专题01 正比例函数的图像性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题01 正比例函数的图像性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 常量与变量 题型二 函数的概念 题型三 函数解析式 题型四 求自变量的取值范围 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数图象识别 题型七 从函数的图象获取信息 题型八 用描点法画函数图象 题型九 动点问题的函数图象 题型十 正比例函数的定义 题型十一 正比例函数的图象 题型十二 正比例函数的性质 题型十三 用表格表示变量间的关系 题型十四 用关系式表示变量间的关系 题型十五 用图象表示变量间的关系 知识点1.变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点2.函数的定义域与函数值 1．函数自变量的取值范围（定义域） 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 2．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点3.正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点4.正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点5.正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【经典例题一 常量与变量】 【例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）设半径为r的圆的周长为C，则C＝2πr，下列说法错误的是(   ) A．常量是π和2 B．常量是2 C．用C表示r为 D．变量是C和r 【答案】B 【分析】根据常量也称常数，是一种恒定的不可变的数值或数据项，变量是自变量和因变量的合称，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：函数关系式C=2πr中，常量是π与2， 故A选项正确，B选项错误； 用C表示r为r=，故C选项正确； 变量是C与r，故D选项正确． 故选B． 【点睛】本题考查常量与变量的定义，熟记概念是解题关键． 1．（23-24八年级上·陕西·单元测试）在圆的周长公式C＝2πr中，变量是(　　) A．C，2，π，r B．π，r C．C，r D．r 【答案】C 【分析】根据变量是改变的量，据此即可确定周长公式中的变量． 【详解】圆的周长公式C=2πR中，变量是C和r， 故选C． 【点睛】本题考查了常量和变量的定义，明确变量是改变的量，常量是不变的量． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）球的表面积S与半径R之间的关系是S=4πR2 ． 对于各种不同大小的圆，请指出公式S=4πR2中常量是 ，变量是 【答案】 4π S和R 【分析】变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量,常量是数值始终不变的量,根据定义即可确定. 【详解】解：公式是S=4πR2中常量是4π,变量是S和R. 故答案是: 4π;S和R. 【点睛】本题考查了常量与变量的定义,属于简单题,理解定义是关键. 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）为迎接“创城活动”，银川市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元． (1)每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？ (2)需购买A、B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱a个，求购买垃圾箱的总费用（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式． 【答案】(1)每个A型垃圾箱30元，每个B型垃圾箱元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数.（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱元，根据等量关系：买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据总费用等于购买A、B两种垃圾箱费用的和，即可得到函数关系式． 【详解】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱元， 由题意，得：， 解得：； 答：每个A型垃圾箱30元，每个B型垃圾箱元； （2）解：由题意A型垃圾箱买a个，则B型垃圾箱买个， 则：； 答：购买垃圾箱的总费用（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式为． 【经典例题二 函数的概念】 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数的定义，结合函数的概念可知，一个函数关系式有两个变量，其中一个是自变量，另一个是自变量的函数，根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．一年中，同一个气温可以对应很多个时间，则时间不一定是气温的函数，原说法错误，故该选项不符合题意； B．正方形的面积公式中，和都是变量，原说法错误，故该选项不符合题意； C．公共汽车全线有15个站．其中站票价5角，站票价1元，站票价1.5元，则票价是乘车站数的函数，原说法正确，故该选项符合题意； D．圆的周长与半径之间有函数关系为，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 1．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象的知识点，根据圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，判断函数为正比例函数关系式，正确理解函数的图象是解题的关键． 【详解】由于圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的，可知， 只有选项适合均匀升高这个条件， 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记（其中，） x … 1 100 10000 … y … a 1 10 b … 则__________，__________． （2）根据（1）中的对应关系f，填空： 若，则__________． 若，则． 【答案】（1），100；（2） 【分析】本题主要考查了函数的概念、算术平方根等知识点，理解函数的概念以及算术平方根的规律是解题的关键． （1）自变量x的小数点向右或向左每移动2位，因变量y向相应的方向仅移动一位，据此解答即可； （2）利用（1）的结论进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：，即， ∴， ∴． 故答案为：，100． （2）由（1）可得：若，则； 若，则． 故答案为：． 【经典例题三 函数解析式】 【例3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积求得长方形的另一条边长，然后根据长方形的周长公式进行即可求解， 本题考查了列函数关系式，理解题意求得长方形的另一条边长是解题的关键． 【详解】解：∵一个长方形的周长为，其中一条边长为， ∴另一条边长为：， 长方形面积为， 则． 故选：D． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是一个动点，由向以匀速移动，求出的底，即可求得的面积随点的运动时间之间的关系式． 【详解】解：是一个动点，由向以匀速移动， ， ， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，求出的底是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海·期中）上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，正确掌握路程、时间、速度之间的关系是解题关键．根据题意得到时间的取值范围，再结合路程、时间、速度之间的关系列出函数关系式即可． 【详解】解：（小时）， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，在平面直角坐标系中，点，，其中a、b是方程组的解，点M为线段的中点，点C为x轴负半轴上一点，，连接，．    (1)求点A、B、C的坐标； (2)点P从点O出发，沿的方向以每秒2个单位的速度向终点A运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t，请用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围： (3)在（2）的条件下，在点P运动过程中，当的面积等于的面积时，求t的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】此题考查了图形和坐标、求函数解析式、解二元一次方程组等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）解方程组求出点A和点B的坐标，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）分两种情况分别进行解答即可； （3）画出图形，分两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ，， 为的中点， ， ， （2）①当时，，，， ，      ②当时，， 作， ， ， ， ，    （3）①当时，， ， ，    ②当时，作于， 由面积， ， ， ， ，    【经典例题四 求自变量的取值范围】 【例4】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知函数，则自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】根据题意得：， 解得：且． 故选B． 1．（2024·浙江杭州·二模）某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论： ①函数的图象与轴有交点； ②函数的图象与轴没有交点： ③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识点；①先求出函数的解析式，再与直线联立，看方程组是否有解即可得；②根据解析式可得，即可判断②；③根据点在函数的图象上可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】由题意得：， 联立， 整理得：， 此方程根的判别式为，方程有实数根， 函数的图象与轴有交点，结论①正确； ∵，， ∴函数的图象与轴没有交点，结论②正确； 点在函数的图象上， ， ， 点也在函数的图象上，则结论③正确； 综上，结论正确的是①②③， 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可． 【详解】∵在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为， ∴，整理得， 由等腰三角形可得， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为，定义域为， 故答案为：，． 3．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算． （1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果； （2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 自变量x的取值范围是． （2）解：当时，． ∴当时，此时两正方形的面积和S为10． 【经典例题五 求自变量的值或函数值】 【例5】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据新定义求得，分别计算验证即可． 【详解】解：由题意得，， A、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； B、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； C、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； D、时，，故在图象上，故本选项符合题意， 故选：D． 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．当与时，函数值相等 D．当时， 【答案】D 【分析】根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可． 【详解】A：由图象可知，当时，随的增大而增大，故本选项不合题意； B：函数的自变量的取值范围为，故本选项不合题意； C：当时，函数值为；当时，函数值为1，故本选项不合题意； D：由图象可知，当时，，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象和性质，解题关键是根据函数解析式得出函数值和自变量的取值范围． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知直线：与直线：交于点，则代数式取最大值时，点到原点的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了两条直线的交点问题．把点分别代入和可得，变形得，得出，即，且当时取等，求出a，b的值，再求出点P的坐标，最后求出点到原点的距离． 【详解】解：把点分别代入或得，①，， ②， ①②得，， ， ， ， ∵， ∴，即，且当时取等， 即当时，代数式取最大值， 由结合上式解得：， 代入函数关系式得：：与：， ∴， ∴， ， ∴点到原点的距离为， 故答案为：5 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查了求函数关系式和函数求值． （1）利用按甲方案所需总费用购买门票的费用杨梅的原价采摘量，可求出关于的函数表达式；利用按乙方案当采摘量千克时，所需总费用杨梅的原价杨梅的原价超过10千克的部分，可求出关于的函数表达式； （2）代入，求出、的值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意得：， 即； ， 即； （2）解：选择乙方案更划算，理由如下： 当时，， ． ， 选择乙方案更划算． 【经典例题六 函数图象识别】 【例6】（23-24八年级上·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 1．（23-24八年级上·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 2．（2024·辽宁阜新·中考真题）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班． 【答案】2 【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间． 【详解】解：由题意得： 七（1）班的速度为： 联络员与七（1）班的速度差为： 即联络员的速度为： 当七（2）班出发时， 联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和， 设七（2）班的速度为 列出方程： ， 解得： 即七（2）班的速度为， 则七（2）班追上七（1）班需要的时间为： 故填：2． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度． 3．（2024·广东深圳·一模）【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)C (3)， (4) 【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围； （2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题； （3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整； （4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵函数， ∴当时，，当时，， 故选：C． （3）解：∵，∴． ∵，∴． 故答案为：，； （4）解：∵， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键． 【经典例题七 从函数的图象获取信息】 【例7】（24-25八年级上·上海宝山·期中）甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离y（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是（    ） ①乙的速度为7千米/时；    ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距A地21千米；   ④A、B两地距离27千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的运用，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键． ①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度； ②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程甲走的路程就可以求出结论； ③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距地的距离； ④求出乙到达终点的路程就是，两地距离． 【详解】解：①由题意，得 甲的速度为：千米时； 设乙的速度为千米时，由题意，得 ， 解得：． 即乙的速度为7千米时， 故①正确； ②乙到终点时甲、乙相距的距离为： 千米，故②正确； ③当乙追上甲时，两人距地距离为： 千米．故③正确； ④，两地距离为： 千米，故④错误． 综上所述：正确的有①②③． 故选：C． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）乐乐和姐姐一起出去运动，两人同时从家出发．沿相同路线前行，途中姐姐有事返回，乐乐继续前行，分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，乐乐和姐姐在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间（分）之间的函数关系如图所示．下列结论中错误的是（       ） A．两人前行过程中的速度为米分 B．的值是，的值是 C．姐姐返回时的速度为米分 D．运动分钟时，两人相距米 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据题意和图象中的数据可以判断各选项中的说法是否正确，从而可以求解，明确题意，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，两人前行过程中的速度为（米分），故选项不合题意； 、的值是，的值是，故选项不合题意； 、姐姐返回时的速度为：（米分），故选项不合题意； 、运动分钟时两人相距：（米），故选项符合题意， 故选：． 2．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲跑步时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙的速度为 米秒． 【答案】3 【分析】本题考查了函数图象，关键是由函数图象信息得出两人运动的时间和路程． 由已知可知甲分钟走了米，速度为米秒，乙用秒走了同样的路程米，求出乙的速度． 【详解】解：甲的速度：（米秒）， 乙的速度：（米秒）． 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知A、B两城由笔直的铁路连接，动车甲从A向B匀速前行，同时动车乙从B向A匀速前行，到达目的地时停止，其中动车乙速度较快，设甲乙两车相距，甲行驶的时间为，y关于t的函数图象如图所示． (1)填空：动车甲的速度为 ，动车乙的速度为 ； (2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义： (3)两车何时相距？ 【答案】(1) (2)的坐标为，实际意义是此时动车乙到达目的地，动车甲与动车乙的距离为 (3)和相距 【分析】本题考查了函数应用中的相遇问题，从函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答． （1）根据图中信息即可得到两车的速度； （2）根据题意和图形即可得到点的坐标以及点表示的实际意义； （3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】（1）解：动车甲的速度，动车乙的速度，， 故答案为：； （2）解：由题意可得，点的横坐标为：，纵坐标为：， 即点的坐标为， 该点坐标表示的实际意义是此时动车乙到达目的地，动车甲与动车乙的距离为； （3）解：由题意可得，当相遇前相遇，此时的时间为：， 当相遇后相遇，此时的时间为：， 综上：在和相距． 【经典例题八 用描点法画函数图象】 【例8】（23-24八年级上·福建龙岩·期末）小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可. 【详解】A 选项，当 代入 故在直线上. B 选项，当 代入 故在直线上. C选项，当 代入 故在直线上. D选项，当 代入 故不在直线上. 故选D. 【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握. 1．（23-24八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）=2可知|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形． 【详解】解：∵f（x，y）=2， ∴|x|=2，|y|≤2或|y|=2，|y|＜2． ①当|x|=2，|y|≤2时，点P满足x=2，-2≤y≤2或x=-2，-2≤y≤2， 在图象上，线段x=2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x=-2，-2≤y≤2即为D选项中正方形的左边； ②当|y|=2，|x|＜2时，点P满足y=2，-2＜x＜2，或y=-2，-2＜x＜2， 在图象上，线段y=2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y=-2，-2＜x＜2即为D选项中正方形的下边． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征． 2．（23-24八年级上·全国·课前预习）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ． 【答案】图象 【解析】略 3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长． 在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了种有机肥对这两种植物增长高度的影响： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 (1)通过分析数据，发现与之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数的图像； (2)画出关于的图像并观察图像，补全表格；（结果保留小数点后一位） (3)实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析；（～之间均可）；（～之间均可）． (3)． 【分析】（1）根据表格描点，连接各点即可画出关于的函数的图像； （2）根据题意作出函数图像即可得解； （3）根据题意作出函数图像即可得解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示，过轴上的作轴的平行线与相交，再过该交点作轴的平行线， 根据图形，补全表格如下： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 故答案为：78，23； （3）解：，如图， 由图可得，大概在第天时，连翘比金叶女贞多长了，即大概在第天时，连翘和金叶女贞一样高． 【经典例题九 动点问题的函数图象】 【例9】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据三角形面积计算公式可知当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，结合函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，则，0到4秒后点P从点B运动到点C，可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变， 由函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化， ∴，0到4秒后点P从点B运动到点C， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）如图1，四边形是正方形，点在直线上，．直线沿方向平行移动，设移动离为．直线经过的阴影部分面积为．那么表示与之间函数关系的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点． 【详解】解：当 时，图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分， 当时， ∵ 为定值， ∴函数图象是开口向下的抛物线的一部分. 故选 B. 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题的关键．将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，，即， 的面积，解得： ∴， 时,点P运动至点E，即 ∴， 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)自变量是的长，因变量是的面积 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）根据题意即可求解； （2）根据表格数据可得，，的高是，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）当时，，当时，，再根据三角形的面积公式可求解析式，根据函数的性质可得的面积变化情况． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是的面积； （2）解：时，；时，， ，，的高是， 时，， ， 当时，， ， ，； （3）解：当时，， ，即； 当时，， ，即； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 【经典例题十 正比例函数的定义】 【例10】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的概念，根据正比例函数定义可得且，再解即可，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得：， 故选：． 1．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知下列函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣x；③y＝4x；④．其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由正比例函数的定义即可作出判断，一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 【详解】解：由正比例函数的定义可知，属于正比例函数的有：②③④共3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）若是x的正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数叫做正比例函数，得：且，求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得或， ，解得， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义求解是解题的关键． 3．（23-24八年级上·吉林·期中）已知关于x的正比例函数． (1)已知点在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键； （1）直接把点代入正比例函数，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系找出y的取值范围． 【详解】（1）点在该正比例函数的图象上， ， 解得：； （2）由（1）知：， 正比例函数的表达式为：， 在中，， y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 的取值范围为：． 【经典例题十一 正比例函数的图象】 【例11】（23-24八年级上·河南周口·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴B符合题意；A、C、D均不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象，解题的关键是掌握正比例函数，当时，图象经过第二、四象限，当时，图象经过第一、三象限． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）甲、乙两地相距50千米，若一辆汽车以50千米/小时的速度从甲地到乙地，则汽车距乙地的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)之间的关系式s＝50－50t(0≤t≤1)中，常量的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 【详解】汽车距乙地的路程s（千米）与行驶的时间t（时）之间的关系式s=50-50t（0≤t≤1）中，常量为距离50千米和速度50千米/时两个， 故选B． 【点睛】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量． 2．（2024·山东济南·一模）如图，，，，…，都是直角三角形，直角顶点A1，A2，…，An在x轴上，且，，…，，点B1，B2，…，Bn在直线上，已知点A1坐标为（1，0），则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 首先根据规律得出OA1=1，OA2=2，OA3=4，OA4=8，所以可得OAn=2n−1，再根据点Bn在直线上，进而解答即可． 【详解】 解：，，，…，， ∴OA2=2，OA3=4，OA4=8，由此得出OAn=2n−1， ∴OA2024=22024， ∴点的坐标为， 点B1，B2，…，Bn在直线上，是直角三角形， 点的横坐标x=22024，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为： 【点睛】 此题考查了坐标规律的探究，点在直线上的坐标特征，关键是根据规律得出OAn=2n−1进行解答． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象． 【答案】，图见解析 【分析】根据S△ADP=•DP•AD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点．故0＜PD≤DC，得到函数关系式后再画出图象，画图象时注意自变量取值范围． 【详解】解：S△ADP=•DP•AD=x×4=2x， ∴y=2x（0＜x≤4）； 故此函数是正比例函数，图象经过（0，0）（1，2）， 因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段． 如图所示： 【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方． 【经典例题十二 正比例函数的性质】 【例12】（2024·广东清远·二模）设边长为的正方形的面积为，y是x的函数，该函数的图像是如图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出y与x的函数关系式，然后根据关系式、自变量的取值范围即可解答． 【详解】解：∵正方形的面积为与边长为的关系式为：， ∴排除D选项； ∵正方形的边长为非负数，即， ∴选项A、B不符合题意， ∴只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正比例函数解析式，正确确定自变量的取值范围是解答本题的关键． 1．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可． 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点代入求出，得，设点，表示出，以为点的高是A点纵坐标7，根据三角形面积求得a的值，进而写出点C坐标． 【详解】解：∵在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； 设点C的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点C的坐标是或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【经典例题十三 用表格表示变量间的关系】 【例13】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案． 【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加， ， 即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为， 故选：B． 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的小红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度，小红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 小红发现，烧了时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（    ） A．加热，油的温度是 B．估计这种食用油的沸点温度约是 C．在一定范围内，每加热，油的温度升高 D．加热，油的温度是 【答案】D 【分析】根据表格中的数据得：每加热，温度升高，由此逐一进行分析即可得． 【详解】解：A、由表可知，加热，油的温度是，故A正确，不符合题意； B、∵烧了时，油沸腾了，∴这种食用油的沸点温度，故B正确，不符合题意； C、由表可知，在一定范围内，每加热，油的温度升高，故C正确，不符合题意； D、加热，油的温度，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 【答案】－125 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，y＝x3， 当x＝﹣5时，y＝（﹣5）3＝﹣125， 故答案为：﹣125． 【点睛】本题考查了用表格表示变量间的关系，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图已知的面积是平方厘米，厘米，在边上有一动点，连接，设厘米，平方厘米． (1)写出与之间的关系式 (2)用表格表示当从变到时每次增加，的相应值 (3)当每增加时，如何变化说明你的理由 【答案】(1) (2)见解析 (3)当每增加时，增加 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，求函数值的变化情况： （1）过点作于点，则既是中边上的高，也是中边上的高，根据三角形面积公式求出厘米，进而根据三角形面积计算公式列出对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求函数关系式求解即可； （3）求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，则既是中边上的高，也是中边上的高， ∵， ∴， ∴厘米， ∵， ∴，即； （2）解：列表如下： 厘米 平方厘米 （3）解：当每增加时，增加理由如下： ， 当每增加时，增加． 【经典例题十四 用关系式表示变量间的关系】 【例14】（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3千米以内收费8元，超过3千米，每增加1千米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 1．（23-24八年级上·北京东城·期末）下面的四个问题中都有两个变量： ①正方形的面积与边长； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意分别表示出变量之间的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①正方形的面积与边长，则，故不符合题意； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长，则，即，故符合题意； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间，则，故符合题意； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，则，故不符合题意； 综上所述，符合题意的有②③， 故选：C． 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据“油箱内剩油量油箱内原有油量耗油量”写出y与x的关系式，将代入y与x的关系式，求出x的最大值，从而写出x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 当时，得，解得， ， 与x的关系式为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】(1)（或）的长，长方形的面积． (2)； (3)长方形的面积从变到． 【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法． （1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积长宽求解； （2）分别代入两值求解即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积． 故答案为：（或）的长，长方形的面积． （2）长方形的面积，即， 答：长方形的面积与之间的关系式为：． （3）当时，， 当时，， 答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 【经典例题十五 用图象表示变量间的关系】 【例15】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 1．（23-24八年级上·山西太原·期末）某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示了这家公司的日薪计算方式： 一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶牛奶，每瓶多0.4元． 下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等量关系的知识，由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日新与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，解题的关键是根据题意，判断出日薪与送奶数量的关系式即可． 【详解】解：由题意可知，日日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日新与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前， ∴选项A符合题意， 故选：A． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． (1)在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； (2)林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； (3)若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 【答案】(1)自变量：小球滑行的时间，因变量：小球滑行的速度 (2)①4；②当小球的滑行时，小球的速度为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题为运动型综合题，考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点代表的实际 意义，理解动点的完整运动过程． （1）熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量． （2）①由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，即可求解；②由可知，，用时，所以点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行时，速度为； （3）当小球上坡至速度为0时，求出平均速度，进而求出路程与20比较即可． 【详解】（1）解：在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化． 故答案为：小球滑行的时间 ，小球滑行的速度． （2）解：①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为， 小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为； ②， ，则用时， 点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行到时，速度为； （3）解：由图象知，当小球到达点C时速度为，速度为0时的，运动了， 故段的． 第一次在段运动时的路程． ， 达不到斜板顶端． 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数． 【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意； 故选：D． 2．（2024·重庆九龙坡·一模）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出时y的值，再将、代入计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，，即， 解得：， 故选：A． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论：当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式． 【详解】直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分， 两部分的面积分别为3和6， 当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图， 则， ，解得， ， 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 此时直线的解析式为； 当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则， ，解得， ，， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， 此时直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 故选：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了正方形的性质． 4．（24-25八年级上·全国·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息，观察图像可解答①；由图像可得运动过程，进而判断②；根据甲在比乙多行驶了，可判断③；最后分：两人相遇后，甲未到达C村，和甲已到达C村时两种情况，求出时间即可． 【详解】由图像可知，当时，， 所以A，B两村相距． 所以①正确； 由图像可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达了C村，之后两人之间的距离开始减小，最后相遇在C村． 所以②正确； 甲每小时比乙多骑行的路程为． 所以③正确； 乙的速度为，甲的速度是． 当两人相遇后，甲未到达C村时，， 当两人相遇后，甲已到达C村时，． 综上所述，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④正确． 综上正确的有①②③④． 故选：D． 5．（2024·重庆渝中·二模）如图所示是我国现存最完整的古代计时工具——元代铜壶滴漏，该滴漏从上至下通过多级滴漏，使得上层“壶”中的水可以匀速滴入最下层的圆柱形“壶”中，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时辰，如果用表示时间，用表示木箭上升的高度，那么下列图象能表示与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最下层的“壶”是圆柱形，可得最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，进而即可判断求解． 【详解】解：∵最下层的“壶”是圆柱形， ∴最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，即y与x的函数图象是正比例函数图象， 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键正确解读题意和函数图象． 6．（24-25八年级上·江西吉安·期中）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0，列出不等式组，计算即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 即，且， 故答案为：，且． 7．（24-25八年级上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数的自变量取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握相关知识．根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，假设，两边同时平方并整理后可得：，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 函数为， ， 假设，即， 两边同时平方并整理后可得：， ， ， 解得：，， 当时，，而， 是增根，舍去， 的解为， 则时，， 综上所述，函数的定义域为且， 故答案为：且． 8．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）长方形的周长为，其中一边为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据题意表示出另一边长，再利用矩形面积求法得出答案即可，正确表示出矩形的另一边长是解此题的关键． 【详解】解：∵长方形的周长为，其中一边为（其中）， ∴另一边长为， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·广东清远·单元测试）如图是小明从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）的图象，观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有 （填序号）．   【答案】①②④ 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得是解题关键． 根据图象的纵坐标，可判断①，根据图象的横坐标，可判断②，根据图象的横坐标、纵坐标，可判断②③． 【详解】解：①由图象的纵坐标可以看出学校离小明家1000米，故①正确； ②由图象的横坐标可以看出小明用了20分钟到家，故②正确； ③由图象的纵横坐标可以看出，小明前10分钟走的路程较少，故③错误； ④由图象的纵横坐标可以看出，小明后10分钟比前10分钟走得快，故④正确； 故答案为：①②④． 10．（23-24九年级·江苏苏州·自主招生）我们引入记号表示某个函数，用表示时的函数值．例如函数可以记为，并有，． 狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”．关于狄利克雷函数，下列说法： 对于任意的实数， 对于任意的实数， 存在一个不等于的常数，使得对于任意的都有 对于任意两个实数和，都有． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了狄利克雷函数，有理数和无理数，根据题意狄利克雷函数即可判断，解题的关键是正确理解题意，掌握有理数和无理数的概念． 【详解】解：，故符合题意； 若是有理数，则，，故不符合题意； 若是有理数，则是有理数，若是无理数，则是无理数，因此 ，故符合题意； 令，若是有理数，则是有理数，若是无理数，则是无理数， ∴，故符合题意； 若，都是无理数，，则，故不符合题意， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为一组有规律的图案，第1个图案是由4个组成的，第2个图案是由7个组成的，第3个图案是由10个组成的，……．设第n个图案是由y个组成的． (1)求y与n之间的函数表达式； (2)第100个图案是由多少个组成的？ 【答案】(1) (2)第100个图案是由301个成的 【分析】本题考查了整式——图形类规律探究，解题的关键是读懂题意，找出图案间的规律，并列出代数式． 【详解】（1） 解：根据题意：第1个图案由4个组成， 第2个图案由7个组成，； 第3个图案由10个组成，； 设第n个图案由y个组成， 则； （2）当时，， 故第100个图案是由301个组成的． 12．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查待定系数法及正比例函数的图象和性质，熟知待定系数法及正比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再按要求画出函数图象即可． （2）将和分别代入函数关系式即可解决问题． 【详解】（1）设正比例函数的解析式为， 则， 解得， 所以这个正比例函数的解析式为． 函数图象如图所示， （2）将代入得， ； 将代入得， ； 因为， 所以． 13．（24-25八年级上·上海·期中）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 【答案】(1)； (2)甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； (3)当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键． （）根据函数图象，两个相距为时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （）由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时，即可求出甲的速度，根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度； （）当乙到达终点地时，求出甲离开出发地地的路程，即为甲乙两人的距离． 【详解】（1）解：由图象可得，在点时，，此时两人相遇， 点之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点表示两人距离为，此时甲到达终点， 故答案为：； （2）解：由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时， ∴甲的速度为（千米时）， 当时，两人相遇 ， 两人的速度之和为（千米时）， ∴乙的速度为（千米时）， 答：甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； （3）解：当乙到达终点地时，甲离开出发地地有（千米）， ∴当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 14．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标， （2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解； （3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 15．（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有理的问题：盒子的体积V（单位：）与底面边长x（单位：）之间有某种函数关系．于是他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)【建立模型】设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，∴________（用含x的代数式表示）．① 将①代入长方体的体积公式，得________．② 可知，V是x的函数，自变量的取值范围是； (2)【探究函数】根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算（精确到0.01），得到了V与x的几组对应值： … 0.25 0.50 0.73 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.00 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在上画的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； (3)【解决问题】结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为________（精确到0.01）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②或 【分析】本题考查了函数图象以及分式的乘法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）把代入计算即可得解； （2）用平滑的曲线连接即可得解； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 正比例函数的图像性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 常量与变量 题型二 函数的概念 题型三 函数解析式 题型四 求自变量的取值范围 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数图象识别 题型七 从函数的图象获取信息 题型八 用描点法画函数图象 题型九 动点问题的函数图象 题型十 正比例函数的定义 题型十一 正比例函数的图象 题型十二 正比例函数的性质 题型十三 用表格表示变量间的关系 题型十四 用关系式表示变量间的关系 题型十五 用图象表示变量间的关系 知识点1.变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点2.函数的定义域与函数值 1．函数自变量的取值范围（定义域） 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 2．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点3.正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点4.正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点5.正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【经典例题一 常量与变量】 【例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）设半径为r的圆的周长为C，则C＝2πr，下列说法错误的是(   ) A．常量是π和2 B．常量是2 C．用C表示r为 D．变量是C和r 1．（23-24八年级上·陕西·单元测试）在圆的周长公式C＝2πr中，变量是(　　) A．C，2，π，r B．π，r C．C，r D．r 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）球的表面积S与半径R之间的关系是S=4πR2 ． 对于各种不同大小的圆，请指出公式S=4πR2中常量是 ，变量是 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）为迎接“创城活动”，银川市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元． (1)每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？ (2)需购买A、B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱a个，求购买垃圾箱的总费用（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式． 【经典例题二 函数的概念】 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 1．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）已知：表格中x，y之间存在某种对应关系f，记（其中，） x … 1 100 10000 … y … a 1 10 b … 则__________，__________． （2）根据（1）中的对应关系f，填空： 若，则__________． 若，则． 【经典例题三 函数解析式】 【例3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）一个长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，在平面直角坐标系中，点，，其中a、b是方程组的解，点M为线段的中点，点C为x轴负半轴上一点，，连接，．    (1)求点A、B、C的坐标； (2)点P从点O出发，沿的方向以每秒2个单位的速度向终点A运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t，请用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围： (3)在（2）的条件下，在点P运动过程中，当的面积等于的面积时，求t的值． 【经典例题四 求自变量的取值范围】 【例4】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知函数，则自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 1．（2024·浙江杭州·二模）某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论： ①函数的图象与轴有交点； ②函数的图象与轴没有交点： ③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上． 以上结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 3．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【经典例题五 求自变量的值或函数值】 【例5】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．当与时，函数值相等 D．当时， 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知直线：与直线：交于点，则代数式取最大值时，点到原点的距离为 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【经典例题六 函数图象识别】 【例6】（23-24八年级上·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁阜新·中考真题）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班． 3．（2024·广东深圳·一模）【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 【经典例题七 从函数的图象获取信息】 【例7】（24-25八年级上·上海宝山·期中）甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离y（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是（    ） ①乙的速度为7千米/时；    ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距A地21千米；   ④A、B两地距离27千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）乐乐和姐姐一起出去运动，两人同时从家出发．沿相同路线前行，途中姐姐有事返回，乐乐继续前行，分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，乐乐和姐姐在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间（分）之间的函数关系如图所示．下列结论中错误的是（       ） A．两人前行过程中的速度为米分 B．的值是，的值是 C．姐姐返回时的速度为米分 D．运动分钟时，两人相距米 2．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲跑步时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙的速度为 米秒． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知A、B两城由笔直的铁路连接，动车甲从A向B匀速前行，同时动车乙从B向A匀速前行，到达目的地时停止，其中动车乙速度较快，设甲乙两车相距，甲行驶的时间为，y关于t的函数图象如图所示． (1)填空：动车甲的速度为 ，动车乙的速度为 ； (2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义： (3)两车何时相距？ 【经典例题八 用描点法画函数图象】 【例8】（23-24八年级上·福建龙岩·期末）小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课前预习）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ． 3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长． 在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了种有机肥对这两种植物增长高度的影响： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 (1)通过分析数据，发现与之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数的图像； (2)画出关于的图像并观察图像，补全表格；（结果保留小数点后一位） (3)实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）． 【经典例题九 动点问题的函数图象】 【例9】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 1．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）如图1，四边形是正方形，点在直线上，．直线沿方向平行移动，设移动离为．直线经过的阴影部分面积为．那么表示与之间函数关系的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 3．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 【经典例题十 正比例函数的定义】 【例10】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 1．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知下列函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣x；③y＝4x；④．其中属于正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）若是x的正比例函数，则 ． 3．（23-24八年级上·吉林·期中）已知关于x的正比例函数． (1)已知点在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 【经典例题十一 正比例函数的图象】 【例11】（23-24八年级上·河南周口·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C． D．0或 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）甲、乙两地相距50千米，若一辆汽车以50千米/小时的速度从甲地到乙地，则汽车距乙地的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)之间的关系式s＝50－50t(0≤t≤1)中，常量的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·山东济南·一模）如图，，，，…，都是直角三角形，直角顶点A1，A2，…，An在x轴上，且，，…，，点B1，B2，…，Bn在直线上，已知点A1坐标为（1，0），则点的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，设，求的面积与之间的函数关系式，并画出这个函数的图象． 【经典例题十二 正比例函数的性质】 【例12】（2024·广东清远·二模）设边长为的正方形的面积为，y是x的函数，该函数的图像是如图中的（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是 ．    3．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【经典例题十三 用表格表示变量间的关系】 【例13】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的小红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度，小红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 小红发现，烧了时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（    ） A．加热，油的温度是 B．估计这种食用油的沸点温度约是 C．在一定范围内，每加热，油的温度升高 D．加热，油的温度是 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）变量x，y的一些对应值如表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -8 -1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图已知的面积是平方厘米，厘米，在边上有一动点，连接，设厘米，平方厘米． (1)写出与之间的关系式 (2)用表格表示当从变到时每次增加，的相应值 (3)当每增加时，如何变化说明你的理由 【经典例题十四 用关系式表示变量间的关系】 【例14】（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·北京东城·期末）下面的四个问题中都有两个变量： ①正方形的面积与边长； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 3．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【经典例题十五 用图象表示变量间的关系】 【例15】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 1．（23-24八年级上·山西太原·期末）某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示了这家公司的日薪计算方式： 一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶牛奶，每瓶多0.4元． 下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． (1)在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； (2)林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； (3)若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆九龙坡·一模）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级上·全国·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．（2024·重庆渝中·二模）如图所示是我国现存最完整的古代计时工具——元代铜壶滴漏，该滴漏从上至下通过多级滴漏，使得上层“壶”中的水可以匀速滴入最下层的圆柱形“壶”中，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时辰，如果用表示时间，用表示木箭上升的高度，那么下列图象能表示与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江西吉安·期中）在函数中，自变量的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·上海·期中）函数的定义域为 ． 8．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）长方形的周长为，其中一边为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为 ． 9．（23-24八年级上·广东清远·单元测试）如图是小明从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）的图象，观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有 （填序号）．   10．（23-24九年级·江苏苏州·自主招生）我们引入记号表示某个函数，用表示时的函数值．例如函数可以记为，并有，． 狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”．关于狄利克雷函数，下列说法： 对于任意的实数， 对于任意的实数， 存在一个不等于的常数，使得对于任意的都有 对于任意两个实数和，都有． 其中正确的有 （填序号）． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为一组有规律的图案，第1个图案是由4个组成的，第2个图案是由7个组成的，第3个图案是由10个组成的，……．设第n个图案是由y个组成的． (1)求y与n之间的函数表达式； (2)第100个图案是由多少个组成的？ 12．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 13．（24-25八年级上·上海·期中）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 14．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有理的问题：盒子的体积V（单位：）与底面边长x（单位：）之间有某种函数关系．于是他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)【建立模型】设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，∴________（用含x的代数式表示）．① 将①代入长方体的体积公式，得________．② 可知，V是x的函数，自变量的取值范围是； (2)【探究函数】根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算（精确到0.01），得到了V与x的几组对应值： … 0.25 0.50 0.73 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.00 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在上画的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象； (3)【解决问题】结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为________（精确到0.01）． 学科网（北京）股份有限公司 $$