利用相似证明等积式或比例式的证明方法2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

利用相似证明等积式或比例式的证明方法 一、直接用三点定型法 例1. 如图：在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．求证：BD•CD＝BE•CF． 例2.在中，，是中线，．一个以点为顶点的45°角绕点旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点，与交于点，与交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； 二、等线段代换法 例1. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2＝PE•PF． 例2.如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 三、倍数线段代换法 例1.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：△BCF∽△DGF； （2）求证：DF•AB＝BC•DG； （3）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG＝AF•DG． 例2.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF。 求证：①△ABF∽△DBE ② 四、等比代换法 例1. 如图，在中，∥，∥. 求证： 例2. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC•CF＝BC•DF． 五、等积代换法 例1. 如图，在中，是上一点，是内一点，∥，过作的平行线交的延长线于，与交于，求证： 例2. 如图，中，、是高，于，交于，交的延长线于。 求证： 演练： 演练1.如图，中，平分，为上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 演练2. 如图，是上一点，∥，，分别交、于点、，．求证：． 演练3.在中，，是中线，．一个以点为顶点的45°角绕点旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点，与交于点，与交于点． (1)如图，若，求证：； (2)在绕点旋转的过程中，试求证：． 演练4.如图所示，在四边形中，，，分别是，，上的点，连结，，，若， （1）求证： （2）请你探究：如果是以为底边的等腰三角形，则是以为底边的等腰三角形，为什么？ 演练5. 如图，已知是斜边上的高，在的延长线