第一章直角三角形的边角关系单元检测卷 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第 1页，共 6页 2024-2025 学年北师大九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系 单元检测卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在直角三角形中����的值为12，则����的值等于( ) A. 12 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 2.在�� △ ���中，∠� = 90°，∠� = 35°，�� = 7，则��的长为( ) A. 7��� 35° B. 7cos35∘ C. 7��� 35° D. 7��� 35° 3.某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门�测得历下亭�在北偏东 37°方向，继续向北走 105�后到达游 船码头�，测得历下亭�在游船码头�的北偏东 53°方向．请计算一下南门�与历下亭�之间的距离约为(    )(参 考数据：���37° ≈ 34，���53° ≈ 4 3 ) A. 225� B. 275� C. 300� D. 315� 4.已知，在�� △ ���中，∠� = 90°，若���� = 23，�� = 4，则��长为( ) A. 6 B. 4 55 C. 8 3 D. 2 13 5.如图，�为跷跷板��的中点，支柱��与地面��垂直，垂足为点�，当跷跷板的一端�着地时，跷跷板�� 与地面��的夹角为 20°，测得�� = 1.6�，则��的长为( ) A. 0.8���20∘ B. 0.8 ���20∘ C. 0.8���20° D. 0.8���20° 6.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为 8 �， 坡面上的影长为 4 �，已知斜坡的坡角为 30°，同一时刻，一根长为 1 �、垂直于地面放置的标杆在地面上 的影长为 2 �，则树的高度为(    )． A. (6 + 3)� B. 12 � C. (4 + 2 3)� D. 10 � 第 3题图 第 5题图 第 6题图 第 2页，共 6页 7.如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱��垂直于��，垂足为点�，�� = 1.6 米.当遮阳伞撑开至如图所 示的位置时，∠��� = 20°，则此时伞内半径��的长度为( ) A. 1.6���20°米 B. 1.6���20°米 C. 1.6���20∘米 D. 1.6 ���20∘米 8.某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ ���，已知���� = 13，∠� = 45°， 则左视图的面积是( ) A. 2 3 B. 4 3 C. 4 D. 2 9.圭表(如图 1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称 为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时， 日影便会投影在圭面上.图 2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表��垂直圭��.已知该市冬 至正午太阳高度角(即∠���)为�，夏至正午太阳高度角(即∠���)为�，若表��的长为�，则圭面上冬至线 与夏至线之间的距离(即��的长)为( ) A. ����� − ����� B. �tan�− � tan� C. ����� − ����� D. � sin� − � cos� 10.如图，在平面直角坐标系中，点�是反比例函数� = �1� (�1 > 0)第一象限内图象上一点，过点�分别作�� ⊥ �轴，�� ⊥ �轴，交反比例函数� = �2� (�2 > 0)的图象于点�和点�，过点�作�� ⊥ �轴于点�，连结��，��. 若��平分∠���，tan∠��� = 12，则 �1 �2 的值为( ) A. 13 B. 1 2 C. 2 5 D. 3 8 第 7题图 第 8题图 第 9题图 第 10题图 第 3页，共 6页 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.在锐角三角形���中，已知∠�，∠�满足 sin� − 22 2 + | 3 − tan�| = 0，则∠� =________． 12.如图，已知斜坡��的坡度为 1： 3，若铅直高度��为 150�，则坡长��为______�. 13.如图，一架长为 6�的梯子��斜靠在一竖直的墙��上，这时测得∠��� = 70∘，若梯子的底端�外移到� 处，则梯子顶端�下移到�处，这时又测得∠��� = 50∘，那么��的长度约为 �(参考数据：sin70∘ ≈ 0.94， sin50∘ ≈ 0.77，cos70∘ ≈ 0.34，cos50∘ ≈ 0.64)． 14.如图，在�� △ ���中，∠� = 90°，以点�为圆心，任意长为半径作弧，分别交��，��于点�，�，再分 别以点�，�为圆心，大于12��之长为半径作弧，两弧相交于点�，射线��交边��于点�.若�� = 8，���� = 4 3， 则��的长为______． 15.如图，将平行四边形沿��折叠，点�的对应点恰好为��边上的 三等分点�(�� < ��)，若�� = 5，�� = 6，���� = 34，则�� = ______ 三、计算题：本大题共 2 小题，共 16 分。 16.计算： (1) 3sin60∘ − 2cos45∘ + 3 8; (2)( − 12 ) 0 + 4cos60∘ ⋅ sin45∘ − (tan60∘ − 2)2． 17.计算：(1)2cos30∘ − 2sin45∘ − tan60∘ (2)���245∘ − tan60∘tan30∘ + sin60∘ − 1 − −tan45∘ 2025 第 12 题图 第 13 题图 第 15 题图 第 4页，共 6页 四、解答题：本题共 6 小题，共 59 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.(本小题 9 分)如图，某中学在主楼的顶部�和大门的上方�之间挂一些彩旗，经测量，得到大门的高度是 5�，大门距主楼的距离是 30�，在大门处测得主楼顶部的仰角是 30°，而当时测倾器离地面 1.4�.求： (1)学校主楼的高度(结果精确到 0.01�) (2)大门顶部与主楼顶部的距离(结果精确到 0.01�) 19.(本小题 9 分)某学校有一块三角形( △ ���)空地，其中�在�的正北方向 80 米处，�在�的北偏东 75°方 向和�的北偏东 30°的交点处． (1)求�和�处之间的距离；(结果保留根号) (2)学校准备用 45 万元改造该地块，经招标每平米费用 200 元，通过计算，改造费用是否够？(参考数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732) 20.(本小题 9 分)在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼��的高度，如图，在山坡的坡脚� 处测得大楼顶部�的仰角是 58°，沿着山坡向上走 75 米到达�处，在�处测得大楼顶部�的仰角是 22°，已 知斜坡��的坡度� = 3：4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求大楼��的高度．(图中的点�，�， �，�，�均在同一平面内，�，�，�在同一水平线上，参考数据：���22° ≈ 0.4，���58° ≈ 1.6) 第 5页，共 6页 21.(本小题 10 分)某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图 1，四边形����为矩形，��长 3 米， ��长 1 米，点�与点�重合．道闸打开的过程中，边��固定，连杆��，��分别绕点�，�转动，且边��始 终与边��平行． (1)如图 2，当道闸打开至∠���  = 45°时，边��上一点�到地面的距离��为 1 米，求点�到��的距离�� 的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽 1.8 米，高 1.6 米．当道闸打开至∠���  = 36°时，轿车能否驶入小区？请 说明理由．(参考数据：���36° ≈ 0.59，���36° ≈ 0.81，���36° ≈ 0.73) 22.(本小题 11 分)问题呈现：如图①，在边长为 1 的正方形网格中，连接格点�、�和�、�，��和��相交 于点�，求 tan∠���的值． 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现问题中∠��� 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点�、�，可得��//��， 则∠��� = ∠���，连接��，那么∠���就变换到�� △ ���中． (1)问题解决：(1)直接写出图①中 tan∠���的值为________； (2)如图②，在边长为 1 的正方形网格中，��与��相交于点�，求 cos∠���的值； (2)思维拓展：(3)如图③，�� ⊥ ��，�� = 4��，点�在��上，且�� = ��，延长��到�，使�� = 2��， 连接��交��的延长线于点�，用上述方法构造网格求∠���的度数． 第 6页，共 6页 23.(本小题 11 分)我国有登高祈福的传统．春节期间，在山西省永济市鹳雀楼景区，游客纷纷登上鹳雀楼， 极目远眺黄河，感受唐代诗人王之涣《登鹳雀楼》“欲穷千里目，更上一层楼”的意境．某“综合与实践” 小组来到鹳雀楼景区，开展了测量鹳雀楼高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用寒假完成了实地 测量．他们在鹳雀楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了鹳雀楼顶端的仰角以及这两个测 点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三 次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)： 课题测量山西省永济市鹳雀楼的高度 成员组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量 工具 测角仪，皮尺等 测量 示意 图 说明：线段��表示鹳雀楼，测角仪的高度�� = �� = 1.5�，测点�，� 与�在同一条水平直线上，�，�之间的距离可以直接测得，且点�，�，�， �，�，�都在同一竖直平面内，点�，�，�在同一条直线上，点�在�� 上 测量 数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 ∠���的度数 54.6∘ 54.8∘ 54.7∘ 54.7∘ ∠���的度数 62.6∘ 62.5∘ 62.7∘ 62.6∘ �，�之间的距离13.81�13.85� 13.83� (1)任务一：三次测量�，�之间的距离的平均值是_ _______�． (2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出鹳雀楼的高度．(结果精确到 0.1�.参考 数据：sin54.7∘ ≈ 0.82，cos54.7∘ ≈ 0.58，tan54.7∘ ≈ 1.41，sin62.6∘ ≈ 0.89，cos62.6∘ ≈ 0.46，tan62.6∘ ≈ 1.93) 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】解：原式 原式  17.【答案】解：原式 ； 原式 ．  18.【答案】解：过作交于， 且， ， ． 过作交于， 且， ， 在中， ，， 由勾股定理得： ． 答：学校主楼的高度为米，大门顶部与主楼顶部的距离为米．  19.【答案】解：如图，过点作于点， ， 由题意得：米，，， 米， ， ， 是等腰直角三角形， 米，米； 改造费用够用，理由如下： ， 米， 由可知，米， 米， 平方米， 所需费用为：元， ， 改造费用够用．  20.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则，， 斜坡的坡度：， ， 设米，则米， 在中，米， 米， ， ， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 米， 在中，， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 米， 大楼的高度约为米．  21.【答案】解：在中， ，， ， ， ； 当时，，则， 在中， ， ， ， ， ， 轿车能驶入小区．  22.【答案】【小题】 解法一：如图，取格点，连接、，则又，，是等腰直角三角形．，，，． 解法二：如图，取格点，连接、，则，又，，，为等腰直角三角形．，，，． 【小题】 构造网格如图设每个小正方形的边长为，取格点，连接、，则，又，，，为等腰直角三角形，，．   23.【答案】【小题】 【小题】 由题意可得四边形和四边形是矩形， ， 在中，， ， 同理：， ， ， 又，，，，， ， ， ， 答：鹳雀楼的高度约为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系单元检测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在直角三角形中的值为，则的值等于(    ) A. B. C. D. 2.在中，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东方向，继续向北走后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北偏东方向．请计算一下南门与历下亭之间的距离约为参考数据：， A. B. C. D. 第6题图 第5题图 第3题图 4.已知，在中，，若，，则长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，垂足为点，当跷跷板的一端着地时，跷跷板与地面的夹角为，测得，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为，坡面上的影长为，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为，则树的高度为． A. B. C. D. 7.如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点，米当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 第8题图 第7题图 8.某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是(    ) A. B. C. D. 9.圭表如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺称为“圭”，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上图是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭已知该市冬至正午太阳高度角即为，夏至正午太阳高度角即为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离即的长为(    ) A. B. C. D. 第10题图 第9题图 10.如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数第一象限内图象上一点，过点分别作轴，轴，交反比例函数的图象于点和点，过点作轴于点，连结，若平分，，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在锐角三角形中，已知，满足，则________． 12.如图，已知斜坡的坡度为，若铅直高度为，则坡长为______ 第12题图 第13题图 13.如图，一架长为的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时测得，若梯子的底端外移到处，则梯子顶端下移到处，这时又测得，那么的长度约为          参考数据：，，，． 14.如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点若，，则的长为______． 15.如图，将平行四边形沿折叠，点的对应点恰好为边上的三等分点，若，，，则 ______． 三、计算题：本大题共2小题，共16分。第15题图 16.计算： ． 17.计算： 四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗，经测量，得到大门的高度是，大门距主楼的距离是，在大门处测得主楼顶部的仰角是，而当时测倾器离地面求： 学校主楼的高度结果精确到 大门顶部与主楼顶部的距离结果精确到 19.本小题分某学校有一块三角形空地，其中在的正北方向米处，在的北偏东方向和的北偏东的交点处． 求和处之间的距离；结果保留根号 学校准备用万元改造该地块，经招标每平米费用元，通过计算，改造费用是否够？参考数据：， 20.本小题9分在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚处测得大楼顶部的仰角是，沿着山坡向上走米到达处，在处测得大楼顶部的仰角是，已知斜坡的坡度：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，求大楼的高度．图中的点，，，，均在同一平面内，，，在同一水平线上，参考数据：， 21.本小题分某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图，四边形为矩形，长米，长米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． 如图，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，求点到的距离的长． 一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．参考数据：，， 22.本小题分问题呈现：如图，在边长为的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值． 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出或构造出一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点、，可得，则，连接，那么就变换到中． 问题解决：直接写出图中的值为________； 如图，在边长为的正方形网格中，与相交于点，求的值； 思维拓展：如图，，，点在上，且，延长到，使，连接交的延长线于点，用上述方法构造网格求的度数． 23.本小题分我国有登高祈福的传统．春节期间，在山西省永济市鹳雀楼景区，游客纷纷登上鹳雀楼，极目远眺黄河，感受唐代诗人王之涣登鹳雀楼“欲穷千里目，更上一层楼”的意境．某“综合与实践”小组来到鹳雀楼景区，开展了测量鹳雀楼高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用寒假完成了实地测量．他们在鹳雀楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了鹳雀楼顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了三次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表不完整：    课题 测量山西省永济市鹳雀楼的高度 成员 组长：  组员：，， 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：线段表示鹳雀楼，测角仪的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 的度数 的度数 ，之间的距离 任务一：三次测量，之间的距离的平均值是          _______． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出鹳雀楼的高度．结果精确到参考数据：，，，，， 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$