第02讲 整式与因式分解（课件）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 4大考点精讲+专训 2大中考命题点+14大题型探究 目录 01 考情透视·目标导航 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 04 题型精研·考向洞悉 01 考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 列代数式 代数式求值 整式的加减 幂的运算 整式的乘除 整式的混合运算 ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 将具体数代入代数式进行计算 能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 1. 了解整数指数罪的意义和基本性质； 2. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 3. 能进行简单的整式加减乘除运算； 4. 理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理； 5.灵活运用多种方法化简代数式. 【考情分析】本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，试题形式多样，难度不大，乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底. 因式分解 ★★★ 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 整式的运算 考点三 因式分解 考点四 整式的相关概念 考点二 代数式 考点一 代数式 1. 列代数式 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式 考点一 定义 代数式的书写要求 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 2. 代数式的值 代数式 考点一 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 定义 求代数式的值的步骤 将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 1） 代入 2） 计算 针对练习 代数式 考点一 1．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 C 2．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 方法指导 对求值式子进行变形，并将已知条件转化进行整体代值 ， 解： 针对练习 代数式 考点一 3．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示） 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ． 220 针对练习 代数式 考点一 5．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 03 考点突破·考法探究 整式的运算 考点三 因式分解 考点四 整式的相关概念 考点二 代数式 考点一 整式的相关概念 11 单项式的次数 单项式的系数 1. 单项式 整式的相关概念 考点二 由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 例： 单项式的定义 圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 注意 注意 单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. ∴次数不是14. 单项式次数是（ ） 2＋3＋4=9 是系数 9 次数： 多项式的项 定义 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 2. 多项式 整式的相关概念 考点二 多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式 单项式与多项式统称为整式. 1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式 如 3x²+x+7是二次三项式. 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 3. 整式 多项式的次数 一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 注意 升幂排列与降幂排列 整式的相关概念 考点二 针对练习 1．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 3 2．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 3．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： ，4，，16，，64，……① 0，7，，21，，71，……② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ； 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ． 1024 第一行数的规律为 第二行数的规律为 ． 针对练习 整式的相关概念 考点二 4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴m=45, n=2 45 2 解 析 03 考点突破·考法探究 整式的运算 考点三 因式分解 考点四 整式的相关概念 考点二 代数式 考点一 整式的运算 16 1. 同类项 整式的运算 考点三 相同字母的指数也相同 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准 所含字母相同 缺一不可. 1） 2） 2. 合并同类项 定义 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 一相加两不变 3. 去括号与添括号 整式的运算 考点三 添（去）括号法则： 括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】 去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 4. 整式的加减 运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】 整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 5. 幂的运算 整式的运算 考点三 其中“幂”的底数是“a”，而不是“ ”， 指数相乘是指“3×2” 1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加， 2）幂的乘方：底数不变，指数相乘， 幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变． 即 4）同底数幂的除法：底数不变，指数相减， 任何不等于0的数的0次幂都等于1， （a≠0）. 幂的运算法则中底数a的规定 （m，n都是整数） 即 即 （m，n都是整数） 3）积的乘方：把积中每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘 （n为整数） 即 （a≠0，m，n都为整数） 5）零指数幂： 即 例如： 注意 底数a可以是单项式，也可以是多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 6. 整式的乘除 整式的运算 考点三 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． . 单项式乘单项式运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质 乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 单项式乘多项式运算法则： 1） 2） 3） 多项式乘多项式运算法则： 实质 利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 即 即 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 20 6. 整式的乘除 整式的运算 考点三 4） 单项式除以单项式运算法则： 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5） 多项式除以单项式运算法则： 实质 把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. b 7. 乘法公式 整式的运算 考点三 1） 【平方差公式】 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式 即 等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 特点 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 右侧涂色部分的面积为 所以可以得到 . 2） 【平方差公式的推导】 ①用多项式的乘法推导平方差公式 ②通过面积法推导平方差公式： a 涂色部分的面积 7. 乘法公式 整式的运算 考点三 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 b a a+b a-b 图1 b a 图2 b a b a 图3 图4 7. 乘法公式 整式的运算 考点三 3） 【完全平方公式】 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍 即 特点 右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 左边是两数的和（或差）的平方 口诀 首平方，尾平方， 二倍乘积放中央， 中间符号同前方. 完全平方式的常见变形 （①-⑤基础必须掌握）： ② ③ ④ ⑤ ① ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是 它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和， ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为 4） 【平方差公式的推导】 7. 乘法公式 整式的运算 考点三 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： 它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即 . 8. 整式的混合运算 整式的运算 考点三 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 定义 运算顺序 含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算 整式的运算 考点三 针对练习 1．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． D 2．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． A 整式的运算 考点三 针对练习 3．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 4．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． ． 解析：依题意这个多项式为 故答案为： 解析： 5．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 当，时， 原式 ． 解： ， 整式的运算 考点三 针对练习 03 考点突破·考法探究 整式的运算 考点三 因式分解 考点四 整式的相关概念 考点二 代数式 考点一 因式分解 30 1. 因式分解 因式分解 考点四 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 补充说明 2. 公因式 因式分解 考点四 准确找出多项式各项的公因式. 公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 定义 多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意 3. 提公因式法分解因式 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法 即： 定义 实质： 关键： 乘法分配律的逆用. 4. 公因式法分解因式 因式分解 考点四 定义 运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 5. 因式分解的一般步骤： 观察是否有公因式 公因式提取 有 观察多项式 观察剩余项 平方差公式 完全平方公式 检查每个多项式是否都分解彻底 没有 三项 两项 一提 二套 三检查 针对练习 因式分解 考点四 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． B 2．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（     ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 通过因式分解，得到乘积的形式，找到能被整除的数或式 ， ∵ 能被3整除 ∴的值总能被3整除 B 针对练习 因式分解 考点四 3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． ． 2 04 题型精研·考向洞悉 实际问题中的代数式 题型01 实数的基础 命题点一 求代数式的值 题型02 整式的加减 题型03 幂的混合运算 题型04 整式的乘除 题型05 乘法公式的应用 题型06 整式的化简求值 题型07 整式的混合运算 题型08 判断因式分解的正误 题型09 因式分解 题型10 因式分解的应用 题型11 命题点一整式及其相关计算 题型01实际问题中的代数式 方法指导 代数式的书写要求 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 命题点一整式及其相关计算 题型01实际问题中的代数式 【例1】 （2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量再根据要求列出代数式是解题关键 方法指导 命题点一整式及其相关计算 题型01实际问题中的代数式 【例1】 （2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； 甲棋盒 乙棋盒 原来 现在 10 8 10-a 8+a 列表 【解析】 依题意： 解得： （1） 命题点一整式及其相关计算 题型01实际问题中的代数式 【例1】 （2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 甲棋盒 乙棋盒 原来 现在 列表1 【解析】 （2） m 2m m-a 2m+a 第一次变化后，乙比甲多 命题点一整式及其相关计算 题型01实际问题中的代数式 【例1】 （2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 甲棋盒 乙棋盒 原来 第一次拿 第二次拿 列表2 【解析】 （2） m黑 2m白 m黑-a黑 2m白+a黑 m黑-a黑+a混合 2m白+a黑-a混合 第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子 则： 命题点一整式及其相关计算 题型01实际问题中的代数式 【变式】 （2023·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台M型平板电脑价值多少元？ (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 这是一题代数式与方程结合体；用代数式表示相关量，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键 方法指导 （1）解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得： ， 解得：； ∴这台M型平板电脑的价值为元； （2）解：由题意，得：； 答：她应获得元的报酬． 命题点一整式及其相关计算 题型01实际问题中的代数式 1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 C 2．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 命题点一整式及其相关计算 题型02 求代数式的值. 求代数式的值的步骤： 将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 代入 按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的 计算 44 命题点一整式及其相关计算 题型02 求代数式的值. 【解析】 【例1】（2023·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 直接利用根与系数的关系得出的值，再整体代值 方法指导 由可得： ， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴． 命题点一整式及其相关计算 题型02 求代数式的值. 1．（2024·四川·中考真题）已知，那么的值是 ． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． ， 通过因式分解，得到乘积的形式，整体代值 ， 通过等式变形，得到a²+1与2b的关系，代数式化简得出代数式的值 命题点一整式及其相关计算 题型03整式的加减 【例1】（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． （1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为： ， ∴， ， ∴， ∴当时，； 命题点一整式及其相关计算 题型03整式的加减 【例1】（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 作差比较法 命题点一整式及其相关计算 题型03整式的加减 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（     ） A．a B． C． D． 2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D D 理解同类项定义和合并法则 命题点一整式及其相关计算 题型03整式的加减 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（     ）． 日 一 二 三 四 五 六       1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31   A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 D 日历中的数字规律是解题关键：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数， 方法指导 -1 +6 +7 【解析】 命题点一整式及其相关计算 题型04 幂的混合运算 计算时可能用到以下公式： 1） 2） 3） 4） 5） 同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算. 注意 命题点一整式及其相关计算 题型04 幂的混合运算 【例1】（2024·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【解析】 C 解题的关键： 熟练掌握整式乘除的各类运算法则 方法指导 、与不可以合并，故不符合题意 、，故不符合题意； 、，故符合题意 、，故不符合题意； 命题点一整式及其相关计算 题型04 幂的混合运算 1．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·中考真题）计算： ． 3．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． A 命题点一整式及其相关计算 题型05 整式的乘除 类型 法则 例样 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多项式 单项式÷单项式 多项式÷单项式 方法技巧 系数相乘，字母相乘 利用乘法分配律，化为单项式×单项式 1.要按一定顺序进行,注意做到不重不漏,确定积中每项的符号时,按“同号得正,异号得负”的法则确定. 2.多项式与多项式相乘,仍得多项式，有同类项时要合并同类项. 运算顺序：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号. 1.多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项； 2.计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化. 命题点一整式及其相关计算 题型05 整式的乘除 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】 B 本题考查整式的运算，根据法则计算逐一排查 A、，原选项计算错误； B、，原选项计算正确； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 【例1】 （2024·重庆·中考真题）计算： (1) 命题点一整式及其相关计算 题型05 整式的乘除 解题的关键： 掌握整式的混合计算的运算顺序，分式的混合计算关键是通分和约分∶ （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 方法指导 （1）解： ； (2) （2）解： ． 命题点一整式及其相关计算 题型05 整式的乘除 1．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东青岛·中考真题） 计算： ． C 解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 解：原式 命题点一整式及其相关计算 题型06 乘法公式的应用 【例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ① ② ③  ④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 方法指导 解题的关键： 恒等式等号左右两边的代数式表示用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 【例2】 （2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（     ） A．6 B． C． D．4 D 命题点一整式及其相关计算 题型06 乘法公式的应用 解：由得：， ∴ 方法指导 解题的关键： 正确应用乘法公式化简运算。 完全平方公式 平方差公式 命题点一整式及其相关计算 题型06 乘法公式的应用 1.（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”． 例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究． 若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 第1至第10个智慧优数分别为： ，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为： ，，，，，，，，，， 第21个智慧优数， 第22个智慧优数为， 第23个智慧优数为 【解析】 从=3，=1开始将相邻两个整数代入公式逐个计算，找出结果 命题点一整式及其相关计算 题型07 整式的化简求值 整体代入法/间接代入法求值 从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. 将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值 给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值. 【整体代入法】 【间接代入法】 【赋值法】 命题点一整式及其相关计算 题型07 整式的化简求值 【例1】 （2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 2028． 方法指导 解题的关键： 利用一元二次方程的解满足方程以及根与系数关系求得： 𝑎²+2024𝑎=4， 𝑎+𝑏=−2024 命题点一整式及其相关计算 题型07 整式的化简求值 【变式】 1.（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ． 解：由得： ，， ∴ 2023 方法指导 解题的关键： 利用等式变形得到相关代数式，再整体代入进行降次 1．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数， 且，则的值为 ． 命题点一整式及其相关计算 题型07 整式的化简求值 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时， 代数式的值为 ． 1 3.（2024·北京·中考真题）已知， 求代数式的值. 2 ∵， ∴， ∴原式． 解：原式 ， 分式约分运算 等式变形 命题点一整式及其相关计算 题型08 整式的混合运算 【例1】（2022·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 方法指导 解题的关键： 熟记特殊角的三角函数值、平方差公式 （1）解：原式 = = =1； （2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b =2a+3b． 命题点一整式及其相关计算 题型08 整式的混合运算 （2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． (1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． （1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”； 理由： ∵，， ∴1022不是“勾股和数”； ∵， ∴5055是“勾股和数”； 命题点一整式及其相关计算 题型08 整式的混合运算 （2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． (2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． （2）解∵为“勾股和数”， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∵为整数， ∴为3的倍数， ∴①，或，，此时或8190； ②，或，，此时或4563， 综上，M的值为8109或8190或4536或4563． 以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”． 命题点一整式及其相关计算 题型09 判断因式分解的正误 【例1】 （2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是 （    ） A． B． C． D． D、∵ ， ∴因式分解错误，故不符合题意； C A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、 ， 属于因式分解，故符合题意 解： 【例1】 （2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 命题点一整式及其相关计算 题型09 判断因式分解的正误 方法指导 解题的关键： 结合多项式的特征，灵活选用合适的分解因式方法; 熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法 A D、 ， 故本选项错误，不符合题意； 解： A、 ， 故本选项正确，符合题意； B、 ， 故本选项错误，不符合题意； C、 ， 故本选项错误，不符合题意； 命题点一整式及其相关计算 题型09 判断因式分解的正误 2．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（    ） A．3 B． C．9 D． C C A 命题点一整式及其相关计算 题型10 因式分解 【例1】 （1）（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 解： ． 方法指导 解题的关键： 熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法 （2）（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解： ． 多项式乘以多项式需要展开后合并同类项，再因式分解 解： 【例2】 （2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 命题点一整式及其相关计算 题型10 因式分解 解： 方法指导 解题的关键： 通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律；应用因式分解进行简便运算或化简 （1）； （2）； 两个连续的奇数平方差能被8整除 （3） ． 命题点一整式及其相关计算 题型10 因式分解 （2024·福建·中考真题）已知实数满足． 求证：为非负数； 解：∵， ∴． ∴ ∵是实数，所以， ∴为非负数． 方法指导 计算类证明题 解题的关键： 通过代换和因式分解将问题转换为完全平方式形式，进而利用 非负数性质得到结论 04 题型精研·考向洞悉 图形类规律探索 题型01 规律探索及新定义问题 命题点二 数字类规律探索 题型02 数式中的新定义问题 题型03 命题点二规律探索及新定义 题型01 图形类规律探索 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． 75 命题点二规律探索及新定义 题型01 图形类规律探索 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为 ______ ，那么，前行的点数之和为 ； 根据图形，总结规律，列式计算 方法指导 36 120 （1）解：三角点阵中前8行的点数之和： 前15行的点数之和： ∴前行的点数之和： 命题点二规律探索及新定义 题型01 图形类规律探索 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （2）解：不能，理由如下： 由题意得：， ， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是500 不能 得出关于n的一元二次方程，利用根的判别式 方法指导 命题点二规律探索及新定义 题型01 图形类规律探索 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 利用第（1）的方法得出前n排花盆总数的计算公式，再列方程求解 方法指导 （3）解：前行的花盆总数： ， ∴， ∴ 即， 解得：或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 方法迁移 命题点二规律探索及新定义 题型01 图形类规律探索 【变式】 （2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ） A． B． C． D． C 解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 规律与分式计算相结合 命题点二规律探索及新定义 题型01 图形类规律探索 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 B 第n个图案有个三角形 规律 2．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“ ”的个数的2倍 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“ ”的个数为 ； 【规律发现】 (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 规律 自然数求和 解：依题意 ， 解得： （舍去） 或． 命题点二规律探索及新定义 题型02 数字类规律探索 【例1】（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 解：系数为，次数为1； 系数为，次数为2； 系数为，次数为3； 系数为，次数为4； 第n个单项式的系数可表示为：， 字母a的次数可表示为：n， ∴第n个单项式为：． 方法指导 解题的关键： 掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律 规律 81 命题点二规律探索及新定义 题型02 数字类规律探索 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 2．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数， 以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 规律 D C ∴第八行左起第1个数是， 前𝐧行数字的个数总和= 第n+1行左起第一个数 第一行 第二行 第三行 规律 82 命题点二规律探索及新定义 题型03 数式中的新定义问题 解题方法： 新定义运算的规律是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论. 解题关键： 观察能力和以及对数字的敏感程度. 命题点二规律探索及新定义 题型03 数式中的新定义问题 解：， ，即， ， 【例1】 （2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若， 则的值是 ． 利用新定义得一个关于的等式在整体代值计算 解题关键： 理解新运算的定义 方法指导 命题点二规律探索及新定义 题型03 数式中的新定义问题 【例2】 （2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）． DDDD 乘方的含义 2的乘方的个位数字的规律2,4,8,6 =，＞200， 85 命题点二规律探索及新定义 题型03 数式中的新定义问题 1.（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 D 理解题意，正确的逻辑推理是解决本题的关键． 命题点二规律探索及新定义 题型03 数式中的新定义问题 2．（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 C 【解析】 当添加一个绝对值时，共有4种情况 添加两个绝对值时，共有3种情况， 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果 运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负 谢谢 聆听 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 $$