根据路程除以时间得速度； （3）认真读图，求得小红行驶的路程和时间，即可求出全程平均速度． 【详解】（1）解：根据图象舅舅家纵坐标为，小红家的纵坐标为0， 故小红家到舅舅家的路程是（米）； 据题意，小红在商店停留的时间为从6分到分，故小红在商店停留了4分钟． 故答案为：； （2）解：根据图象，时，直线最陡， 故小红在分钟速度最快，速度为（米/分）． （3）解：读图可得：小红共行驶了（米），共用了分钟． （米/分钟）． 小红一共行驶了米，全程平均速度是米/分钟． 【点睛】本题考查了通过图象获取信息的能力，解题关键在于认真观察图象，能从图象中获取需要的信息． 【易错必刷六 从函数的图象获取信息】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法其中错误的是（    ） A．甲的速度为40千米／小时 B．3小时甲追上乙 C．行驶1小时乙在甲前10千米 D．乙的平均速度为42.5千米／小时 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项分别求得甲乙的速度即可判断A，D选项，结合图象可得3小时时甲追上乙，行驶1小时时，乙在甲前10千米，即可判断B，C选项，即可求解． 【详解】解：由图象可得：甲的速度为千米小时，故A正确； 小时甲与乙相遇，即小时时甲追上乙，故B正确； 行驶小时时，甲的路程为千米，乙的路程为千米，所以乙在甲前千米，故C正确； 乙的平均速度为千米小时，故D错误； 故选：D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发．在跑步过程中，甲、乙两人的距离与乙出发的时间之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、路程、速度的关系，本题有两个人，速度不同，但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，理解这一句话是关键，利用数形结合解决问题． 首先求出甲乙两人的速度，①是两人相遇的时间，相遇时两人的路程相等，列方程可以得出； ②是甲到达终点的时间，因为此图中的是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论； ③是100秒时，两人的距离为米． 【详解】解：， 甲速为每秒4米， ， 乙速为每秒5米， 由图可知，两人小时相遇，则， ，故①正确； 由图可知：乙100秒到终点， 而甲需要的时间为：秒，所以，故②正确； 当乙100秒到终点时，甲、乙二人的距离为：米， ，故③正确； 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为贯彻落实教育部《教育信息化2.0行动计划》精神，某中学在科创实践类比赛中，开展无人机进行展示活动．已知无人机上升和下降的速度相同，设无人机的离地高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示． 根据图象回答下列问题： (1)无人机上升到最高点停留时间是___________s． (2)在上升或下降过程中，无人机的速度是___________． (3)图中字母a表示的数是________． (4)求当操控无人机飞行的时间是多少时，无人机离地高度恰好为？ 【答案】(1)20 (2)5 (3)48 (4)或 【分析】本题考查图象法表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）从图象获取信息作答即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （3）根据时间等于路程除以速度，进行求解即可； （4）分无人机上升和下降两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，无人机上升到最高点停留时间是； 故答案为：20； （2）； 故答案为：5； （3）； 故答案为：48； （4）由图象可知：当或时，无人机离地高度恰好为； 答：当操控无人机飞行的时间是或时，无人机离地高度恰好为． 【易错必刷七 用描点法画函数图象】 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 2．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 【答案】 【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵， ∴，即该函数自变量的取值范围为x≠0， 当时，， ∴点（1，0）在该函数图象上． 故答案为：（1，0）． 【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点是否在函数图象上的方法是：将点的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图像，再结合函数图像研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究． (1)请根据下表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像： 0 1 2 3 4 5 6 8 0 4 4 0 8 (2)观察图像，研究性质： ①该函数图像关于________对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是________； ③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：________； (3)深入思考，拓展探究： ④若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是________； ⑤不难发现，函数的图像可通过将函数图像的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图像可通过将函数在_____上的图像（填“具体哪一部分”）沿着______（填“具体哪条直线”）翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）． 【答案】(1)图见详解 (2)①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为； (3)④；⑤轴下方，轴 【分析】本题考查了函数的应用，掌握函数的研究方法是解题关键． （1）描点连线即可完成作图； （2）根据图像即可确定函数的性质； （3）作出直线，通过上下平移即可确定函数的图像与直线有4个交点的情况，即可求解；结合的图像即可确定一般规律； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图象可知： ①该函数图像关于直线对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是或； ③当或时，该函数有最小值，且最小值为； 故答案为：①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为； （3）解：由图象可知： ④由表格数据可知：当时，； 若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是：； ⑤函数的图像可通过将函数在轴下方的图像沿着轴 翻折得到， 故答案为：④；⑤轴下方，轴 【易错必刷八 动点问题的函数图象】 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点函数图象．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从P，Q两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B，故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源监测点为 ． 【答案】点 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意，可以得到各个监测点监测时，随的变化而如何变化，从而可以根据函数图象得解．解题的关键是明确各个监测点监测点时，是如何变化的． 【详解】解：由题意和图象，可得 由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大，然后再减小； 故答案为：点 3．（23-24八年级上·陕西西安·期中）动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒． (1)______，______，______； (2)当三角形的面积为时，求点的运动时间的值． 【答案】(1)，14，10 (2)点的运动时间为或． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 【易错必刷九 函数的三种表示方法】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，在一个变化的过程中，固定不变的量为常量，变化的量为变量，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，单价是固定不变的，金额随着油量的变化而变化； 故金额和油量为变量； 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）判断下面各题中的两个变量成反比例关系的是 ． ①付琦老师把长为100米的绳子剪下m米后，还剩下n米； ②熊婷老师买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； ③马丽珠老师的家到学校的距离为480米，步行上班的平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了变量之间的关系，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． 分别根据题意列出对应的函数关系式，再根据变量之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：①长为的绳子剪下m米后，还剩下n米，则，这不是反比例关系，不符合题意； ②买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元，则，这是正比例关系，不符合题意； ③家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟，则，这是反比例关系，符合题意． 故答案为：③． 3．（23-24八年级上·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 【易错必刷十 正比例函数的图象和性质】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）在探究“重力的大小与质量的关系”实验中，下列选项能反映物体重力G与质量m的函数关系大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数．由题意得到重力G与质量m是正比例函数关系，即可判断． 【详解】解：由题意得重力G与质量m的函数关系是正比例函数关系，且图象过原点， 故选项A符合题意， 故选：A． 2．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知正比例函数的图象过点，则该函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵正比例函数的图象过点 ， 解得：， ∴该函数的解析式为； 故答案为： 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【答案】(1) (2)小张购买这张消费卡实际花费元 【分析】本题主要考查正比例函数的应用， （1）依据题意，设解析式为，把代入，计算即可得解； （2）依据题意，结合（）令时，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设解析式为，把代入得： ． ． 所求函数关系式为． （2）由题意，结合（1）， 令时，． 小张购买这张消费卡实际花费元． 【易错必刷十一 用反比例函数描述数量关系】 1．（2024·浙江金华·一模）在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（    ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数，理解题意，得出因变量与自变量的关系是解答的关键．由表格发现，进而可求解． 【详解】解：由表格知，，即， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 【易错必刷十二 根据定义判断是否是反比例函数】 1．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中，y关于x的反比例函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件．根据反比例函数的一般式是对各个选项进行判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有表示是的反比例函数． 故选：D． 2．（2024八年级上·广西·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）． (1)求y关于x的函数表达式这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数． (2)求当时，函数y的值，并说明这个值的实际意义． (3)利用y关于x的函数表达式，说明当动臂长扩大到原来的倍时，所需动力将怎样变化？ 【答案】(1)函数的表达式为，这个函数是反比例函数，比例系数是5000 (2)这个函数值的实际意义是，当动力臂长为时，所需动力为 (3)当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力缩小到原来的 【分析】（1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂可进行求解； （2）把代入（1）中函数关系式可进行求解； （3）设原来的动力臂长为，动力为；扩大后的动力臂长为，动力为，进而代入函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 所以所求函数的表达式为． 这个函数是反比例函数，比例系数是5000． （2）解：当时， ． 这个函数值的实际意义是，当动力臂长为时，所需动力为． （3）解：设原来的动力臂长为，动力为；扩大后的动力臂长为，动力为． 将分别代入， 得． ∴． 所以当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力缩小到原来的． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键． 【易错必刷十三 根据反比例函数的定义求参数】 1．（23-24八年级上·全国·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．本题根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，而时，有，则，然后解不等式即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， 当时，有， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·开学考试）已知函数为反比例函数，则的值为 （填具体数值）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义可得且，求解即可． 【详解】解：函数为反比例函数， 故， 即， 解得，， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，负整数指数幂，解一元一次不等式，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数可变形为为常数，是解题的关键． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)1 (2) (3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入表达式计算即可得到答案； （2）根据在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，得到不等式并解不等式即可得到答案； （3）根据反比例函数表达式代入横坐标，判断纵坐标是否相等即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在这个反比例函数的图象上， ， 解得． （2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大， 则， 解得． （3）若，则， 而， 点在这个函数的图象上， 点不在这个函数的图象上． 【易错必刷十四 求反比例函数值】 1．（2024·北京·模拟预测）对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（    ） A． B．函数的最大值为1，最小值为0 C．函数不存在对称轴 D．随着的增大，函数和函数越来越接近 【答案】B 【分析】本题考查了函数的函数值问题，解题的关键是理解的含义，通过取特殊值法来进行判断． 【详解】解：A．正确，不符合题意； B．函数没有最大值，最小值为0，故表述错误，符合题意； C．当时，，当时，，故函数不存在对称轴，正确，不符合题意； D．随着的增大，函数和函数的函数值越来越接近0，正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． x 10 ？ y 3 5 【答案】6 【分析】本题考查了求反比例关系的关系式及相应x值，准确求得反比例的关系式是解决本题的关键． 设x和y成反比例关系式为，把，代入解析式，即可求得关系式，再把代入即可求得． 【详解】解：设x和y的反比例关系式为， 把，代入关系式，得， 所以，x和y的关系式为， 把代入关系式，得， 解得， 故“？”处应填6， 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当时，求二氧化碳密度ρ的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）把代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的值． 【详解】（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，． ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； （2）解：把代入得： ， 当时，求二氧化碳密度ρ的值为． 【易错必刷十五 由反比例函数值求自变量】 1．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】找到纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值即可． 本题考查的是给定函数的取值范围确定自变量的取值，可直接由函数图象得出． 【详解】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为； 在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为． 故选：C． 2．（2024·四川眉山·模拟预测）函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的性质，先代入已知数据求出是求解的关键．先把“当时，”代入函数解析式，求出值，再根据反比例函数图象的性质代入函数值的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：当时，， ， 函数解析式为，在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 解得． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． (1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； (2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，可得出与l的 数关系式； （2）将代入可求出即可． 【详解】（1）解：，则； （2）解：当时，，则． 【易错必刷十六 判断反比例函数图象】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的图象性质进行判断解答即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 【答案】 C B D A 【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∴，故的图象为C； ②∵，即， ∴， ∴的图象为B； ③∵，即， ∴，即， ∴的图象为D； ④的图象为A； 故答案为：C；B；D；A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 【易错必刷十七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性．掌握反比例函数的图象关于原点成中心对称是解本题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形， ∴反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选A． 2．（2024·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B、D在轴上． 已知点、． (1)直接写出点C、D的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长； (4)求平行四边形ABCD的面积S． 【答案】(1)C(3，-2)；D（5，0） (2) (3)； (4) 【分析】（1）由题意，点A、C，点B、D关于原点对称，即可得出答案； （2）直接将点代入反比例函数，即可求出解析式； （3）直接根据B、D的坐标得到BD的长，过点A作AE⊥x轴于E，有勾股定理可求出OA的长，即可得出AC的长； （4）由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意点A、C，点B、D关于原点对称，且、， ∴C(3，-2)；D（5，0）． （2）∵反比例函数图象经过点（-3，2）， ∴ 反比例函数的解析式为． （3）； 过点A作AE⊥x轴于E，在Rt△AEO中， ， ∴． （4）． 【点睛】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键． 【易错必刷十八 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．先根据反比例函数的图象有一支在第四象限判断出的符号，再由一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象有一支在第四象限， ， ， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点在正比例函数的图象上， 点在第一象限． 故选：A． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中存在线段，已知端点，，若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点，写任意出一个符合条件的的整数值： ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．把点，代入即可得到k的值，从而得结论． 【详解】若反比例函数经过，则， 若反比例函数经过，则 ∴若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点， 则 ∴ 故答案为：4（答案不唯一）． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； （2）把点代入函数关系式，求出m的值即可． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象的一个分支在第二象限，由反比例函数的性质可知， ， 得； （2）解：把代入得到： ， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 【易错必刷十九 判断反比例函数的增减性】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，反比例函数（k是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．该函数图象经过点 C．当时，y随x的增大而减小 D．当， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴，故该选项不符合题意； B、当时，，则该函数图象经过点，故该选项不符合题意； C、根据函数图象可得，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D、根据函数图象可得，当，，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2024八年级上·河南·学业考试）如图，已知反比例函数的图象经过点， 那么当时， x的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的性质，根据图象法确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵图象经过点， ∴当时，； 故答案为：． 3．．（23-24八年级上·河南鹤壁·期中）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … a －3 0 3 b … (1)______；______；并在图中补全该函数图象； (2)根据函数图象，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） (3)兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图象，结合你所画的函数图象完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)，1.8，图见解析 (2)② (3)图见解析；①三；②，或 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键. (1)将 ，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象； (2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断； (3)根据图象求得即可. 【详解】（1）解：当 时，； 当 时， ； ； 故答案为：，1.8； 画出函数的图象如图： （2）根据函数图象： ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴； 说法错误 ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值； 当 时，函数取得最小值说法正确； 故答案为: ②. （3）)由图象可知： ①方程 有三个解； ②不等式 的解集为或 故答案为：三， 或 【易错必刷二十 判断反比例函数图象所在象限】 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·开学考试）反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象不是轴对称图形 D．y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】此题考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键． 通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由点的坐标满足反比例函数，故A错误； 由，双曲线位于二、四象限，故B正确； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于直线和对称，故C错误； 由反比例函数的性质，，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D错误． 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知点在反比例函数的图象上，其中为常数，且，则点一定在第 象限．（填“一”，“二”，“三”或“四”） 【答案】一 【分析】本题考查了反比例函数的性质，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第一、三象限， 故点M可能在第一象限或者第三象限， 的横坐标大于0， 一定在第一象限， 故答案为：一． 3．（2024·山东临沂·一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图像，如图． 列表： x … … y … … 描点，连线得到函数图像： (2)观察图像并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x增大而__________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图像是由函数的图像向__________平移_____个单位长度而得到； ③函数的图像关于点__________成中心对称；（填点的坐标） (3)设、是函数的图像上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①减小；②下，1；③ ； (3)． 【分析】（1）列表、描点，用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图像进行解答即可； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：列表： x … 1 2 3 4 … y … 3 1 0 … 描点、连线，如图： （2）解：由图像知， ①当时，y随x增大而减小； ②， ∴函数的图像是由函数的图像向下平移1个单位长度而得到； ③∵的图像关于原点对称， ∴的图像关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把、代入函数得： ，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的图像的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图像，根据图像得到函数的性质是解题的关键． 【易错必刷二十一 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在反比例函数的图像上有两点，.若时， ，则取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质，当时，在图象的每一支上随的增大而增大．根据题意可得在图象的每一支上随的增大而增大，因此，即可解得． 【详解】解：在反比例函数的图象上有两点，，，．若时，， ， ， 故选：D． 2．（2024·湖北随州·一模）已知在反比例函数中．当时，y随x的增大而减小，k的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据当时，y随x的增大而减小，得到，解不等式，即可求解， 本题考查了，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质． 【详解】解：∵在反比例函数，时，y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)1 (2) (3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入表达式计算即可得到答案； （2）根据在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，得到不等式并解不等式即可得到答案； （3）根据反比例函数表达式代入横坐标，判断纵坐标是否相等即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在这个反比例函数的图象上， ， 解得． （2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大， 则， 解得． （3）若，则， 而， 点在这个函数的图象上， 点不在这个函数的图象上． 【易错必刷二十二 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（2024·山西晋城·一模）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先判断出函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，判断出，，的大小关系，即可获得答案． 【详解】解：∵对于反比例函数， ∴该函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大， ∵， ∴，， ∴． 故选：A． 2．（2024·陕西西安·三模）在函数的图象上有两点，当时，，且图象上有三点，则函数值a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据当时，可知在每个象限内，y随x增大而增大，则反比例函数图象经过第二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵当，， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∴，即反比例函数图象经过第二、四象限， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式； （2）根据反比例函数的增减性即可； 此题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数图象经过， ∴， ∴； （2）由（1）得：，反比例函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∴反比例函数图象上两点，，， ∴． 【易错必刷二十三 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（2024·重庆九龙坡·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线过原点，与反比例函数图象交两点，轴于点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数的对称性和反比例函数系数的几何意义，可求出，再根据的值求面积即可． 【详解】解：由对称性可知，， ， 轴，， ， ． 故答案为． 2．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，根据轴可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵轴 ∴ 故答案为：． 3．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2)的面积是2 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 【易错必刷二十四 根据图形面积求比例系数】 1．（2024·江苏扬州·一模）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，作轴，设点D的坐标为，表示，，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，，最后根据矩形的面积是得出答案． 【详解】过点D作轴，交x轴于点E，设点D的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵矩形的面积是， ∴， 解得． 故选：B． 2．（2024·甘肃陇南·一模）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为5，得出，由此解出k即可． 【详解】如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 点A、B在第一象限， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 阴影部分的面积为5， ， ， 解得：． 故答案为：7． 3．（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 【易错必刷二十五 求反比例函数解析式】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知反比例函数的图象经过点，若点在此反比例函数的图象上，则n的值为（    ） A．10 B．7 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式是解决问题的关键；将点的坐标代入反比例函数关系式，求出k，再把代入反比例函数的解析式求解即可； 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为：， 将点代入可得，． 故选：． 2．（2024·四川广元·二模）如图，已知点，，反比例函数 的图象的一支与线段有交点，则符合条件的k的整数值共有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．把点，代入即可得到的值，从而得结论． 【详解】解：由图可知：， ∵反比例函数的图象与线段有交点，且点，， ∴把代入得，， 把代得，， ∴满足条件的值的范围是， ∴满足条件的k的整数值为3，4，5，6，7，8，9，共7个， 故答案为：7． 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图像在第二象限的交点为，轴，垂足为．若，，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是掌握反比例函数、一次函数的图象和性质，即可． （1）根据，求出点的坐标；再根据，求出点的坐标，把、两点的坐标代入一次函数；根据，轴，点在一次函数的图象上，求出点的坐标，把点代入反比例函数，即可； （2）根据，则一次函数的图象在反比例函数的图象上，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴点， ∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵， ∴点， ∵轴，垂足为， ∴点的横坐标为：， ∴， ∴点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）∵当一次函数的图象在反比例函数的图象时，， ∴当时，， 当时，的解集为：． 【易错必刷二十六 反比例函数与几何综合】 1．（2024·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点．连接，以为边，作正方形，若点B恰好在x轴的正半轴上，且正方形的面积为8，则k的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，三角形的面积公式，过点作轴于，根据正方形的性质得到，，求得，推出，设，于是得到结论．掌握求解的方法是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线经过边的中点D，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的特征， 过点A作于E，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求得，即可得出点A和点C的坐标，再根据中点坐标公式即可求出点是D的坐标，从而可得结论， 【详解】解：如图，过点A作于E， ∵等腰直角三角形的斜边轴于点B， ∴， ∴， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得到答案． （2）首先表示出两点的坐标，进而利用反比例函数图像上的性质求出点坐标，然后利用勾股定理可求得的长． 【详解】（1）解：（1）作，垂足为， ，， ． 在中，，， ， ， 点的坐标为：， 反比例函数的图象经过点， ， （2）（2）设点的坐标为， ，， ， ，两点的坐标分别为：，． 点，都在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为：， ． 【易错必刷二十七 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与轴的交点与一次函数的常数项相关．根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】解：当时， 一次函数经过一、二、三象限， 反比例函数的的图象在一、三象限，故C选项的图象符合要求； 当时， 一次函数经过二、三、四象限， 反比例函数的的图象在二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，．请根据图象写出不等式的解集 ．    【答案】和 【分析】从函数图象看，当和时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，从而求解． 【详解】解：从函数图象看，当和时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为和． 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据图象所给条件应用反比例函数与一次函数的交点问题进行求解是解决本题的关键． 3．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 【答案】(1)，反比例函数的关系式为 (2) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数、反比例函数交点坐标的计算方法是正确解答的前提． （1）根据一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征确定点的坐标，进而确定反比例函数关系式； （2）根据图象以及两个函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与过点， ， 即， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 答：，反比例函数的关系式为； （2）由于点，即， 当，反比例函数中的值取值范围为． 【易错必刷二十八 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（2024·福建三明·一模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正、反比例函数的对称性结合一个交点的坐标找出另一交点的坐标是解题的关键．由正比例和反比例函数的对称性结合一个交点的坐标即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为 ∴另一个交点坐标为． 故选：A． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，反比例函数图象交直线于点（点在第四象限），若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题．由题意设，利用勾股定理得到，解得，即可求得，代入 即可求得的值． 【详解】解：由题意设， ， ， （负数舍去）， ， ． 故答案为：． 3．（2024·河南平顶山·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于，两点，连接，． (1)求出一次函数的表达式和的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，6 (2)点P的坐标为或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积等知识． （1）把点，代入一次函求出k、b的值即可得出函数解析式，利用待定系数法即可得出m的值； （2）先求出的面积，设，再根据三角形的面积公式求得， 【详解】（1）解：点，在一次函数的图象上， ∴， 解得： ∴一次函数的解析式为 点在反比例函数的图象上， ∴． （2）由直线可知， ∴， ∵， ∴， 设， ∵ ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为或 【易错必刷二十九 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（23-24八年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 2．（2024·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 3．（23-24八年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 【易错必刷三十 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．一次函数落在与反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】 解：∵一次函数(k，b是常数，且) 与反比例函数 (c是常数，且) 的图象相交于，两点， ∴不等式的解集是或． 故选C． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】求出平移后的反比例函数的图象与直线的两个交点坐标，再根据图象求解即可． 【详解】解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B， 令， 解得：， ∴，， 观察图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点． 3．（2024·甘肃兰州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，两点之间的距离公式． （1）用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式即可； （2）先求出点C的坐标，，再求出一次函数与x轴的交点B的坐标，利用两点之间的距离就出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和反比例函数都过点点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数的解析式为∶， 反比例函数的解析式为：． （2）∵，， ∴， ∴， 另，解得：， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷三十一 用反比例函数解决问题】 1．（2024·河南南阳·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器，其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法正确的是（    ） A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越大 B．当时，的阻值为 C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D．当时，燃气报警器为报警状态 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，数形结合是解题的关键．根据题意结合函数图象，类比反比例函数图像，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：A、由图2可知，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的增大而减小， 空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小，故A错误，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值小于，故B错误，不符合题意； C、由图3可知，时，燃气报警器为报警状态， 当空气中一氧化碳体积浓度大于时，燃气报警器为报警状态，故C正确，符合题意； D、由图2可知，时，，而时，燃气报警器报警，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·贵州·模拟预测）小华给学校劳动实践基地的蔬菜大棚设计一个记录测量空气湿度的电路方案，已知该方案中电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示，则当电阻为时，电流为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的图像和性质，根据函数图像，求出反比例函数的解析式，在把电阻为代入，即可 【详解】设反比例函数的解析式为：， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，， ∴当电阻为时，电流为． 故答案为：． 3．（2024·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】（1）；（2）第二天早上不能驾车出行，见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析． （1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出，从而得出，再求出反比例函数解析式即可； （2）求出当时，，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）依题意，设的解析式为，将点代入得：， 解得：， ， 当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ； （2）由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为13小时， ， 第二天早上不能驾车出行． 学科网（北京）股份有限公司 $$