2024-2025学年 人教版数学 九年级上册期末必刷常考题：点和圆、直线和圆的位置关系

2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之点和圆、直线和圆的位置关系 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•东城区校级期中）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 2．（2024秋•西湖区校级期中）已知平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，如果PO＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断 3．（2024秋•思明区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于（　　） A．2 B．3 C． D．4 4．（2024秋•宜兴市期中）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连接BD，若AB＝5，BD，则BC的长为（　　） A．4 B．2 C．3 D． 5．（2024秋•海淀区校级期中）如图，AD是⊙O的切线，点C是⊙O上的一点，连接CD，AC，AC交⊙O于点B，若∠C＝20°，则∠A的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•慈溪市期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝55°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是 　 　度． 7．（2024秋•永嘉县期中）同一平面内，⊙O内一点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 　 　cm． 8．（2023秋•昌平区期末）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 　 　cm． 9．（2024秋•西城区校级期中）如图，已知点A是直线l外一点，AD⊥l于点D，且AD，点B，C均在直线l上，∠BAC＝45°，则BC的最小值为 　 　． 10．（2024秋•溧阳市期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝24°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E＝　 　°． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•永嘉县期中）如图，AB为⊙O的直径，△ADC内接于⊙O，∠ADC＝30°，CD交AB于点E． （1）求∠BAC的度数； （2）若E为OB的中点，CE＝7，求直径AB的长． 12．（2024秋•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）连接AE，若CD＝1，BC＝2，求AE的长． 13．（2024秋•青秀区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连接EA． （1）求证：EA是⊙O的切线； （2）若CE＝6，CF＝4，求⊙O的半径． 14．（2024秋•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线． 15．（2024秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E． （1）若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线； （2）若E是的中点，且，AC＝8，求BC的长． 2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之点和圆、直线和圆的位置关系 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•东城区校级期中）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 【考点】点与圆的位置关系．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；运算能力． 【答案】C 【分析】根据点到圆心距离为d，半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，即可解答． 【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为2，3＞2， ∴点P在⊙O内， 故选：C． 【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 2．（2024秋•西湖区校级期中）已知平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，如果PO＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断 【考点】点与圆的位置关系．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】A 【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，PO＝6，5＜6， ∴点P在⊙O外． 故选：A． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 3．（2024秋•思明区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于（　　） A．2 B．3 C． D．4 【考点】三角形的外接圆与外心．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】D 【分析】连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，得到∠BCD＝90°，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，根据含30°角直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD， 则∠BCD＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠D＝∠BAC＝30°， ∵BC＝2， ∴BD＝2BC＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（2024秋•宜兴市期中）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连接BD，若AB＝5，BD，则BC的长为（　　） A．4 B．2 C．3 D． 【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】延长AC，BD交于E，根据圆周角定理得到BD⊥AD，求得∠ADB＝∠ADE＝90°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAE，根据全等三角形的性质得到BD＝DE＝2，根据勾股定理得到AD，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：延长AC，BD交于E， ∵AB是⊙O的直径， ∴BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAE， ∵AD＝AD， ∴△BAD≌△EAD（ASA）， ∴BD＝DE， ∴BE＝2， ∵AB＝5，BD， ∴AD2， ∵∠DAC＝∠CBD， ∵∠ADB＝∠BCE＝90°， ∴△ABD∽△BEC， ∴， ∴， ∴BC＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．（2024秋•海淀区校级期中）如图，AD是⊙O的切线，点C是⊙O上的一点，连接CD，AC，AC交⊙O于点B，若∠C＝20°，则∠A的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【考点】切线的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】C 【分析】连接OD，由题意易得∠ODA＝90°，∠ODC＝∠C＝20°，然后可得∠AOD＝40°，进而问题可求解． 【解答】解：连接OD， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠ODA＝90°， ∵∠C＝20°，OC＝OD， ∴∠C＝∠ODC＝20°， ∴∠AOD＝2∠C＝40°， ∴∠A＝90°﹣∠AOD＝50°； 故选：C． 【点评】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•慈溪市期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝55°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是 　80　度． 【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力． 【答案】80． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角及角平分线定义得∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ABD＝45°，进而得∠BAC＝35°，∠DAC＝∠CBD＝45°，由此可得∠BAD的度数． 【解答】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠C＝55°，BD平分∠ABC， ∴∠BAC＝90°﹣∠C＝35°，∠CBD＝∠ABD∠ABC＝45°， ∴∠DAC＝∠CBD＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CBD＝35°+45°＝80°， 故答案为：80． 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，理解三角形的外接圆，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 7．（2024秋•永嘉县期中）同一平面内，⊙O内一点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 　4　cm． 【考点】点与圆的位置关系．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】4． 【分析】设⊙O的半径为r cm，再由点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm即可得出结论． 【解答】解：设⊙O的半径为r cm， ∵⊙O内一点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm， ∴r4（cm）， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是点与圆位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 8．（2023秋•昌平区期末）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 　3　cm． 【考点】切线的性质；切线长定理．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】3． 【分析】设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB，由切线的性质定理得到OB⊥AB，由切线长定理推出OA平分∠BAC，求出∠BAC＝180°﹣60°＝120°，得到∠OAB＝60°，由锐角的正切求出OB＝3tan60°＝3（cm），得到这个零件的半径是3cm． 【解答】解：设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB， ∵⊙O与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C， ∴OB⊥AB，OA平分∠BAC， ∴∠OAB∠BAC， ∵∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠OAB＝60°， ∵tan∠OAB＝tan60°， ∴OB＝3tan60°＝3（cm）， ∴这个零件的半径是3cm． 故答案为：3． 【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，关键是由切线长定理推出∠OAB∠BAC． 9．（2024秋•西城区校级期中）如图，已知点A是直线l外一点，AD⊥l于点D，且AD，点B，C均在直线l上，∠BAC＝45°，则BC的最小值为 　4﹣2　． 【考点】三角形的外接圆与外心；直角三角形的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】4﹣2． 【分析】作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，先由圆周角定理和垂径定理得∠BOC＝2∠BAC，BE＝CEBC，则∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，设 OA＝OB＝OC＝r，则OEr，BC＝2BEr，再由AO+OE≥AD，即可解决问题． 【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CEBC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45° 设 OA＝OB＝OC＝r， 则OEr，BC＝2BEr， ∵AO+OE≥AD，AD， ∴rr， 解得：r≥22， ∴BCr≥4﹣2， ∴BC最小值为4﹣2， 故答案为：4﹣2． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．（2024秋•溧阳市期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝24°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E＝　42　°． 【考点】切线的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】42． 【分析】连接OC，根据切线的性质证明∠OCE＝90°，而∠COE＝2∠CDB＝48°，则∠E＝90°﹣∠COE＝42°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OC， ∵CE与⊙O相切于点C， ∴CE⊥OC， ∴∠OCE＝90°， ∵∠CDB＝24°， ∴∠COE＝2∠CDB＝2×24°＝48°， ∴∠E＝90°﹣∠COE＝90°﹣48°＝42°， 故答案为：42． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•永嘉县期中）如图，AB为⊙O的直径，△ADC内接于⊙O，∠ADC＝30°，CD交AB于点E． （1）求∠BAC的度数； （2）若E为OB的中点，CE＝7，求直径AB的长． 【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）60°； （2）． 【分析】（1）连接OC，过点C作CF⊥AB于F，根据圆周角定理得∠AOD＝2∠ADC＝60°，则△OAC是等边三角形，由此可得∠BAC的度数； （2）设OF＝a，则AF＝OF＝a，进而得AC＝OA＝OB＝OC＝2a，则CF，再根据E为OB的中点得OE＝BE＝a，则EF＝2a，然后在Rt△CEF中由勾股定理求出a的值即可得出直径AB的长． 【解答】解：（1）连接OC，过点C作CF⊥AB于F，如图所示： ∵∠ADC＝30°， ∴∠AOD＝2∠ADC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°； （2）设OF＝a， ∵△OAC是等边三角形，CF⊥AB， ∴AF＝OF＝a， ∴AC＝OA＝OC＝OB＝2a， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF， ∵E为OB的中点， ∴OE＝BE＝a， ∴EF＝OE+OF＝2a， 在Rt△CEF中，CE＝7， 由勾股定理得：CF2+EF2＝CE2， ∴（， 解得：，或（不符合题意，舍去） ∴OA＝OB＝2a， ∴AB＝2OA． 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 12．（2024秋•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）连接AE，若CD＝1，BC＝2，求AE的长． 【考点】切线的判定与性质；直角三角形的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】（1）详见解析； （2），详见解析． 【分析】（1）连接OE，则∠OED＝∠ODE＝∠BDC，由CE＝BC，得∠CEB＝∠CBE，而∠ACB＝90°，则∠OEC＝∠OED+∠CEB＝∠BDC+∠CBE＝90°，即可证明CE是⊙O的切线； （2）由勾股定理得OE2+CE2＝OC2，而CE＝BC＝2，OC＝OD+CD＝OD+1，所以OD2+22＝（OD+1）2，求得，则，如图，过点E作EF⊥AD交AD于点F，利用三角形的面积公式求得EF的长，然后利用勾股定理即可求得AE的长． 【解答】（1）证明：连接OE，则OE＝OD， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠BDC＝∠ODE， ∴∠BDC＝∠OED， ∵CE＝BC， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OEC＝∠OED+∠CEB＝∠BDC+∠CBE＝90°， ∵CE⊥OE，OE是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线． （2）解：∵∠OEC＝90°， ∴OE2+CE2＝OC2， ∵CD＝1，OE＝OD，BC＝2， ∴OC＝OD+CD＝OD+1，CE＝BC＝2， ∴OD2+22＝（OD+1）2， ∴， ∴； 如图，过点E作EF⊥AD交AD于点F， ∴在Rt△OEC中，， ∴， ∴， 在Rt△OEF中，OE2＝OF2+EF2， ∴， ∴OF＝0.9（负值舍去）， ∴AF＝OA+OF＝2.4， 在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2， ∴， ∴（负值舍去）， ∴AE的长是． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理，三角形的面积等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．（2024秋•青秀区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连接EA． （1）求证：EA是⊙O的切线； （2）若CE＝6，CF＝4，求⊙O的半径． 【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】（1）见解析；（2）3． 【分析】（1）连接OC，由垂径定理得OE⊥AC，根据垂直平分线的性质可得CE＝AE，证明△OCE≌△OAE，利用全等三角形的性质可得∠OAE＝90°即可； （2）先利用勾股定理求得AF＝8，设OA＝OC＝x，再根据等面积法列，即可求解． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵EF是⊙O的切线， ∴∠OCE＝90°， ∵D为AC的中点，OC＝OA， ∴OE⊥AC，则OE垂直平分AC， ∴CE＝AE， ∵OC＝OA，OE＝OE， ∴△OCE≌△OAE（SSS）， ∴∠OAE＝∠OCE＝90°， ∴EA与⊙O相切，即EA是⊙O的切线； （2）解：∵CE＝6，CF＝4， ∴EF＝10， 由（1）可知CE＝AE＝6，∠OAE＝90°， ∴AF8， 设OA＝OC＝x， ∵S△EAF＝S△EOF+S△EAO， ∴， ∴， 解得x＝3， 故⊙O的半径为3． 【点评】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． 14．（2024秋•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且 AB＝AC＝AD，经过A，C，D三点的⊙O交BD于点F，连接CF． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝CB，求证：CB是⊙O的切线． 【考点】切线的判定；三角形的外接圆与外心．版权所有 【专题】数形结合；几何直观；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据 AB＝AC＝AD，可得∠ACB＝ABC，∠ADB＝∠ABD，两式相减即得∠BCF＝∠CBF，结论得证； （2）连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF，可得∠G+∠GCF＝90°，再根据已知证明∠BCF＝∠CDB，进而得∠BCF+∠GCF＝90°，从而得CG⊥BC即可． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ACB＝ABC， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， 又∵∠ADB＝∠ACF， ∴∠ACF＝∠ABD， ∴∠ACB﹣∠ACF＝ABC﹣∠ABD， 即：∠BCF＝∠CBF， ∴CF＝BF； （2）连接CO并延长交⊙O于G点，再连接GF， ∵CG为O直径， ∴∠GFC＝90°， ∴∠G+∠GCF＝90•， ∵∠CDB＝∠G， ∴∠CDB+∠GCF＝90°， ∵CD＝CB ∴∠CDB＝∠CBD， ∵CF＝BF， ∴∠BCF＝∠CBD， ∴∠BCF＝∠CDB， ∴∠BCF+∠GCF＝90°， ∴∠BCG＝90°， ∴CG⊥BC，且CG为⊙G的半径， ∴CB是⊙O的切线． 【点评】本题考查圆周角的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理，读懂题意是解决问题的关键． 15．（2024秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E． （1）若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线； （2）若E是的中点，且，AC＝8，求BC的长． 【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【答案】（1）详见解答； （2）9.6． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）根据圆周角定理，勾股定理、垂径定理以及四边形的面积的计算方法进行解答即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OB，OC，过点O作直线OA， ∵OB＝OC，AB＝AC， ∴直线OA是BC的垂直平分线， ∴直线OA⊥BC， ∵AD∥BC， ∴OA⊥AD， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：连接OE，交AC于点F，连接GC＝GB， ∵E是的中点， ∴OE⊥AC，EA＝EC＝2， ∴AF＝CFAC＝4， 在Rt△AEF中，AE＝2，AF＝4， ∴EF2， 在Rt△AOF中，设OA＝x，则OF＝x﹣2，由勾股定理得， AF2+OF2＝OA2， 即42+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝5， 即半径为5， ∴AG＝2OA＝10， 在Rt△ACG中，AC＝8，AG＝10， ∴CG6， ∵S四边形ACGBBC•AGAC•CG×2， ∴10BC＝8×6×2， 解得BC＝9.6． 【点评】本题考查切线的判定和性质，勾股定理、圆周角定理，掌握切线的判定方法，勾股定理、圆周角定理以及四边形面积的计算方法是正确解答的关键． 考点卡片 1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 3．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 4．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 5．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 6．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 7．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 8．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 9．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 10．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$