专题04 反比例函数的k值意义60题重难点题型专训（2大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题04 反比例函数k值意义60题重难点题型专训（2大题型） 【精选江苏地区常考题型】 题型一 已知比例系数求图形面积 题型二 根据图形面积求比例系数 【经典例题一 已知比例系数求图形面积】 1．（2024八年级上·河南驻马店·学业考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（23-24八年级上·河南南阳·期中）若反比例函数图象如图，则图中阴影部分面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级上·云南红河·期中）如图，点B在反比例函数的图象上，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·吉林长春·一模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，与y轴交于点C，D是x轴上一点，连结、、．若轴，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）双曲线：和：如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（2024·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图是反比例函数在第二象限内的图象，则图中矩形的面积为 ． 12．（23-24八年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 13．（23-24八年级上·重庆万州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ． 14．（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      15．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    16．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 17．（23-24八年级上·广东清远·阶段练习）如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为 ． 18．（2024八年级上·辽宁·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知函数 点 M 在y 轴的正半轴上，点N在x轴上，过点 M作y 轴的垂线分别交函数，的图象于A，B两点，连接，，则的面积为 ． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和．则有以下的结论：①；②；③阴影部分面积是；④当时，；⑤若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论是 ．（填序号） 21．（2024九年级·全国·竞赛）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标． 22．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积． 23．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，已知反比例函数的图象经过点．    (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且，则的面积为______． 24．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 25．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC． (1)求k的值； (2)求△OAC的面积． 26．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 27．（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，直线与反比例函数（）的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求、的值及反比例函数的解析式； (2)若点在直线上，且，请求出此时点的坐标． 28．（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 29．（23-24八年级上·江苏·期末）如图是某反比例函数的图象．点，在图象上，垂直于x轴．求：    (1)该反比例函数的表达式及m的值； (2)求矩形的面积； (3)当时，求x的取值范围． 30．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图1，直线与轴交于点B，与轴交于点C，交双曲线y=（）于点N，．    (1)求双曲线的解析式． (2)已知点H是双曲线上一动点，若，求点H的坐标． (3)如图2，平移直线交双曲线于点P，交直线于点Q，连接，并延长交于第一象限内一点G，若，求平移后的直线的解析式． 【经典例题二 根据图形面积求比例系数】 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点，过点A作轴于点B，若的面积是1，则k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·期末）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 6．（23-24八年级上·四川雅安·期末）如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 7．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式中的k值是（    ） A．4 B．8 C． D． 8．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点，反比例函数的图象交于点A，交于点，若四边形的面积为，则k的值为（　　） A．6 B． C．12 D． 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 ．    12．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，轴于点，点在轴上，的面积为12，反比例函数的图象过点，则的值为 ． 13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图所示，反比例函数图象上有一点，过点作轴垂线交轴于点，连，若，则 ． 14．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为 ． 15．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为 ． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 17．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为 ． 18．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，点是反比列函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点轴于点，连接、，已知，则 ． 19．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．    20．（23-24九年级·江苏苏州·自主招生）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，与的面积之和为3，则k的值为 ． 21．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 22．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 23．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标． 24．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 25．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 26．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知． (1)求k的值； (2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积． 27．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 28．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知正方形的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积是S．    (1)求点B的坐标； (2)当时，求点P的坐标； (3)写出S关于m的函数解析式． 29．（2024·河南南阳·一模）如图，等边三角形的顶点A在反比例函数的图像上，顶点在轴上，且的面积为． (1)_________． (2)①请用无刻度的直尺和圆规作第一象限的夹角平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） ②将①中的角平分线反向延长得直线，设直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，求点，的坐标． (3)直接写出不等式的解集． 30．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积． (3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数k值意义60题重难点题型专训（2大题型） 【精选江苏地区常考题型】 题型一 已知比例系数求图形面积 题型二 根据图形面积求比例系数 【经典例题一 已知比例系数求图形面积】 1．（2024八年级上·河南驻马店·学业考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．本题考查等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义是正确解答问题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·河南南阳·期中）若反比例函数图象如图，则图中阴影部分面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查值的几何意义，如图，连接，得到阴影部分的面积等于的面积，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由图可知轴， ∴阴影部分的面积等于的面积， ∵点在反比例函数图象上， ∴阴影部分的面积等于的面积， 故选C． 3．（24-25八年级上·云南红河·期中）如图，点B在反比例函数的图象上，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义．反比例函数k的几何意义：反比例函数上任意一点与两坐标轴围成的矩形面积．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为． 故选：C． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，连接、，得，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：如图所示，连接、，设交轴于点， ∵轴，且与反比例函数与的图象分别交于点和点， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 5．（2024·吉林长春·一模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，与y轴交于点C，D是x轴上一点，连结、、．若轴，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图形与性质是解题的关键． 根据题意设出，，再得出与的面积，然后进行比即可． 【详解】解：点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴， 设，， 与y轴交于点C，D是x轴上一点，连结、、， ，， ， 故选：B． 6．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 7．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）双曲线：和：如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．根据反比函数比例系数k的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故选：B． 8．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 9．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．作于H，根据平行四边形的性质得，则，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，所以有． 【详解】解：作于H，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数的图象上的一点， ∴， ∴． 故选：B． 10．（2024·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论 【详解】解：如图， ， ∵ ∴， ∴的面积， 故选：B 11．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图是反比例函数在第二象限内的图象，则图中矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，再根据反比例函数的性质解答即可．本题考查了矩形的面积公式，反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数在图象上， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 12．（23-24八年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 13．（23-24八年级上·重庆万州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．熟练掌握值几何意义是关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点B， ∴， ∵点，关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：10． 14．（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 17．（23-24八年级上·广东清远·阶段练习）如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，而围成的三角形的面积为． 由于是同一双曲线的点，则围成的三角形虽然形状不同，但是面积均为． 【详解】设双曲线的解析式为, 则，，， ∴． 故答案为：． 18．（2024八年级上·辽宁·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知函数 点 M 在y 轴的正半轴上，点N在x轴上，过点 M作y 轴的垂线分别交函数，的图象于A，B两点，连接，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点G和点H，易得四边形为矩形，则，进而得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点G和点H， ∵轴， ∴轴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和．则有以下的结论：①；②；③阴影部分面积是；④当时，；⑤若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征和反比例系数的几何意义、菱形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是通过设点和点的坐标，表示出对应的线段长度． ①根据平行四边形的性质即可得解；②设点为由平行四边形的性质得到点的横坐标为，从而得到点的坐标，然后求得；③由反比例系数的正负和反比例系数的几何意义求得阴影部分的面积；④当时，，从而得到与的关系；⑤由菱形的性质得到点和点的纵坐标相等，然后得到与的关系，进而得到两个函数图象的位置关系． 【详解】解：①四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上， 点、到轴的距离相等， 过点、作轴的垂线，垂足分别为和， ；故说法①正确，符合题意； ②设点为，则， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 由图可知，，， ， ，故说法②正确，符合题意； ③轴，轴， ，， ，故说法③错误，不符合题意； ④， ， 又， ， ， ， ， ， ，故说法④错误，不符合题意； ⑤四边形是菱形， ， ， ， ， ，则图中曲线关于轴对称．故说法⑤正确，符合题意； 说法①②⑤正确， 故答案为：①②⑤． 21．（2024九年级·全国·竞赛）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形是平行四边形，由此得；设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，由，分两种情况即可求得m，进而求得点C的坐标． 【详解】解：根据对称性，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，如图， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴， 当时，则， ∴， 即， 解得(舍)或， ∴点； 当时，则， ∴， 即， 解得(舍)或， ∴点． 综上，点的坐标为或． 22．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积． 【答案】S△AOB＝． 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2， ∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型． 23．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，已知反比例函数的图象经过点．    (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且，则的面积为______． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴ ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了学生对于待定系数法，等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义的掌握情况．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． 24．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 25．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC． (1)求k的值； (2)求△OAC的面积． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出； （2）由反比例函数解析式求出点的纵坐标，进而求出的长，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由题意得，点的横坐标为6， 点的纵坐标为：， ， 的面积． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出的长度． 26．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解； （2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则， 由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 27．（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，直线与反比例函数（）的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求、的值及反比例函数的解析式； (2)若点在直线上，且，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)a=-1，b=-1， (2)或 【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出，，进而建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数（）的图象交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：设点， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 28．（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入，求出，将点代入，即可求解， （2）由反比例函数的几何意义得，由，可得，即可求解， （3）设点坐标为，作轴，用含的代数式表示出的长度，代入，即可求解， 本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∴，解得：， 故答案为：， （2）解：过点，，作轴，轴，垂足分别为，， 由（1）可知，点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，，,，， ∵， ∴， 故答案为：的面积为， （3）解：设点坐标为，过点，作轴，垂足为， ∴，， ∴， 即：，解得：或， ∴或， 故答案为：点的坐标为或． 29．（23-24八年级上·江苏·期末）如图是某反比例函数的图象．点，在图象上，垂直于x轴．求：    (1)该反比例函数的表达式及m的值； (2)求矩形的面积； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)3 (3) 【分析】（1）设函数解析式，将A点坐标代入解析式，即可求解；将代入解析式，即可求出m的值； （2）将B点的横、纵坐标相乘即可得到矩形的面积； （3）将代入解析式，求出x的值，然后根据图象即可判断． 【详解】（1）解：设函数解析式， 把代入函数解析式得， ∴， ∴函数解析式； 将代入解析式得， ∴， ∴m的值为； （2）解：∵B的坐标是， ∴，， ∴矩形的面积； （3）解：当时，， ∴， ∴结合函数图象，当时，得到． 【点睛】本题考查应用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，反比例函数和不等式的关系，关键是熟练掌握反比例函数的性质． 30．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图1，直线与轴交于点B，与轴交于点C，交双曲线y=（）于点N，．    (1)求双曲线的解析式． (2)已知点H是双曲线上一动点，若，求点H的坐标． (3)如图2，平移直线交双曲线于点P，交直线于点Q，连接，并延长交于第一象限内一点G，若，求平移后的直线的解析式． 【答案】(1) (2)点H的坐标为或 (3) 【分析】（1）作轴于H．根据解析式确定，由三角形面积可求，，代入反比例函数解析式求解； （2）作轴于M，轴于E．设．由，可得，于是，根据绝对值性质分情况求解，得H的坐标为或； （3）可求证，于是，得证垂直平分，于是P、Q关于直线对称，点Q在上，可求，待定系数法确定的解析式为． 【详解】（1）（1）如图1中，作轴于H．    ∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴． （2）如图2中，作轴于M，轴于E．设．    ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，整理得，解得或（舍弃）， 当时，整理得，解得或3（舍弃）． 综上所述，满足条件的点H的坐标为或； （3）如图3中，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴P、Q关于直线对称， ∵点P在上， ∴点Q也在上， 又∵点Q在直线上， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴． ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数k系数的几何意义，函数图象平移，垂直平分线的性质；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【经典例题二 根据图形面积求比例系数】 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点，过点A作轴于点B，若的面积是1，则k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数系数的几何意义进行解答即可．本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：∵过点A作轴于点B， 的面积是1， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设与轴的交点为，由点在上， 则四边形的面积为，的面积为，再通过反比例函数的几何意义即可求解，正确理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设与轴的交点为， ∵点在上， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积为， ∴的面积为， ∴， 故选：． 3．（23-24八年级上·全国·期末）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例系数的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征．过作轴于，证明，求得，，得到，即可确定的值． 【详解】解：过作轴于，如图： 轴，轴， ， ， ，点是的中点， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：C． 4．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四边形的性质，熟练掌握k值几何意义是关键． 设与x轴交于点，连接，根据，， 且，可得 ，再利用，，继而求出值． 【详解】解：设与x轴交于点，连接， ∵ ， ， 且， ， 又∵， ， ， 反比例函数在第二象限， . 故选：B. 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得，（舍去）． 故选：B． 6．（23-24八年级上·四川雅安·期末）如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 7．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式中的k值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质.如图，过作于，由将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上， ∴ ∴， 故选：B. 8．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接，由反比例函数的性质可知，，由，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 由反比例函数的性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由两式解得， 则， 故选：． 10．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点，反比例函数的图象交于点A，交于点，若四边形的面积为，则k的值为（　　） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【详解】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题． 根据反比例函数系数k的几何意义，利用，即可解决问题． 【解答】解：∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴，， ∴， ∵点A、B在反比例函数 ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，如图，   轴， ∴， ， 而， ， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，轴于点，点在轴上，的面积为12，反比例函数的图象过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，由此可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴于点，点在轴上， ∴轴 根据反比例函数的几何意义可得， 又∵函数图象过点，在第一象限， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图所示，反比例函数图象上有一点，过点作轴垂线交轴于点，连，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据反比例函数系数的几何意义得出，结合反比例函数图象在第二象限即可得答案． 【详解】解：∵，过点作轴垂线交轴于点，连， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为： 14．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用．根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：与坐标轴围成的矩形部分面积为3， 由反比例函数的几何意义得，， ， 图象位于第二、四象限， ． 函数表达式为． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据，的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】四边形是平行四边形， ,的纵坐标相同， ， 的纵坐标是， 点在反比例函数图象上， 将代入函数表达式中，得到， ， ， ，的纵坐标是， ， 即， 解得． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，先求出，根据与的面积之比为，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∵轴， ∴． 故答案为：12． 18．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，点是反比列函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点轴于点，连接、，已知，则 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】解：由题意可设，则有， ∵，， ∴，即， ∴； 故答案为21． 19．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值． 【详解】解：∵， ， ， 而， ． 故答案为：． 20．（23-24九年级·江苏苏州·自主招生）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，与的面积之和为3，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查反比例函数的性质、k的几何意义等知识点，用k表示出相关图形的面积是解题的关键． 如图：过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，可求出，将面积进行转换进而求解即可． 【详解】解：如图：过A作x轴垂线，过B作x轴垂线， ∵点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2， ∴， ∵轴， ∴， ∵与的面积之和为3， ∴，， ∴，解得：． 故答案为：5． 21．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 22．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 23．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设点P的坐标为，根据的面积为6列式求解； （2）设点B的坐标为，则，由此可解． 【详解】（1）解：设点P的坐标为， 则，， 的面积为6， ， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：设点B的坐标为， ，， ， 解得， ， 点B的坐标为． 24．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 25．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 26．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知． (1)求k的值； (2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式； （1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可； （2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可； 熟知反比例函数的几何意义是关键． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， ∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且 ∴， 解得， 故k的值为； （2）如图，过点作， ∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∵平行于y轴， ∴点的横坐标为4， 解得， ∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为 ， 故的面积为． 27．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可； ()利用待定系数法求解； ()求出直线的解析式，可得直线交轴一点， 再利用分割法求出的面积； 此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）∵点与关于原点对称， ∴点， 故答案为：； （2）∵，的面积为， ∴，解得：， 故答案为：； （3）∵的图象过， ∴， ∵若的纵坐标为， ∴点， 设直线解析式为，与轴交于点，如图， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴点， ∴， ∴． 28．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知正方形的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积是S．    (1)求点B的坐标； (2)当时，求点P的坐标； (3)写出S关于m的函数解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可得到点的坐标； （2）先求出反比例函数解析式，设，分点P位于点B下方和点P位于点B上方两种情况分别讨论解题； （3）用割补法分和求面积． 【详解】（1）∵，且四边形为正方形， ∴， ∴， 所以点B坐标为； （2）由（1）得， ∴反比例函数的解析式为：． 因为矩形和正方形不重合部分的面积是S，且， 设， 当点P位于点B下方时，有， 解得：， ∴P点坐标为：； 当点P位于点B上方时，有， 解得：， ∴P点坐标为：， 综上，P点的坐标为或； （3）用割补法求面积，即可得以下分类讨论： 当时，； 当时，， ∵点P（m，n）在双曲线上， ∴：， 则有； 综上所述，． 【点睛】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论是解题的关键． 29．（2024·河南南阳·一模）如图，等边三角形的顶点A在反比例函数的图像上，顶点在轴上，且的面积为． (1)_________． (2)①请用无刻度的直尺和圆规作第一象限的夹角平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） ②将①中的角平分线反向延长得直线，设直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，求点，的坐标． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)①作图见解析；②， (3)或 【分析】（1）如图，过点作轴于点，由等边三角形的性质可得的面积，再利用反比例函数值的几何意义即可得出结论； （2）①如图，以点为圆心，作弧交轴、轴于点、，分别以点、为圆心大于为半径作弧，交于点，则射线为第一象限的夹角平分线； ②解由直线和双曲线的两个解析式所构成的方程组，所得的解即为所求的交点坐标； （3）观察图像即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵等边三角形的顶点A在反比例函数的图像上，顶点在轴上，且的面积为， ∴是等边三角形的边上的中线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①如上图所示，第一象限的夹角平分线射线即为所作； ②∵直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）∵直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，， ∴即的解集为：或． 【点睛】本题考查尺规作图，反比例函数的比例系数的几何意义，直线与反比例 函数的交点坐标，利用图像解不等式．掌握反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 30．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积． (3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标. 【答案】(1)反比例函数y=(x>0)； (2)线段OD扫过的面积为； (3)P点作标（，0） 【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可． （2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积． （3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线的关系式，再求出P点坐标． 【详解】（1）作DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为(4，3)， ∴FO=4，DF=3， ∴DO=5， ∴AD=5， ∴A点坐标为：(4，8)， ∴xy=4×8=32， ∴k=32； 反比例函数y=(x>0) （2） ∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上， ∴DF=3， =3， ∴点的纵坐标为3， ∴3=，x=， ∴=， ∴=−4=， ∴平行四边形 平移的面积S=×3=； （3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值， ∵OB＝OD＝5 ∴点B的坐标是(0，5)， ∴点的坐标是(0，-5)， 设直线的关系式 把A (4，8)，(0，-5)代入解析式得∶ 解得： 当y=0时，， ∴PA+PB有最小值，P点作标（，0 ） 【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$