专题05 反比例函数72道压轴题型专训（12大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题05 反比例函数72道压轴题型专训（12大题型） 题型一 求自变量的值或函数值 题型二 动点问题的函数图象 题型三 正比例函数的图象和性质 题型四 反比例函数 题型五 函数的三种表示法 最后4解答 题型六 反比例函数的增减性 题型七 已知比例系数求特殊图形的面积 题型八 反比例函数与几何综合 题型九 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十 一次函数与反比例函数的实际应用 题型十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型十二 用反比例函数解决问题 【经典例题一 求自变量的值或函数值】 1．（24-25八年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系．由当时，函数值为，可得到，再代入当时的函数值中，即可求解． 【详解】解：函数，当时，函数值为， ， 整理可得：， 当时，， ，为整数， 一定为奇数， 函数值不可能是， 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，求函数值，读懂题意是解题的关键．由可求得的值，从而得到，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．（23-24八年级上·吉林·开学考试）如图，小明利用装了部分水的量筒和一些体积相同的小球进行了如下实验，请根据图中提供的信息，解答下列问题（单位：）： (1)若放入1个小球，量筒中水面升高______，若放入6个小球，量筒中水面的高度为______； (2)用小球的个数表示量筒中水面的高度______； (3)在图1的量筒中放入几个小球时，水面刚好到达量筒口？ 【答案】(1)3，38 (2) (3)在图1的量筒中放入10个小球时，水面刚好到达量筒口 【分析】本题考查利用函数关系式表示变量之间的关系： （1）根据题意，列出算式进行求解即可； （2）根据每放入1个小球，水面升高，即可得出关系式； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：3，38； （2）由（1）知：每放入1个小球，水面升高， ∴； 故答案为：； （3）当时，，解得：； 故在图1的量筒中放入10个小球时，水面刚好到达量筒口． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记（其中，） x … 1 100 10000 … y … a 1 10 b … 则__________，__________． （2）根据（1）中的对应关系f，填空： 若，则__________． 若，则． 【答案】（1），100；（2） 【分析】本题主要考查了函数的概念、算术平方根等知识点，理解函数的概念以及算术平方根的规律是解题的关键． （1）自变量x的小数点向右或向左每移动2位，因变量y向相应的方向仅移动一位，据此解答即可； （2）利用（1）的结论进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：，即， ∴， ∴． 故答案为：，100． （2）由（1）可得：若，则； 若，则． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查了求函数关系式和函数求值． （1）利用按甲方案所需总费用购买门票的费用杨梅的原价采摘量，可求出关于的函数表达式；利用按乙方案当采摘量千克时，所需总费用杨梅的原价杨梅的原价超过10千克的部分，可求出关于的函数表达式； （2）代入，求出、的值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意得：， 即； ， 即； （2）解：选择乙方案更划算，理由如下： 当时，， ． ， 选择乙方案更划算． 6．（2024·北京房山·二模）小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值． 其中的值为______； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)4 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围； （2）把代入则可求出的值； （3）①根据描点，连线画出函数图象；②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：4； （3）（3）①描点，连线得， ②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点， 故答案为：． 【经典例题二 动点问题的函数图象】 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值． 【详解】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合，，， ∵，点D为的中点， ∴当时，， 此时函数有最大值，则y 的最大值为3， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题的关键．将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，，即， 的面积，解得： ∴， 时,点P运动至点E，即 ∴， 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中，则______；当______时，的面积是． 【答案】10；2.5或7.5 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键． 根据函数图象结合题意分析，分别求得，，的长，进而根据路程除以速度等于时间得出的值，根据的面积是，得出点的位置，进而即可求解． 【详解】解：依题意，当从运动时，增大，则， 当从运动时，不变，根据函数图象可得， 当从运动时，减小，结合函数图象可得， ， ， ； ， ，的面积是； 点在上或上，到的距离为， ，则， 或， ． 4．（23-24八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒1的速度沿折线运动，到点D时停止运动．设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积时，自变量x的取值范围为_____________________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数图象与性质，利用分类讨论解决问题是解题的关键： （1）分两种情况讨论，由三角形面积公式可求解； （2）由图象可直接求解； （3）分两种情况讨论，列出不等式可求解 【详解】（1）解：当点E在上时，， 当点E在上时，， 综上所述，； 先画出线段的图象： 当时；当时；当时； 描点，连线，所作图形如图： ； （2）解：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）解：当点E在上时，即时，， 解得，； 当点E在上时，即时，， 解得： 综上，的面积时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或 5．（23-24八年级上·广东茂名·期中）已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 【答案】(1)；； (2)的值为，的值为 (3)； 【分析】本题考查动点问题的函数图像，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图像信息． （1）因为点速度为，所以根据图2的时间可以求出线段，和的长度； （2）由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （3）先用表示出点到的水平距离，再根据三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 故答案为：；；． （2）解：根据题意得：， ， ． ∴图2中的值为，的值为． （3）解：由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即， 由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即． ∴点在线段上运动时与的关系式为，点在线段上运动时与的关系式为． 6．（23-24八年级上·重庆·期末）如图1，在矩形中，，，动点E从点A出发以每秒3个单位的速度沿折线运动；动点F从点B出发以每秒2个单位的速度从点B运动到点A，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，四边形面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的值：_____．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)当时，y随x的增大而增大，图见解析 (3)， 【分析】本题考查动点函数图象，（1）分类讨论：当点E在上时，；当点E在上，，分别求解即可； （2）利用描点法作图，再根据图象写出函数的性质即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：当点E在上时，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当点E在上，， ∴，， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：如图，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：由图象可得，当时，，， 故答案为：，． 【经典例题三 正比例函数的图象和性质】 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（　　） A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y2＜0＜y1 D．y1＜y2＜0 【答案】C 【分析】根据正比例函数的性质即可判断． 【详解】∵k＜0， ∴函数y随x的增大而减小， ∵﹣1＜0＜4， ∴y2＜0＜y1， 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 2．（2024·山东济南·一模）如图，，，，…，都是直角三角形，直角顶点A1，A2，…，An在x轴上，且，，…，，点B1，B2，…，Bn在直线上，已知点A1坐标为（1，0），则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 首先根据规律得出OA1=1，OA2=2，OA3=4，OA4=8，所以可得OAn=2n−1，再根据点Bn在直线上，进而解答即可． 【详解】 解：，，，…，， ∴OA2=2，OA3=4，OA4=8，由此得出OAn=2n−1， ∴OA2024=22024， ∴点的坐标为， 点B1，B2，…，Bn在直线上，是直角三角形， 点的横坐标x=22024，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为： 【点睛】 此题考查了坐标规律的探究，点在直线上的坐标特征，关键是根据规律得出OAn=2n−1进行解答． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式． 【答案】y=x． 【分析】把P点坐标代入正比例函数y=kx中，即可得到k的值，进而得到正比例函数的解析式． 【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点P（2，3） ∴3=2k， 解得k=， ∴正比例函数的解析式为：y=x． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 4．（23-24八年级上·陕西安康·期末）已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图像上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】（1）把点代入正比例函数中，可得，进而确定的值； （2）由（1）得，，再把代入得，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图像上， ∴，解得； ∴． （2）解：由（1）知：， 当时，， ∴点不在这个函数的图像上． 【点睛】本题主要考查的是一次函数中的正比例函数的性质，利用待定系数法求解正比例函数的解析式是解题的关键． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知正比例函数的图象过点，求： (1)求正比例函数关系式； (2)画出正比例函数的图象； (3)当自变量x满足时，直接写出对应函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可； （2）先列表描点，再连线即可； （3）分别求解当时，；当时，；从而可得答案． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴正比例函数为； （2）列表： 0 0 描点连线：    （3）当时，； 当时，； 当自变量x满足时，对应函数值y的取值范围为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键． 6．（23-24八年级上·广东东莞·期末）水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量如下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 25 50 75 100 … (1)请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点； (2)根据（1）中各点的分布规律，求出关于的函数解析式； (3)请估算这种漏水状态下一天的漏水量． 【答案】(1)详解解析 (2) (3) 【分析】（1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点即可； （2）由点的分布可得是关于的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）根据（1）中各点的分布规律，可知是关于的正比例函数， 设关于的函数解析式是（）， 当时，， ∴，则， ∴关于的函数解析式是； （3）由（2）可知，在这种状态下一天的漏水量， 答：这种漏水状态下一天的漏水量大约是． 【点睛】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． 【经典例题四 反比例函数】 1．（2024·湖北恩施·一模）如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 【答案】A 【分析】根据功率判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴A选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键． 2．（13-14八年级上·全国·课后作业）下列函数中 是反比例函数． ①，②，③，④． 【答案】④ 【分析】根据反比例函数的定义，可得答案． 【详解】①不是比例函数，故错误； ②不符合反比例函数的定义，故错误； ③是一次函数，故错误； ④是反比例函数，故正确； 故答案为④ 【点睛】考查反比例函数的定义，是反比例函数. 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个反比例函数关系式； (2)若此反比例函数图象过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数关系式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）设这个反比例函数关系式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）将点代入（1）中反比例函数关系式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设这个反比例函数关系式为， 当时，， ， 故这个反比例函数关系式为； （2）解：反比例函数图象过点， ． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴将代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点在这个函数图像上， ∴把代入得， 解得：或， ∴的值为或． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 (1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； (2)根据函数关系式完成上表． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据矩形的面积公式设出关系式，再把点代入求解析式即可； （2）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得，， ∴； （2）解：把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 把代入得，， 完成表格如下： 6．（2024八年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意． （1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x． 【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 【经典例题五 函数的三种表示法】 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案． 【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加， ， 即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)，；或． 【分析】（）根据反比例函数的性质可得，据此即可求解； （）把代入反比例函数解析式求出，即可得到反比例函数解析式，再把代入所得解析式即可求出；求出时的值，再结合反比例函数的性质即可解答； 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，； 由得反比例函数解析式为，当时，， ∵， ∴在每一象限内，随增大而增大， ∴当时，的取值范围为或． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】(1) (2)气体的体积应不小于 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【详解】（1）解：设，由题意知 ，即； （2）当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 5．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： x … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 2 1.5 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (2)①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；它的另一个性质是 ． ②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）．求的值． 【答案】(1)图见解析； (2)①当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；②的值为6． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象； （2）①根据轴对称图形的定义即可判断是轴对称图形，根据图象即可得到函数的性质； ②求出的长(用n表示)即可解决问题． 本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象． 【详解】（1）解：根据表格描点，函数图象如图所示： （2）解：①观察图象可知图象是轴对称图形，对称轴 它的另一个性质是：当时， y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故答案为：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； ②由题意， 故答案为：6． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·阶段练习）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)函数列表如下，其中 ， ； … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (4)直接写出当时，自变量的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)2， (3)画图见解析，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (4)或 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，求函数值，画函数图象，反比例函数性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据分母不为零，即可求解； （2）根据函数解析式及自变量的值，即可求得对应的函数值； （3）根据（2）的列表，描点、连线即可得到函数图象，根据图象即可写出一条性质； （4）求出当时的自变量值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 即； 故答案为：； （2）解：当时，；当时，； 故答案为：； （3）解：描点，连线画出该函数的图象如图所示： 观察图象，可知：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （4）解：当时，即， ∴， 观察图象知，当时，或； 故答案为：或． 【经典例题六 反比例函数的增减性】 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）点双曲线上，若，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．根据的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，图象在第一象限内，y随着x的增大而减小，且；当时，图象在第三象限内，y随着x的增大而减小，且， ∵ ∴ 则， 故选：C. 故选：B． 2．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限， ∴，， 又∵反比例函数随的增大减小的更快， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴． 3．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，正比例函数y＝kx(k>0)与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于多少？    【答案】4 【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA=S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可． 【详解】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即S=|k|． 所以△ABC的面积等于2×|k|=|k|=4． 【点睛】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A，C的坐标分别是(2，4)，(3，0)，过点A的反比例函数的图象交BC于点D，连接AD．求△ABD的面积．    【答案】△ABD的面积为3. 【分析】先根据平行四边形的性质求出B点坐标，进而可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线BC的解析式，求出D点坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCO是平行四边形，点A，C的坐标分别是(2，4)，(3，0)， ∴B(5，4)， ∵点A在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝， 设直线BC的表达式为y＝ax＋b(a≠0)， 把点B(5，4)，C(3，0)代入，得， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝2x-6， 解方程组， 解得或 (舍去)． ∴D(4，2)， ∴S△ABD＝×(5-2)×(4-2)＝3． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据题意得出D点坐标是解答此题的关键． 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知反比例函数y＝图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC，AB． (1)求反比例函数的解析式； (2)若△ABC的面积为7，求B点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得； （2）作AD⊥BC于D，则D（2，b），即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值． 【详解】（1）由题意得，k＝xy＝2×3＝6 ∴反比例函数的解析式为：． （2）设B点坐标为（a，b），如图， 作AD⊥BC于D，则D（2，b）， ∵反比例函数的图象经过点B（a，b） ∴ ∴． ∴， 解得a＝ ， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点P是反比例函数图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数（且）的图象于E，F两点，连接． （1）四边形的面积 （用含的式子表示）； （2）设P点坐标为． ①点E的坐标是( ， )，点F的坐标是( ， )（用含的式子表示）； ②若的面积为，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）k1-k2；（2）①2，；，3；② 【分析】（1）根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可解答； （2）①根据PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，分别把P点的横纵坐标代入反比例函数y=即可求出E、F两点的坐标； ②先根据P点的坐标求出k1的值，再由E、F两点的坐标用k2表示出PE、PF的长，再用k2表示出△PEF的面积，把（1）的结论代入求解即可． 【详解】解：（1）∵P是点P是反比例函数y= （k1＞0，x＞0）图象上一动点， ∴S矩形PBOA=k1， ∵E、F分别是反比例函数y=（k2＜0且|k2|＜k1）的图象上两点， ∴S△OBF=S△AOE=|k2|， ∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|， ∵k2＜0， ∴四边形PEOF的面积S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|=k1-k2． 故答案为：k1-k2； （2）①∵PE⊥x轴，PF⊥y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同， ∴E、F两点的坐标分别为E(2，)，F(，3)； 故答案为：2，；，3； ②∵P(2，3)在函数y=的图象上， ∴k1=6， ∵E、F两点的坐标分别为E(2，)，F(，3)； ∴PE=3-，PF=2-， ∴S△PEF=， ∴S△OEF=， ∴， ∵k2＜0， ∴k2=-9． ∴反比例函数y=的解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的面积公式、两点间的距离公式，涉及面较广，难度较大． 【经典例题七 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 2．（2024·河南南阳·三模）如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作轴于点B，点Q是x轴上任意一点，连接，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，连接，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握值的几何意义是关键． 【详解】解：如图，连接， 过点A作轴于点B， 轴， ， 故答案为：4．    3．（23-24八年级上·江苏南京·自主招生）如图，反比例函数与矩形的边交于P、Q两点，与对角线交于点D，其中A、C在坐标轴上，，若的面积为4，求k的值．    【答案】1 【分析】该题主要考查了反比例函数几何意义运用，解题的关键是表示出． 由题意得，，设D坐标，则B坐标，得出，即可得面积为，面积为，得出，即可求解； 【详解】解：由题意得，， 设D坐标，则B坐标， ∵点D在反比例函数图像上， ∴， 则矩形面积为，面积为， ∵P在反比例函数图像上， ∴面积为， ∴， ∴， ∴． 4．（2024·贵州安顺·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，轴于点，且．    (1)求反比例函数的解析式； (2)说明点是否在反比例函数的图象上，若在坐标系中有一点，求的面积． 【答案】(1) (2)点在反比例函数的图象上，的面积为5 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和其几何意义， 根据已知的点坐标和三角形的面积即可求的k值； 采用代入法即可求得点C是否在反比例函数上，结合点得位置即可求得，和点A到线段的距离，即可求得面积． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 解得：， 则反比例函数的解析式； （2）解：∵点， ∴当时，， 则点在反比例函数的图象上， ∵点和点， ∴线段轴，， ∵点A到线段的距离为2， ∴的面积， 即的面积为5． 5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B．若矩形的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）判断：点______ “美好点”， ______ “美好点”；（选填“是”或“不是”） 【深入探究】 （2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点是“美好点”．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 【拓展延伸】 （3）对于任意一个“美好点”，代数式是否为定值?如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，是；（2）；（3）是定值， 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键． （1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积； （2）根据点是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式； （3）将（2）中的关系式代入得出定值，从而得解． 【详解】解：（1）∵， ∴点不是“美好点”， ∵， ∴点不是“美好点”， 故答案为：不是，是 （2）∵点是“美好点”． ∴， ∴， 化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为：； （3）对于任意一个“美好点”，代数式为定值． ∵， ∴， ∴对于任意一个“美好点”，代数式为定值．定值为． 6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，式子的最小值为______（直接写出答案）； 若，有最小值，最小值为______； 若，当______时，有最______值； (2)如图1，用篱笆围一个面积为平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ (3)如图2，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，，，大 (2)长为米，宽为米，所有篱笆最短，最短的篱笆是米 (3)四边形的周长有最小值，最小值为， 【分析】本题主要考查材料阅读，二次根式的性质，乘法公式的变形计算，反比例函数与几何图形的综合等知识，掌握二次根式的性质，理解实际问题中的数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法即可求解； （2）设长为，则宽为，由此列式求解即可； （3）根据题意可得四边形是矩形，用含的式子表示出的长，并列式求解即可． 【详解】（1）解：若，，由，得，当且仅当时取到等号， ∴当时，； ； 当时，， 则， ∵， ∴， ∴当时，取到最大值， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； 故答案为：，，，大； （2）解：设篱笆围成长方形花园的长为米，则宽为米，则篱笆围成长方形面积为， ∴篱笆的周长为：， 当且仅当时取等号， ∴， 解得，， ∴宽为米，长为10米， ∴（米）， ∴当长为米，宽为米时，所用篱笆最短，最短的篱笆为米； （3）解：四边形的周长有最小值，最小值为，，理由如下， ∵轴，，轴， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵，且时， ∴， 解得，， ∴， ∴四边形的周长存在最小值，当时有最小值，且为，此时． 【经典例题八 反比例函数与几何综合】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形中，边在轴上，，，点在反比例函数(，)的图象上，交反比例函数的图象于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，由正方形的性质及和勾股定理求出边长，则可求得点的坐标，由点在反比例函数图象上，即可求得的值，从而确定函数解析式，然后求出的长，代入解析式得点的纵坐标，最后求出的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∵点在反比例函数， ∴， ∴反比例函数， ∴当，， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且，反比例函数的图象经过点E，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征； 设正方形和正方形的边长为m，n，则，然后根据即可求解． 【详解】设正方形和正方形的边长为m，n 则 ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数的图象经过点 ∴ 故答案为：8 ． 3．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）某商店出售一种商品，其数量x与售价y之间的关系如下表：（表中是包装费） 数量x/件 … 售价y/元 … (1)写出用数量x表示售价y的代数式． (2)求8件这种商品的售价． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，求函数值．熟练掌握用关系式表示变量间的关系，求函数值是解题的关键． （1）由表格可知，数量x表示售价y的代数式为； （2）将，代入求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，数量x表示售价y的代数式为； （2）解：当时，， ∴8件这种商品的售价为元． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 … 42 39 36 33 30 … (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？ (3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？ 【答案】(1)时间，速度 (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3； (3)估计经过，飞机的速度变为． 【分析】此题考查了自变量和因变量、用表格表示变量间的关系、一元一次方程的应用． （1）根据题意得到一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化，即可得到答案； （2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3，即可得到答案； （3）设估计经过x，飞机的速度变为，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3，据此列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化， ∴在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是速度； 故答案为：时间，速度 （2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3； （3）设估计经过x，飞机的速度变为， 则， 解得， 即估计经过，飞机的速度变为 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 【答案】(1) (2)她们各自买了10千克苹果？各自花了元 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用， （1）分和，两种情况根据所给苹果价格方案列式求解即可； （2）当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，则在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同，故，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ∴； （2）解：当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元， ∴在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：她们各自买了10千克苹果？各自花了元． 6．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 【经典例题九 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点为，求出，根据点和点关于原点对称得到，，由直角三角形的性质得到，根据，得到关于方程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 【详解】解：设点， 则, ∵， ∴， ∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，若的面积等于 ．    【答案】1 【分析】由正比例函数与反比例函数的图象相交于两点可得，从而得到，由反比例函数的几何意义可得，由此即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点， 点关于原点对称， ， ，， ， 过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上任意一点向坐标轴作垂线，与原点所连的线段所围成的直角三角形的面积为是解题的关键． 3．（2024·河北张家口·一模）如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，记的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数及其应用，一次函数及其应用，求解一次函数关系是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标的特征求解点坐标，再代入反比例函数关系式计算可求解值； （2）由值可得反比例函数解析式，将两解析式联立解析式求解交点坐标，即可求解； （3）设点坐标为，则，根据三角形的面积公式可求得的取值范围，即可求得的取值范围，再利用反比例函数图象上点的特征可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入中，解得， 点的坐标为， 双曲线过点， ； （2）解：当时，， ， 解得， 直线与双曲线的交点坐标为，， 交点的纵坐标大于交点的纵坐标， 点坐标为， （3）解：设点坐标为，则， ， ， ， ， 即， ， ， 当时， ． 4．（23-24八年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)设直线交轴于点，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数关系式为，一次函数的关系式为； (2)； (3)或或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）连接，设直线与轴的交点为，求出点坐标，根据即可求解； （）求出点坐标，设，，根据平行四边形对角线互相平分，分以为对角线、以为对角线、以为对角线三种情况列方程组解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入 得，， ∴， ∴反比例函数关系式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：连接，设直线与轴的交点为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，令，得， ∴， 设，，而， 以为对角线时，的中点重合， ∴ ， 解得或， ∴或； 以为对角线，同理可得， ， 解得或， ∴或； 以为对角线，同理可得， ， 解得或， ∴或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题． 5．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或 (3)或 【分析】本题考查待反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的应用，一次函数与反比例函数交点问题； （1）将点代入求解即可得到答案； （2）设出点的坐标，分类讨论直角的两对应边成比例求解即可得到答案； （3）设出平移后的解析式，根据两交点距离列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：将，代入得， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：∵轴， ∴， 设， 当时，， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述：满足的坐标为：或； （3）解：设平移后的解析式为：， 联立反比例函数得， ， 即：， 设两个交点为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∴或． 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线（）的图象与双曲线的图象相交于点和点，点是轴上的一个动点． (1)求出点的坐标． (2)连接，若的面积为，求此时点的坐标． (3)点为平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，或或． 【分析】（）利用代数系数法求出一次函数和反比例函数解析式，联立函数式，解方程组即可求解； （）分在下方和在上方两种情况解答即可求解； （）设，以四点为顶点的四边形是菱形时，分为边和对角线三种情况讨论，根据勾股定理和菱形的性质可计算点的坐标． 【详解】（1）解：∵点， ∴，， ∴，， ∴直线的关系式为：，反比例函数的关系式为：， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解：在下方时，过作轴于，过作于， 设， ∵点的坐标为，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 在上方时， 设，直线交轴于， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：设， ∵点的坐标为，， ∴， ， ， 以为边，时， ，解得或， ∴点的坐标为或， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为或； 以为边，时， ，无解， ∴此种情况不存在； 以为对角线时，，如图， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【经典例题十 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 2．（23-24八年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 3．（2024·吉林松原·二模）如图①，点、在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求和的值； (2)以线段为边向右侧作，如图②，使点恰好落在反比例函数（）的图象上时，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，求线段的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，平行四边形的性质等知识， （1）先根据待定系数法求出一次函数的解析式，在将点代入求出值，待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）根据平移的性质可得点的纵坐标为，代入求出点的坐标，得出平移的距离，求出点和点和点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将代入得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵点在直线上， 将代入得：， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ∴． （2）∵， ∴反比例函数的解析式为：； 根据题意可得点的纵坐标为， 故将代入得：， 解得：； ∴； ∴， ∴； 即，点的横坐标为， 故将代入得：， ∴； ∴，， ∴． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1） 解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2） 解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3） 解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 5．（23-24八年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 6．（23-24八年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 【经典例题十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，由反比例k的几何意义可得，设，所以，再由已知可得，求得，再将点D代入即可求k的值． 【详解】解：由题意可求， ∵直线与交于点C， ∴， 设， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵D点在直线上， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·山西吕梁·一模）如图，直线分别与轴、轴交于两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】作轴于点，先求出、两点的坐标，故可得出，，再根据定理得出可得出的长，进而得出点坐标，把点坐标代入反比例函数的解析式求出的值即可． 【详解】解：作轴于点． 在，令，则，即， 令，则，即，则，， ∵， ∴， ∵中，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴，解得； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到的知识点有全等三角形判定与性质以及一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 3．（2024·四川广元·二模）如图，反比例函数 和一次函数 的图象相交于点，，且一次函数 ． 的图象与x轴、y轴分别交于点C，D． (1)求一次函数的解析式； (2)当 时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)连接，，求 的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式求出点的坐标，然后把、坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）利用图象法求解即可； （3）先求得点的坐标，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数中得， ∴， ∴， 把代入中得， ∴， ∴， 把，代入中 得：， ∴， ∴； （2），令则, , 由函数图象可知，当或时，； （3）令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 4．（2024·河南信阳·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． (1)求k与m的值． (2)当时， ①求线段的长； ②点P为反比例函数图象上一动点，若面积为，直接写出P点坐标：________． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数、反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合是解题的关键． （1）将，分别代入，，计算求解可得； （2）①由题意知，的纵坐标为1．将代入，求的横坐标，然后求线段长度即可； ②设，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）将代入得，， 解得，， 将代入得， 解得，； （2）①由（1）可得反比例函数为，一次函数为 ∵于点， ∴轴． ∴的纵坐标为1． 将代入得，， 解得，， 将代入得， 解得，， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， 解得，或， 将a分别代入反比例函数解析式即可得点坐标为或． 5．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6． (1)求k的值； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式． （1）把A的横坐标为6代入，可得点的坐标，再根据待定系数法，即可得到反比例函数的表达式； （2）依据函数图象，即可得到不等式的解集； （3）设，依据，列方程求解即可得到点的坐标． 【详解】（1）， ∴， ∴ （2）∵点A与点B是关于原点成中心对称 ∴， ∴不等式的解集为：或 （3）设，依题意得：       ∴或 6．（2024·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)连接，，求的面积； 【答案】(1)反比例函数为，直线的表达式为 (2)15 【分析】本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得反比例函数为，进而求得的坐标，然后吧的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）作轴，交于点，则，然后根据求得即可； 【详解】（1）解：点在反比例函数第一象限的图象上， ， 反比例函数为， 将点先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点， 点恰好落在反比例函数第三象限的图象上， ， ， ， 代入得， ， 直线的表达式为； （2）作轴，交于点，则， ， 点、关于原点对称， ， ； 【经典例题十二 用反比例函数解决问题】 1．（2024·河南安阳·一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】B 【分析】 根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确； B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误； C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确； D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确． 故选：B． 【点睛】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~4的整数），函数的图像为曲线．    （1）若曲线过时，的值＝ ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，的取值范围是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是解题的关键． （1）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，可得的坐标，然后代入即可解答； （3）分别求得过点和时，过点和时的k值，据此确定k的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， ∴，即． 故答案为：8． （2）当函数过点和时，， 当函数过点和时，， ∴若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：． 故答案为：． 3．（2024·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】 本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 4．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【答案】(1)反比例函数 (2) (3)串入的滑动电阻需增加欧姆 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可． 【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； （2）， ， ； （3）A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 5．（23-24八年级上·河南·自主招生）某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 【答案】(1)100，40，图见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数中为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可； （2）求出，结合（1）可得的值； （3）用表示出，再代入得关于的不等式组，即可解得答案． 【详解】（1），，补全表格如下： 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20    阻值与压力的函数关系式为； 故答案为：100，40； （2）电流表的示数为时，， 解得， 把代入得： ， 解得， 该台秤最大可称的物体； （3），， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解，，，的关系． 6．（23-24八年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 (3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害 【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案； （2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案； （3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案． 【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为， ∵过双曲线， ∴把的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴函数表达式为：； （2）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， 代入得， 解得：， ∴解析式为：， ∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，代入， 可得：， 解得：， 当，代入， 可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∵（）， ∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为； （3）解：当时，可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 反比例函数72道压轴题型专训（12大题型） 题型一 求自变量的值或函数值 题型二 动点问题的函数图象 题型三 正比例函数的图象和性质 题型四 反比例函数 题型五 函数的三种表示法 最后4解答 题型六 反比例函数的增减性 题型七 已知比例系数求特殊图形的面积 题型八 反比例函数与几何综合 题型九 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十 一次函数与反比例函数的实际应用 题型十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型十二 用反比例函数解决问题 【经典例题一 求自变量的值或函数值】 1．（24-25八年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 3．（23-24八年级上·吉林·开学考试）如图，小明利用装了部分水的量筒和一些体积相同的小球进行了如下实验，请根据图中提供的信息，解答下列问题（单位：）： (1)若放入1个小球，量筒中水面升高______，若放入6个小球，量筒中水面的高度为______； (2)用小球的个数表示量筒中水面的高度______； (3)在图1的量筒中放入几个小球时，水面刚好到达量筒口？ 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记（其中，） x … 1 100 10000 … y … a 1 10 b … 则__________，__________． （2）根据（1）中的对应关系f，填空： 若，则__________． 若，则． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 6．（2024·北京房山·二模）小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值． 其中的值为______； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 【经典例题二 动点问题的函数图象】 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中，则______；当______时，的面积是． 4．（23-24八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒1的速度沿折线运动，到点D时停止运动．设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积时，自变量x的取值范围为_____________________． 5．（23-24八年级上·广东茂名·期中）已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 6．（23-24八年级上·重庆·期末）如图1，在矩形中，，，动点E从点A出发以每秒3个单位的速度沿折线运动；动点F从点B出发以每秒2个单位的速度从点B运动到点A，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，四边形面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的值：_____．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【经典例题三 正比例函数的图象和性质】 1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（　　） A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y2＜0＜y1 D．y1＜y2＜0 2．（2024·山东济南·一模）如图，，，，…，都是直角三角形，直角顶点A1，A2，…，An在x轴上，且，，…，，点B1，B2，…，Bn在直线上，已知点A1坐标为（1，0），则点的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式． 4．（23-24八年级上·陕西安康·期末）已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图像上． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知正比例函数的图象过点，求： (1)求正比例函数关系式； (2)画出正比例函数的图象； (3)当自变量x满足时，直接写出对应函数值y的取值范围． 6．（23-24八年级上·广东东莞·期末）水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量如下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 25 50 75 100 … (1)请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点； (2)根据（1）中各点的分布规律，求出关于的函数解析式； (3)请估算这种漏水状态下一天的漏水量． 【经典例题四 反比例函数】 1．（2024·湖北恩施·一模）如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 2．（13-14八年级上·全国·课后作业）下列函数中 是反比例函数． ①，②，③，④． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个反比例函数关系式； (2)若此反比例函数图象过点，求的值． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值求矩形面积． x 1 8 y 4 2 (1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式； (2)根据函数关系式完成上表． 6．（2024八年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【经典例题五 函数的三种表示法】 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图像的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图像上； 求的值； 当时，直接写出的取值范围． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 5．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： x … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 2 1.5 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (2)①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；它的另一个性质是 ． ②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）．求的值． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·阶段练习）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)函数列表如下，其中 ， ； … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (4)直接写出当时，自变量的取值范围为 ． 【经典例题六 反比例函数的增减性】 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）点双曲线上，若，则的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 3．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，正比例函数y＝kx(k>0)与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于多少？    4．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A，C的坐标分别是(2，4)，(3，0)，过点A的反比例函数的图象交BC于点D，连接AD．求△ABD的面积．    5．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知反比例函数y＝图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC，AB． (1)求反比例函数的解析式； (2)若△ABC的面积为7，求B点的坐标． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点P是反比例函数图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数（且）的图象于E，F两点，连接． （1）四边形的面积 （用含的式子表示）； （2）设P点坐标为． ①点E的坐标是( ， )，点F的坐标是( ， )（用含的式子表示）； ②若的面积为，求反比例函数的解析式． 【经典例题七 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·三模）如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作轴于点B，点Q是x轴上任意一点，连接，则的面积为 ．    3．（23-24八年级上·江苏南京·自主招生）如图，反比例函数与矩形的边交于P、Q两点，与对角线交于点D，其中A、C在坐标轴上，，若的面积为4，求k的值．    4．（2024·贵州安顺·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，轴于点，且．    (1)求反比例函数的解析式； (2)说明点是否在反比例函数的图象上，若在坐标系中有一点，求的面积． 5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B．若矩形的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）判断：点______ “美好点”， ______ “美好点”；（选填“是”或“不是”） 【深入探究】 （2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点是“美好点”．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 【拓展延伸】 （3）对于任意一个“美好点”，代数式是否为定值?如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，式子的最小值为______（直接写出答案）； 若，有最小值，最小值为______； 若，当______时，有最______值； (2)如图1，用篱笆围一个面积为平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ (3)如图2，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【经典例题八 反比例函数与几何综合】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形中，边在轴上，，，点在反比例函数(，)的图象上，交反比例函数的图象于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且，反比例函数的图象经过点E，则 ． 3．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）某商店出售一种商品，其数量x与售价y之间的关系如下表：（表中是包装费） 数量x/件 … 售价y/元 … (1)写出用数量x表示售价y的代数式． (2)求8件这种商品的售价． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 … 42 39 36 33 30 … (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？ (3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？ 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 6．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【经典例题九 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，若的面积等于 ．    3．（2024·河北张家口·一模）如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，记的面积为，若，求的取值范围． 4．（23-24八年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)设直线交轴于点，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 5．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线（）的图象与双曲线的图象相交于点和点，点是轴上的一个动点． (1)求出点的坐标． (2)连接，若的面积为，求此时点的坐标． (3)点为平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【经典例题十 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 2．（23-24八年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 3．（2024·吉林松原·二模）如图①，点、在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求和的值； (2)以线段为边向右侧作，如图②，使点恰好落在反比例函数（）的图象上时，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，求线段的长度． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 5．（23-24八年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 6．（23-24八年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【经典例题十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 2．（2024·山西吕梁·一模）如图，直线分别与轴、轴交于两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为 ． 3．（2024·四川广元·二模）如图，反比例函数 和一次函数 的图象相交于点，，且一次函数 ． 的图象与x轴、y轴分别交于点C，D． (1)求一次函数的解析式； (2)当 时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)连接，，求 的面积． 4．（2024·河南信阳·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． (1)求k与m的值． (2)当时， ①求线段的长； ②点P为反比例函数图象上一动点，若面积为，直接写出P点坐标：________． 5．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6． (1)求k的值； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标． 6．（2024·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)连接，，求的面积； 【经典例题十二 用反比例函数解决问题】 1．（2024·河南安阳·一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 2．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~4的整数），函数的图像为曲线．    （1）若曲线过时，的值＝ ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，的取值范围是 ． 3．（2024·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 4．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 5．（23-24八年级上·河南·自主招生）某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 6．（23-24八年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 学科网（北京）股份有限公司 $$