5.1任意角与弧度制基础训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1 任意角与弧度制 基础训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“转体720度”是转体（    ）． A．1周 B．2周 C．3周 D．4周 2．已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C．2 D．4 3．如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为则（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中正确的是（    ）． A．终边与始边重合的角是零角 B．90°～180°间的角不一定是钝角 C．终边和始边都相同的两个角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角 5．角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 9．设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 10．与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 11．已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 12．与-463°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度为 ． 14．已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为，则圆心角所对的弧长为 ，该扇形的面积为 . 15．如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是 . 四、解答题 16．利用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. (1)； (2)； (3). 17．已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段圆弧所对的圆心角的弧度数． 18．已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 19．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B C A D C B AD 题号 11 12 答案 BD BC 1．B 【分析】根据转体动作名称的实际意义得解. 【详解】在现实中，“转体720度”是转体2周， 故选：B. 2．D 【分析】利用扇形面积，结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数的方程，即可解得. 【详解】解：设扇形圆心角的弧度数为， 因为扇形所在圆的半径为，且该扇形的面积为， 则扇形的面积为， 解得：. 故选：D. 【点睛】本题在已知扇形面积和半径的情况下，求扇形圆心角的弧度数，着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题. 3．B 【分析】由图可知为周角的，计算可得结果． 【详解】解：由图可知，． 故选：B． 4．B 【分析】根据角度的推广、象限角以及终边相同的角度的概念，简单判断可得结果. 【详解】终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故A错误； 90°～180°间的角包括90°角，故90°～180°间的角不一定是钝角，故B正确； 终边和始边都相同的两个角相差，故C错误； 120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D错误． 故选：B 【点睛】本题考查角度的推广、象限角以及终边相同的角度的概念，属基础题. 5．C 【分析】由，即可判断. 【详解】，则与的终边相同，则角的终边落在第三象限 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断角的终边所在象限，属于基础题. 6．A 【解析】利用扇形面积计算公式即可得出． 【详解】解：设扇形的圆心角为θ， 由题意可得：，解得θ． 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．D 【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可. 【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位， 的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确； 1rad的角是，故C正确； 无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误. 故选：D 8．C 【分析】根据题意，结合圆锥的母线长和弧长以及圆心角之间的关系即可求解 【详解】设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为，底面圆的半径为，母线长为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，则，解得. 故选：. 9．B 【分析】作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每次滚动时点所走过的路程，即可得解. 【详解】由图可知，圆的半径为，正方形的边长为， 以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， 当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次， 设第次滚动时，点的路程为，则，， ，， 因此，点所走过的路程为. 故选：B. 10．AD 【分析】根据终边相同的角的公式，将所有角转化为终边落在之间的角. 【详解】∵，又，， 选项中只有和与与终边相同. 故选：AD. 11．BD 【分析】确定，考虑的奇偶两种情况，分别计算得到答案. 【详解】与是终边相同的角，且，故， 故， 当时，，是第四象限角； 当时，，是第二象限角. 综上所述：可能是第二或四象限角. 故选：BD 12．BC 【分析】根据终边相同的角的关系表示出-463°，即可作出判断. 【详解】解析：因为， 所以与-463°角终边相同的角可以表示为，， 也可以表示为，. 故选：BC. 13． 【分析】根据给定条件，利用弧长计算公式求解作答. 【详解】在半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度为. 故答案为： 14． 【分析】由条件求扇形的半径，再由弧长公式和面积公式求扇形的弧长及面积. 【详解】由已知可得，， 连接圆心与弦的中点，则，，， ∴ ，即扇形的半径为4， ∴  圆心角所对的弧长， 扇形的面积， 故答案为：，. 15．. 【分析】设出弓形所在圆的半径为，用扇形面积减去三角形面积即可. 【详解】 如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，， 则， 即，， 所以展台的面积为 故答案为：. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用弧度的定义证明即可； （2）利用扇形的面积公式化简即可; （3）利用和进行代换即可. 【详解】（1）由公式可得：. （2）半径为，圆心角为的扇形的面积公式是：, 将转换为弧度制，得：， 于是. （3）将代入，即得. 17． 【分析】利用圆内接正方形的边长表示圆半径，再求出圆心角的弧度数. 【详解】设圆O的内接正方形的边长为，则该圆半径， 所以这段圆弧所对的圆心角的弧度数为. 18．(1)，最小值为； (2)，最大值为． 【分析】（1）利用扇形面积公式可得，则，再结合基本不等式即可求解. （2）根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解. 【详解】（1）， 则． 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立． 此时． 当时，最小，最小值为． （2），． ． 当，即时，． 当时，最大，最大值为． 19．(1) (2)最大值为，此时扇形的圆心角为弧度 【分析】（1）根据弧长公式计算即可； （1）根据扇形的周长将用表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）， 故扇形的周长为； （2）扇形的周长为20， 则，所以， 则扇形的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以扇形面积的最大值为，此时扇形的圆心角为弧度. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$