第四章 图形的相似 单元测试 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 单元测试 2024-2025学年北师大版数学九年级上册 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段BC长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（    ） A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转 5．将一个三角形的各边都缩小到原来的后，得到三角形与原三角形（    ） A．一定不相似 B．不一定相似 C．无法判断是否相似 D．一定相似 6．以下条件不可以判定与相似的是（ ） A． B．，且’ C．’，’ D．，且’ 7．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 8．若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 9．在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（　　） A．平行线的性质 B．相似三角形的判定 C．位似图形 D．旋转 二、填空题 10．若，且，则的值为 ． 11．如图，两个小朋友在水平地面坐跷跷板．支点O是跷跷板的中点，若支柱．当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为 ． 12．如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则 ． 13．如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）    14．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC中，AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝4，那么此时AC的长为 ． 15．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ． 16．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为 ． 17．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    三、解答题 18．求下列各式中x的值： (1)； (2) 19．如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 20．如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 21．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 22．如图，在△ABC和△ADE中，，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE． 23．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 25．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B D A D D A D D 1．C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故选：C． 2．B 【分析】根据平行线所截线段对应成比例即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，解题关键是熟知相对应的线段． 3．D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，， ∴，又， ∴，则， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查数学知识解决实际问题，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将石阡旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：A． 5．D 【分析】根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为，再由三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的， ∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为， ∴得到三角形与原三角形一定相似． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．D 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对、进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断. 【详解】、因为，所以，即选项可以判断与相似； 、因为，，所以，即选项可以判断与相似； 、因为，，所以，即选项可以判断与相似； 、因为，，所以，即选项不可以判断与相似. 故选：. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似. 7．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为18， 故选：D． 9．D 【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念判断即可． 【详解】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行， ∴这两个图形是位似图形， ∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 10． 【分析】本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质进行计算．设，利用比例性质得到，，，所以，求出后得到、、的值，然后计算代数式的值． 【详解】设，则，，． ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 11．1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，从而得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则， ∴， ∵O为中点，即， ∴，即C为中点， ∴． 故答案为：1 12． 【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得． 【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以，即EF＝， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键． 13． 【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于的三边之比就是与相似的三角形． 【详解】解：∵的三边之比是， 的三边之比是 的三边之比是， 的三边之比是． ∴与相似， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键． 14．2 【分析】根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=AB=2，再由勾股定理得到结果． 【详解】如图，连接EF， ∵AF、BE是中线， ∴EF是△CAB的中位线， 可得：EF=×4=2， ∵EF∥AB， ∴△PEF～△PBA， ∴=， 在Rt△ABP中， AB=4，∠ABP=30°， ∴AP=2，PB=2， ∴PF=1，PE=， 在Rt△APE中， ∴AE=， ∴AC=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 15． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴旗杆的高为， 故答案为：． 16． 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据相似三角形性质得到，先求出，把，代入，即得的值． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 18．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键，如果，那么． 根据比例的性质计算即可． 【详解】（1）解：根据比例的基本性质，得 ， ∴， ∴． 经检验，是原比例式的解． （2）根据比例的基本性质，得， ∴， 解得，． 经检验，，是原比例式的解． 19． 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质 （1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可． （2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可． 【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为， ∴、纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵纸的周长为286厘米，； ∴纸的周长． 21．见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 22．证明见解析； 【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，即可得∠BAD=∠CAE，再由可得，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD∽△ACE． 【详解】∵在△ABC和△ADE中，, ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵， ∴， ∴△ABD∽△ACE． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 23．树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 24．(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 25．(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，， 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似的性质，画出即可； （3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由图可知，， ∵翻折， ∴， ∵与的相似比为 ∴与的相似比为， ∴与的周长比是，与的面积比是； 故答案为：，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$