专题05 相似三角形经典模型重难点培优专题训练（7大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题05 相似三角形经典模型 题型导引 题型一：“A”字相似模型 题型二：“8”字相似模型 题型三：母子型相似及射影定理 题型四：旋转相似（手拉手模型） 题型五：K字型相似（一线三等角相似模型） 题型六：三平行模型 题型七：三角形内接矩形模型 知识要点精讲 知识点01、“A”字相似模型 知识点02、“8”字相似模型 知识点03、母子型相似及射影定理 知识点04、旋转相似（手拉手模型） 知识点05、K字型相似（一线三等角相似模型） 知识点06、三平行模型 知识点07、三角形内接矩形模型 重难点题型训练 题型一：“A”字相似模型 1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，P为□ABCD的边上的一点，E，F分别为，的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　 　）    A．24 B．12 C．6 D．10 3．（20-21九年级上·江苏镇江·期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于_________m． 4．（20-21九年级上·上海·阶段练习）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则_________ 5．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 6．（20-21九年级·江苏·自主招生）在△ABC中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围． 7．（20-21九年级上·陕西榆林·期中）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与大雁塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． 8．（21-22九年级上·山东济宁·阶段练习）Rt△ABC中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若△CPQ的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似? 题型二：“8”字相似模型 1．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　 　）    A． B． C． D． 2．（20-21九年级上·海南海口·期末）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 3．（20-21八年级下·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则_________． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是_________． 5．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 6．（2021·上海青浦·一模）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 7．（18-19九年级·全国·课后作业）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 8．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 题型三：母子型相似及射影定理 1．（19-20九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（19-20九年级上·河南平顶山·期末）如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝__________． 4．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC中，点在上，，若，，则线段的长为__________． 5．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 6．（20-21八年级下·山东泰安·期末）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 7．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，，，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 8．（22-23九年级上·湖南株洲·期中）如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与△ABC相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，△MNA为等腰三角形． 题型四：旋转相似（手拉手模型） 1．（2020·四川眉山·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2020·湖北武汉·一模）如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为__________． 3．（21-22九年级上·吉林长春·期末）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 4．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，△ABC中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，△ABC中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 5．（2020·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是△ABC内一点，，，，，直接写出的长． 6．（22-23九年级上·河南周口·期末）在△ABC中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 7．（19-20九年级·浙江金华·期末）如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在△ABC的内部），使得． （1）①求证：； ②若，求的长； （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值； （3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 8．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在△ABC中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将△DBE绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将△DBE绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将△DBE绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将△DBE绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 题型五：K字型相似（一线三等角相似模型） 1．（20-21九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形△ABC中，点，分别是边，上的点．将△ABC沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·广西·二模）如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为__________． 3．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    4．（19-20九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）． (1)求证：△AEF∽△DCE； (2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； (3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 5．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且△ADE是等腰三角形，求此时的长． 6．（2022七年级下·上海·专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 7．（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在△ABC中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 8．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在△ABC中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 题型六：三平行模型 1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为________． 2．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则． 3．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果 如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，，且点C、D位于直线l的同侧，连接，交于点E，则线段的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴，即：． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　； 依据2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　； (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长； (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和R，求的一种作图方法，如图④，作，过点B作的垂线，并在垂线上截取，使点D与点A在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点E，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，发现自己在两路灯下的影长与自身的站定位置具有一定关系，小明从有关部门查得左侧甲路灯的高度为4.8米，右侧乙路灯的高度为6.4米，两路灯之间的距离为12米，已知小明的身高为1.6米，小明在两路灯之间行走（如图所示），并测量相关数据. (1)当小明站在人行横道的中央时（即点是的中点），则小明在两路灯下的影长之和________米； (2)当小明移动到某一点时，，求影长的长度； (3)当小明移动到某一点时，两路灯产生的影长相等（），此时小明距离甲路灯多远？ 题型七：三角形内接矩形模型 1．（20-21九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________． 3．（20-21九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于________． 4．（20-21八年级下·山东东营·期末）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 5．（21-22九年级上·全国·课后作业）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 6．（2019九年级下·甘肃白银·专题练习）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 7．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要把它加工为矩形零件． (1)如果使矩形的长为宽的两倍，且长边在上，其余两个顶点分别在上，则加工成矩形零件的长和宽分别是多少？ (2)如果要使加工的矩形零件面积最大，求矩形零件面积达到最大时的两边长． 8．（20-21九年级下·吉林·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q两点同时从C出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ．当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动．设点Q的运动时间为t秒． （1）在点P的运动过程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代数式表示）； （2）当点M落在AB边上时，t ＝_________s； （3）设矩形CPMQ与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； ( 30 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形经典模型 题型导引 题型一：“A”字相似模型 题型二：“8”字相似模型 题型三：母子型相似及射影定理 题型四：旋转相似（手拉手模型） 题型五：K字型相似（一线三等角相似模型） 题型六：三平行模型 题型七：三角形内接矩形模型 知识要点精讲 知识点01、“A”字相似模型 知识点02、“8”字相似模型 知识点03、母子型相似及射影定理 知识点04、旋转相似（手拉手模型） 知识点05、K字型相似（一线三等角相似模型） 知识点06、三平行模型 知识点07、三角形内接矩形模型 重难点题型训练 题型一：“A”字相似模型 1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（    ） A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵AE=2，EC=3， ∴AC=AE+EC=5， ∵DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，P为□ABCD的边上的一点，E，F分别为，的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　 　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与△ABP面积相等，再由为△BPC的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB， ∴，， ∵为△PCB的中位线， ∴，， ∴△PEF ∽△PBC，且相似比为1：2， ∴，， ∴，故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 3．（20-21九年级上·江苏镇江·期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于_________m． 【答案】3 【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∵△PAB∽△PCD， ∴，（相似三角形对应高之比是相似比） 即：，解得PF＝3．故答案为：3． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键． 4．（20-21九年级上·上海·阶段练习）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则_________ 【答案】108 【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可． 【详解】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H， ∵DE//BC，IG//AB，FH//AC， ∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形， △FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC， ∵， ∴FP：IE：PH=1：2：3， ∴AI：IE：EC=1：2：3， ∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6， S△ABC：S△FDP=36：1， ∴S△ABC=36×3=108．故答案为:108． 【点评】本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方． 5．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：∵BD，分别是与边上的高， ， ， ∴△ADB∽△AEC， ， 即， ， ． 6．（20-21九年级·江苏·自主招生）在△ABC中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围． 【答案】 【分析】作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可． 【详解】解：如图所示，作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点D在AB上，， ∴，， ∴抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为， 当和时，均有， 综上分析，的取值范围是． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键． 7．（20-21九年级上·陕西榆林·期中）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与大雁塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． 【答案】AB=62米 【分析】易证△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，然后根据相似三角形的性质及等量代换可得＝，由此可得关于AC的方程，解方程即可求出AC，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵DC∥AB，HG∥AB， ∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA， ∴＝， ＝， ∵DC＝HG， ∴＝， ∴＝，解得： CA＝120（米）， ∵＝， ∴＝，解得： AB＝62（米）． 答：大雁塔的高度AB为62米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意、灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（21-22九年级上·山东济宁·阶段练习）Rt△ABC中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若△CPQ的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似? 【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案； （2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围； （3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm， ∵AC=20cm， ∴CP=（20-4t）cm， 在Rt△CPQ中， ， 即； ∴秒或秒 （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 题型二：“8”字相似模型 1．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　 　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴．故选：A． 2．（20-21九年级上·海南海口·期末）如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ，AB=CD ∵E为CD的中点， ∴DE：CD=1：2 ∵AB//DE ∽， ：：：4，EF:AF=1:2 设，则， ：：2， ：：：2， ， ， ∵BD是平行四边形ABCD的对角线， ， ， ：：：5． 故选A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用． 3．（20-21八年级下·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则_________． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ，解得：GE＝2，故答案为：2． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是_________． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴，故答案为． 【点评】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 6．（2021·上海青浦·一模）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，根据相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由BE=EF可得与的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的值，-即可得四边形AEFH的面积． 【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8， ∴，=8， ∴，， ∴，， ∵BE=EF=FD， ∴，， ∴BG=AD=4，HD=BG， ∴HD=2； （2）∵BE=EF， ∴=a， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形AEFH的面积=-=． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（18-19九年级·全国·课后作业）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 8．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 题型三：母子型相似及射影定理 1．（19-20九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形． 【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 故选：C． 【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 2．（19-20九年级上·河南平顶山·期末）如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在与中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误． 【详解】A．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； B．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； C．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键． 3．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝__________． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 4．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC中，点在上，，若，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 5．（21-22九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出△ACD∽△ABC；（2）由△ACD∽△ABC；得，，推出△ACD∽△CBD，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵，， ∴△ACD∽△ABC；； （2）∵△ACD∽△ABC；， ∴，， ∴， ∴△ACD∽△CBD， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 6．（20-21八年级下·山东泰安·期末）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）易证△BEG∽△AEB，利用对应边成比例即可解决； （2）由（1）的结论及BE=CE，易证明△CEG∽△AEC，从而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABE=90° ∴∠ABG+∠EBG=90° ∵ ∴∠ABG+∠BAG=90° ∴∠EBG=∠BAG ∴Rt△BEG∽Rt△AEB ∴ ∴ （2）由（1）有： ∵BE=CE ∴ ∴ ∵∠CEG=∠AEC ∴△CEG∽△AEC ∴∠CGE=∠ACE ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴OB=OC ∴∠DBC=∠ACE ∴ 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，，，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为△ABC的理想点,理由见解析；(2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点评】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 8．（22-23九年级上·湖南株洲·期中）如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与△ABC相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，△MNA为等腰三角形． 【答案】(1)10；(2)或时，以点、、为顶点的三角形与△ABC相似；(3)或或时，△MNA为等腰三角形 【分析】(1)根据三角函数解得即可；(2)分①当时和②当时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；(3)分①当时，②当时，③当时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可． 【详解】（1）解： （2）解：解：①当时， ，即，解得：， ②当时， ，即，解得：， 综上所述，或时，以点、、为顶点的三角形与相似， （3）解：①如图3，当时，， 解得：， ②如图4，当时，过点作于， 则∠，，， ， ， ， ，即，解得：， ③如图，当时，过点作于， 则，， ， ， ， 即， 解得：， 综上所述，或或时，为等腰三角形 【点评】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用． 题型四：旋转相似（手拉手模型） 1．（2020·四川眉山·中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD ∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG ∴， 即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF ∴ ∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线 ∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF ∴△HAF∽△FAC ∴ 即 又∵AF=AE ∴ ∴③正确 ④由②知 又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45° ∴DG在正方形另外一条对角线上 ∴DG⊥AC ∴④正确 故选：D． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明． 2．（2020·湖北武汉·一模）如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为__________． 【答案】5 【分析】如图，构造等腰Rt△CBG，∠CBG=90°，则由△CGE∽△CBD，得GE=BD，即可求得点E运动的路径长． 【详解】如图：作GB⊥BC于B，取GB=BC， 当点D与点B重合时，则点E与点G重合， ∴∠CBG=90°， ∴CG=BC，∠GCB=45， ∵四边形CDEF是正方形， ∴CE=DC，∠ECD=45， ∴∠BCD+∠DCG =∠GCE+∠DCG =45， ∴∠BCD =∠GCE，且， ∴△CGE∽△CBD， ∴，即GE=BD， ∵BD=5， ∴点E运动的路径长为GE=BD=5． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．（21-22九年级上·吉林长春·期末）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 【答案】(1)见解析；(2)①8②4﹣4 【分析】（1）利用三角形外角的性质可证等于，再由 等于 ，可证明结论． （2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 相似于 ，即可得出结论．②先求 等于 ，再求 等于 ，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 同理，∠DAE＝45°， ∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°， ∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°， ∴∠BAN＝∠AMC， ∴△BAN∽△CMA； （2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4， ∴AB＝AC＝， ∵△BAN∽△CMA， ∴ ， ∴， ∴BN•CM＝8，故BN•CM的值为8； ②∵BM＝CN， ∴BN＝CM， ∵BN•CM＝8， ∴BN＝CM＝， ∴MN＝BN+CM﹣BC＝，故MN的长为． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面的结论解决新的问题是解题的关键． 4．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，△ABC中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，△ABC中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1)；(2)；(3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在△ABC中，，， ∴，， ∴． 在和中， ，∴，∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，△ABC中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴，解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点评】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 5．（2020·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是△ABC内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：． 【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证； 尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案． 【详解】问题背景：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：连接CE， ∵，， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 由于，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点评】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·河南周口·期末）在△ABC中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. (1)观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． (2)类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 【答案】(1)1，；(2)，，理由见解析 【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果； (2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图②中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果． 【详解】（1）解：，，，， 与都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ，， ； 设与的延长线交于点I，如图①， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为； （2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为， 理由如下： ，， ，， 同理可得：，， ， . ， 即， ， ，， 设交于点G，交于点H，如图②， ， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为． 【点评】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． 7．（19-20九年级·浙江金华·期末）如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在△ABC的内部），使得． （1）①求证：； ②若，求的长； （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值； （3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2． 【分析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论； ②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可； （3）同（2）的方法得出，即可得出结论； 【详解】解：（1）①∵DE∥BC， ∴， 由旋转知，∠EAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACE， ②在Rt△ABC中，AC=BC， ∴， 由①知，△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， ∵△ABD∽△ACE， ， ∴， ∵ ∴ 在Rt△CDE中， 根据勾股定理得，DE=2， 在Rt△ADE中，AE=DE， ∴ （2）由旋转知，∠EAC=∠DAB， ， ∴△ABD∽△ACE， ∵AD=4，BD=3， ∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k， ∵△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2， ∴1+9k2=16-16k2， ∴或（舍）， （3）由旋转知，∠EAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACE， ∵AD=p，BD=n， ∴， ∵△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ACD+∠ABD=90°， ∴∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，， ∵， ， ∴4p2=9m2+4n2． 【点评】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用． 8．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在△ABC中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将△DBE绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将△DBE绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将△DBE绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将△DBE绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1；(2)；(3) 【分析】（1）根据，，，可得△ABC、△DBE均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得△ABC、△DBE均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴△ABC、△DBE均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和△BEC中， ，∴， ∴，即：；故答案为： （2）∵，，， ∴△ABC、△BDE均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和△BEC中， ， ∴ ∴；即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 题型五：K字型相似（一线三等角相似模型） 1．（20-21九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形△ABC中，点，分别是边，上的点．将△ABC沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ，即， ；解得：，使等式有意义， ∴ ＝，故选择：A． 【点评】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．（2020·广西·二模）如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为__________． 【答案】 【分析】过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可． 【详解】过点E作于点G， ∵， ∴设，， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质，；， ， ∴， ∴， ∴， 根据反比例函数的性质，得，解得， ∴， ∴， ∴，解得， ∴，故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握三角函数，折叠的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，结合外角定理可得，即可证明； 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 4．（19-20九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）． (1)求证：△AEF∽△DCE； (2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； (3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相似，证明见解析 (3)存在， 【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论； (2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似； (3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值． 【详解】（1）证明：∵EF⊥EC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°， ∴∠DEC＝∠AFE， 又∵∠A＝∠EDC＝90°， ∴△AEF∽△DCE； （2）解：△AEF∽△ECF． 理由：∵E为AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG， ∴△AEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC． 又∵EF⊥CE， ∴CE垂直平分FG， ∴△CGF是等腰三角形． ∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°， ∴△AEF∽△ECF； （3）解：存在使得△AEF与△BFC相似． 理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况： ①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立； ②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似， 设BC＝a，则AB＝ka， ∵△AEF∽△BCF， ∴， ∴AF＝，BF＝， ∵△AEF∽△DCE， ∴，即， 解得，． ∴存在使得△AEF与△BFC相似． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 5．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且△ADE是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析；(2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得△ABC是等腰直角三角形，所以，当△ADE是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， △ABC是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ △ABC是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 6．（2022七年级下·上海·专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转． (1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状； (2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积； (3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长． 【答案】(1)等边三角形；(2)；(3)4 【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现； （2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积； （3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可． 【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°， 因此直角三角形PEB中，， ∴∠BPE＝30°， ∵∠EPF＝60°， ∴FP⊥BC， 在△BEP和△CPF中， ， ∴△BEP≌△CPF， ∴EP＝PF， ∵∠EPF＝60°， ∴△EPF是等边三角形． （2）过E作EH⊥BC于H， 由（1）可知：FP⊥BC，， 在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°， ∵∠PFE＝60°， ∴∠GFC＝90°， 直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4， ∴GC＝2CF＝8， ∴GB＝GC﹣BC＝2， 直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4， ∴PE＝2，BE＝2， ∴EH＝BE•PE÷BP＝， ∴S△GBE＝； （3）∵在BPE中，∠B＝60°， ∴∠BEP+∠BPE＝120°， ∵∠EPF＝60°， ∴∠BPE+∠FPC＝120°， ∴∠BEP＝∠FPC， 又∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CFP， ∴， 设BP＝x，则CP＝6﹣x． ∴＝， 解得：x＝2或4． 当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2， 过E作EH⊥BC于H， 则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2， ∴PH＝0，即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去； 当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4， 则△BEP是等边三角形， ∴PE＝4．故PE＝4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用． 7．（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在△ABC中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 ，． 【点评】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 8．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在△ABC中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在△ABC和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 题型六：三平行模型 1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为________． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得△BNM: △BCA， ,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴△BNM: △BCA，， ∴；即, 又∵， ∴，解得,故填：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 2．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，，然后根据相似三角形性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】解：∵， ∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC， ∴△CGH∽△CAB， ∴， ∵， ∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB， △BGH∽△BDC， ∴， ∴， ∵AB=2，CD=3， ∴，解得：GH=． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果 如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，，且点C、D位于直线l的同侧，连接，交于点E，则线段的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴，即：． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　； 依据2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　； (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长； (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和R，求的一种作图方法，如图④，作，过点B作的垂线，并在垂线上截取，使点D与点A在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点E，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由． 【答案】(1)两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例；(2)详见解析；(3)小明的方法正确，详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解已知证明过程是解题关键． （1）根据相似三角形的判定和性质分析即可； （2）根据已知证明过程和图形作图即可； （3）证明，得到，再结合，，得出，即可证明． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴，即：． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例； （2）如图，线段表示R的长． 在上取点M，使，在上取点N，使，连接，交于点E，过点E作于点F，则线段为所求线段． （3）小明的方法正确． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，发现自己在两路灯下的影长与自身的站定位置具有一定关系，小明从有关部门查得左侧甲路灯的高度为4.8米，右侧乙路灯的高度为6.4米，两路灯之间的距离为12米，已知小明的身高为1.6米，小明在两路灯之间行走（如图所示），并测量相关数据. (1)当小明站在人行横道的中央时（即点是的中点），则小明在两路灯下的影长之和________米； (2)当小明移动到某一点时，，求影长的长度； (3)当小明移动到某一点时，两路灯产生的影长相等（），此时小明距离甲路灯多远？ 【答案】(1)5；(2)米；(3)离甲路灯米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定与性质是解此题的关键． （1）利用相似三角形的判定与性质分别求得，即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）设米，小明距离甲路灯的距离为米，则米，米，利用相似三角形的判定与性质列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：点是的中点， 米， 由题意得：， ， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，，， 米，米， 米， 米， ， ， ， ， ， （米）； （3）解：设米，小明距离甲路灯的距离为米，则米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 组成方程组得：，解得：， 经检验，它们是原方程的解， 小明距离甲路灯米． 题型七：三角形内接矩形模型 1．（20-21九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性质把它们的直角边用含x的表达式表示出来，列方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：如图，标注字母， ∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形， 由正方形可得： 同理： ∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴OE：PN=OM：PF， ∵EF=x，MO=3，PN=4， 结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4， ∴（x-3）：4=3：（x-4）， ∴（x-3）（x-4）=12，即， ∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7． 故选：C． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边． 2．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴，解得：，故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 3．（20-21九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，，正方形的顶点分别在的边上，在边上，则正方形的边长等于________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出BC长，再根据相似，设出BE，DE，FC长，列方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠DEB=∠A=90°， ∠B=∠B， ∴△ABC∽△EBD， ∴，即， 同理，， 设BE为3x，则DE为4x，FC为， ；解得，， DE=4×=，故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形建立正方形边长与其他线段的关系，根据斜边长设未知数列方程． 4．（20-21八年级下·山东东营·期末）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 【答案】甲同学 【分析】对于甲图：设正方形的边长为x，则，证明 ，利用相似比可计算出；对于乙图：作BH⊥ACN，交DE于N，如图乙，先利用勾股定理计算出AC=2.5，再利用面积法计算出，设正方形的边长为y，则，可求出则，接着证明利用相似比可计算出，然后比较x和y的大小进行判断． 【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm， ∵DE∥AB ∴△CDE∽△CBA ∴；即；∴x＝ 图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P． 由勾股定理得： AC＝ ∵ ∴ 设乙同学加工的桌面边长为ym， ∵DE∥AC ∴△BDE∽△BAC ∴；即 ∴y＝ ∵＞，即x＞y，x2＞y2 ∴甲同学的加工方法更好． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，然后利用三角形相似的性质计算相应线段的长，也考查了正方形的性质． 5．（21-22九年级上·全国·课后作业）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析． 【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求． 【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵DE∥AC ∴ ∴，解得 设正方形的边长为x米，如图乙 ∵DE∥AB；∴ ∴，解得 ∵；∴乙木匠的加工方法符合要求． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 6．（2019九年级下·甘肃白银·专题练习）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 【答案】（1）4.8；（2）2.4；（3）这棵大树在最大水池的边上，方案见解析． 【分析】（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高； （2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值； （3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开大树，可以取三角形ABC三边中点和点C为顶点构成一个矩形，这个矩形面积也达到最大． 【详解】解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CI， ∴×6×8=×10×CI， ∴CI=4.8； ∴△ABC中AB边上的高h=4.8； （2）∵水池是矩形， ∴GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高， ∴，即， ∴GF=10-， ∵10-＞0， ∴0＜x＜， 设水池的面积为y，则 y=x（10-）=-x2+10x， 当x==2.4时，水池的面积最大； （3）∵FE⊥AB，CI⊥AB， ∴FE∥CI， ∴△BFE∽△BCI， ∴FE：CI=BE：BI， 又∵FE=2.4，CI=4.8， 在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6， ∴BE===1.8， ∵BE=1.8＜1.85， ∴这棵大树在最大水池的边上． 为了保护这棵大树，设计方案如图： 【点评】根据题意寻找关系式，准确列出二次函数，由函数的性质，计算出面积最大时GD的值． 7．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要把它加工为矩形零件． (1)如果使矩形的长为宽的两倍，且长边在上，其余两个顶点分别在上，则加工成矩形零件的长和宽分别是多少？ (2)如果要使加工的矩形零件面积最大，求矩形零件面积达到最大时的两边长． 【答案】(1)这个矩形零件的长为，宽为 (2)矩形零件面积达到最大时的两边长分别为60，40． 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键． （1）设，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可； （2）设，用表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用表示出，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意可设矩形的边长，则， ， ， ， ，解得， ， 这个矩形零件的长为，宽为； （2）解：设，矩形的面积为， 由条件可得， ， ，解得． ， ， 当时，有最大值，此时， 矩形零件面积达到最大时的两边长分别为60，40． 8．（20-21九年级下·吉林·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q两点同时从C出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ．当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动．设点Q的运动时间为t秒． （1）在点P的运动过程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代数式表示）； （2）当点M落在AB边上时，t ＝_________s； （3）设矩形CPMQ与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； 【答案】（1）t，4—2t；（2）；（3） 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系即可求解； （2）先由运动知，，，，再判断出得出比例式，建立方程即可得出结论； （3）分三种情况，当0＜t≤时，直接是矩形的面积，当＜t≤2时，利用面积的差即可得出结论，当2＜t≤4时，利用面积的差即可得出结论. 【详解】解：（1）点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动， ，， ， ，故答案为：，； （2），， ，， 四边形是矩形， ， 当点在边上时， ， ， ， ，，故答案为：； （3）当0＜t≤时，如图①， ．，． ； 当＜t≤2时，如图②， 设与相交于点，设与相交于点．则， ． ； 当2＜t≤4时，如图③， 设与相交于点．则． ． 综上所述：． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$