广东省广州市广东华侨中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

广东华侨中学2023-2024学年高一第二学期3月月考 数学 本试卷共4页,满分150分,考试用120分钟. 注意事项 1.开考前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上,不得使用涂改液,不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的. 1.已知,,则等于( ) A. B. C. D. 2.已知向量满足,,若,则实数( ) A. B. C.3 D. 3.在等腰梯形中,,,点是线段上靠近的三等分点,则( ) A. B. C. D. 4.若,则( ) A. B. C. D. 5.已知(),则( ) A. B. C. D. 6.已知函数,则下列结论错误的是( ) A.的最小正周期为 B.的图像关于点成中心对称 C.的图像关于直线对称 D.的单调递增区间是() 7.在中,点在边上,且.点满足.若,,则( ) A. B. C.12 D.11 8.已知角,且,,则( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,漏选得2分,有选错或未选的得0分. 9.下列说法中正确的是( ) A.平面向量的一个基底中,一定都是非零向量 B.在平面向量基本定理中,若,则 C.若单位向量的夹角为,则在上的投影向量是 D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 10.已知为锐角,,则( ) A. B. C. D. 11.已知,,则正确的选项是( ) A.和都是单位向量 B.若,则 C.若,则 D. 12.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为份,每一份叫做密位的角.在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如密位写成“”,密位写成“”.若,则角可取的密位制表示可能是( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量,,则 . 14.已知向量,,且,则 . 15.如图,在四边形中,,,,,.若为线段上一动点,则的最大值为 . 16.已知,则的值为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10分) 已知向量,且, (1)求证:; (2)若,,且,求的值. 18. (本题满分12分) 已知. (1)若为锐角,求的值; (2)求的值. 19. (本题满分12分) (1)已知,,求和的值; (2)已知,且,,求的值. 20. (本题满分12分) 已知,且. (1)求的值及的最小正周期; (2) 将的图象向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到的图象.若关于的方程在有两个不同的根,求实数的取值范围. 21. (本题满分12分) 如图,有一块半径为的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形的形状,它的下底是半圆的直径,上底的端点在圆周上.记梯形的周长为,. (1)将表示成的函数; (2)求梯形周长的最大值. 22. (本题满分12分) 从秦朝统一全国币制到清朝末年,圆形方孔铜钱(简称“孔方兄”)是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1,这是一枚清朝同治年间的铜钱,其边框是由大小不等的两同心圆围成的,内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合,正方形外部,圆框内部刻有四个字“同治通宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品,其小圆内部图纸设计如图2所示,小圆直径为,内嵌一个大正方形(边长比孔的边长小),每个正方形有两个顶点在圆周上,另两个顶点在孔边上,四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设,五个正方形的面积和为. (1) 求面积关于的函数表达式; (2) 求面积最小值. 广东华侨中学2023-2024学年高一第二学期3月月考 数学参考答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D C D A A C 7.【详解】因为,所以,因为,所以为的中点, 则, 故. 故选:A. 8.【详解】因为,故可得,则; ,故可得,即; ,即, 也即,等式两边同时除以, 则;故; 二、多选题 9 10 11 12 ABC BD ABD BD 11.【详解】对于C:若,即, 所以,,即,,故错误; 对于D:因为,所以,故正确. 故选:ABD. 12.【详解】因为, ∴, ∴,∴,即, ∴,或,, 对于选项:密位制对应的角的弧度制为,不符合题意, 对于选项:密位制对应的角的弧度制为,符合题意, 对于选项:密位制对应的角的弧度制为,不符合题意, 对于选项:密位制对应的角的弧度制为,符合题意. 三、填空题 13. 14. 15.6 16. 14.【详解】因为向量,,且,所以,即,所以. 四、解答题 17.【详解】(1) 因为,,所以,故. (2)由,得,即, 由,,即,则,解得或. 18.【详解】(1) 由,得, 因为锐角,,所以,,可得 ; (2) 由得, 则. 19.【详解】(1) 因为,可得, 又因为,可得, 所以, . (2)因为,所以, 由,,可得,, 所以. 20.【详解】(1) 依题意, , 由,得,解得, 所以,的最小正周期为. (2) 由(1)知,依题意,, 当时,,由,得, 由,得,因此函数在上单调递增,函数值从增大到,在上单调递减,函数值从减小到, 关于的方程在有两个不同的根,即函数在上的图象与直线有两个交点, 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象,如图, 观察图象知,当时,直线与函数在上的图象有两个交点,所以实数的取值范围是. 21.【详解】(1) 由是半圆的直径,得,则, 过作交于,连接,则,, 因此,所以,. (2) 由(1)知,, 设,则,显然当时,有最大值, 所以梯形周长的最大值是. 22.【详解】(1) 由图可知,小正方形的边长为,且, 大正方形的边长为,所以, , 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长,所以, 可得,设且满足, 所以,,,锐角满足. (2) 解:,锐角满足, 因为,则, ∵,且,则, 因为,且,所以,, 因此,此时,则, 因此,面积的最小值为. 学科网(北京)股份有限公司 $$