2024-2025学年人教版数学八年级上册期末必刷常考题：全等三角形

2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之全等三角形 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•江阴市期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠α的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．无法确定 2．（2024秋•越秀区校级期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G．若∠AED＝105°，∠CAD＝16°，∠B＝30°，则∠1的度数为（　　） A．66° B．63° C．61° D．56° 3．（2024春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，点E，G分别在AB，AC上，且DE＝DG，若S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024秋•广州期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于B，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30，AB＝13，AC＝7，则DE的长（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2024•宁波一模）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝3，则AC的长为　 　． 7．（2024秋•裕华区校级期中）如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为 　 　． 8．（2024秋•江阴市期中）如图，已知△ABC≌△ADE，点E在BC上，∠ABC＝30°，∠AED＝65°，则∠BAE＝　 　°． 9．（2024秋•裕华区校级期中）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积，同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1）△BDE≌　 　； （2）△BDE的面积为 　 　． 10．（2023秋•广安期末）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为 　 　． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•大足区期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，∠ACB＝∠F，求证：△ABC≌△DEF． 12．（2024秋•大足区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC至点F，过点F作AB的垂线交BC于点D，交AB于点E，BE＝CF，连接AD，求证：AD平分∠BAC． 13．（2024秋•越秀区校级期中）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：CF＝AD． 14．（2024秋•曾都区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝108°． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若DE＝DC，求∠CDE的度数． 15．（2023秋•松阳县期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连结BE交点AD于点F，BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：△BDF≌△ACD． （2）求证：BE⊥AC． （3）若BD＝4，CD＝3，求BE的长． 2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之全等三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•江阴市期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠α的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．无法确定 【考点】全等三角形的性质；三角形内角和定理．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；推理能力． 【答案】A 【分析】由全等三角形的对应角相等，即可得到答案． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝180°﹣70°﹣60°＝50°． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 2．（2024秋•越秀区校级期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G．若∠AED＝105°，∠CAD＝16°，∠B＝30°，则∠1的度数为（　　） A．66° B．63° C．61° D．56° 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】C 【分析】先根据全等三角形的性质得到∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠AED＝105°，再利用三角形外角性质计算出∠CFA＝89°，则根据对顶角相等得到∠DFG＝89°，然后根据三角形内角和定理计算∠1的度数即可． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠AED＝105°， ∵∠ACB＝∠CAD+∠CFA， ∴∠CFA＝105°﹣16°＝89°， ∴∠DFG＝∠CFA＝89°， ∵∠1+∠D+∠DFG＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠DFG＝180°﹣30°﹣89°＝61°． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 3．（2024春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，点E，G分别在AB，AC上，且DE＝DG，若S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力． 【答案】A 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积＝△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DH＝DF， 在Rt△DEF和Rt△DGH中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△DEF＝S△DGH， 设S△DEF＝S△DGH＝S， 在Rt△ADF和Rt△ADH中， ， 同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴S△ADF＝S△ADH， ∵S△ADG＝24，S△AED＝18， ∴24﹣S＝18+S， 解得，S＝3， 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 4．（2024秋•广州期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于B，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30，AB＝13，AC＝7，则DE的长（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DF，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于B，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF， ∵△ABC的面积是30，AB＝13，AC＝7， ∴AB•DEAC•DF＝30，即13•DE7•DE＝30， 解得：DE＝3， 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 5．（2024•宁波一模）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】C 【分析】根据ASA证明△ADF与△BDC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠DBC+∠BFE＝90°，∠AFD＝∠BFE， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△ADF与△BDC中， ， ∴△ADF≌△BDC（ASA）， ∴DF＝CD， ∴BF＝BD﹣DF＝AD﹣CD＝5﹣2＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△ADF与△BDC全等解答是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝3，则AC的长为　6　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】6． 【分析】作CE∥AB，交AD的延长线于E，根据等腰三角形的判定，可得AE＝AC，再证明△ADB≌△EDC，即可解决问题． 【解答】解：作CE∥AB，交AD的延长线于E，如图，． ∴∠BAD＝∠E＝75°， ∵∠CAD＝30°， ∴∠ACE＝180°﹣∠E﹣∠CAE＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC（AAS）， ∴ED＝AD， ∴AE＝2AD＝6， ∴AC＝AE＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，掌握其性质定理是解决此题的关键． 7．（2024秋•裕华区校级期中）如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为 　100°　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力；推理能力． 【答案】100°． 【分析】证明△MAK≌△KBN，根据全等三角形的性质得到∠BKN＝∠AMK，根据三角形的外角性质求出∠A，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：在△MAK和△KBN中， ， ∴△MAK≌△KBN（SAS）， ∴∠BKN＝∠AMK， ∵∠MKB是△AMK的外角， ∴∠BKN+∠MKN＝∠A+∠AMK， ∴∠A＝∠MKN＝40°， ∴∠B＝∠A＝40°， ∴∠P＝180°﹣40°﹣40°＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 8．（2024秋•江阴市期中）如图，已知△ABC≌△ADE，点E在BC上，∠ABC＝30°，∠AED＝65°，则∠BAE＝　35　°． 【考点】全等三角形的性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据全等三角形的性质求出∠C，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AE＝AC，∠C＝∠AED＝65°， ∴∠AEC＝∠C＝65°， ∴∠AEC﹣∠ABC＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 9．（2024秋•裕华区校级期中）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积，同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1）△BDE≌　△AFB　； （2）△BDE的面积为 　64　． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）△AFB； （2）64． 【分析】（1）由SAS推导出△BDE≌△AFB即可； （2）由△BDE≌△AFB求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可． 【解答】解：（1）如图所示，连接AF， ∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∵∠ABD＝∠E， 在△BDE与△AFB中， ， ∴△BDE≌△AFB（SAS）， 故答案为：△AFB； ∴S△ABF＝S△BDE， ∵， ∵BF20＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12， ∴S△AFDAD•DF12×16＝96， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD， ∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64． 故答案为：64． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2023秋•广安期末）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为 　1或　． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】1或． 【分析】由题意知当△ACP与△BPQ全等，分△ACP≌△BPQ和△APC≌△BPQ两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【解答】解：由题意知，AP＝t，BP＝8﹣t，BQ＝xt， △ACP与△BPQ全等，∠A＝∠B， ∴分两种情况求解： ①当△ACP≌△BPQ时，AP＝BQ，即t＝xt，解得x＝1； ②当△APC≌△BPQ时，AP＝BP，即t＝8﹣t，解得t＝4，AC＝BQ，即6＝xt，解得； 综上所述，x的值是1或， 故答案为：1或． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•大足区期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，∠ACB＝∠F，求证：△ABC≌△DEF． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力． 【答案】证明见解答过程． 【分析】先根据AB∥DE得∠B＝∠DEF，再根据BE＝CF得BC＝EF，进而可依据“ASA”判定△△ABC和△DEF全等． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+EC． ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定，平行线的性质是解决问题的关键． 12．（2024秋•大足区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC至点F，过点F作AB的垂线交BC于点D，交AB于点E，BE＝CF，连接AD，求证：AD平分∠BAC． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力． 【答案】证明见解答过程． 【分析】先证明△DEB和△DCF全等得DE＝DC，再根据角平分线的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵FE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠DEB＝∠DCF＝90°， 在△DEB和△DCF中， ， ∴△DEB≌△DCF（AAS）， ∴DE＝DC， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 13．（2024秋•越秀区校级期中）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：CF＝AD． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；几何直观；推理能力． 【答案】证明见解答过程． 【分析】利用角角边定理判定△ADE≌△CFE（AAS）即可；利用全等三角形对应边相等可得CF＝AD． 【解答】证明：∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF． 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴CF＝AD． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 14．（2024秋•曾都区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝108°． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若DE＝DC，求∠CDE的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）36°． 【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可． （2）证明∠B＝∠ACB＝∠ACE＝36°，推出∠DCE＝72°，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝108°，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠ACB＝36°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠B＝∠ACE＝36°， ∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝36°+36°＝72°， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝72°， ∴∠EDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 答：∠CDE的度数为36°． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 15．（2023秋•松阳县期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连结BE交点AD于点F，BF＝AC，DF＝DC． （1）求证：△BDF≌△ACD． （2）求证：BE⊥AC． （3）若BD＝4，CD＝3，求BE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）利用HL证明Rt△ADC≌△Rt△BDF，即可； （2）利用Rt△ADC≌Rt△BDF，得∠C＝∠BFD，从而证得∠C+∠DBF＝90°，即可得出结论； （3）利用Rt△ADC≌Rt△BDF得AD＝BD＝4，从而求得BC＝BD+CD＝7，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠BDF＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADC≌△Rt△BDF（HL）． （2）证明：∵Rt△ADC≌Rt△BDF， ∴∠C＝∠BFD， ∵∠DBF+∠BFD＝90°， ∴∠C+∠DBF＝90°， ∴BE⊥AC． （3）解：∵Rt△ADC≌△Rt△BDF， ∴AD＝BD＝4， ∵CD＝3，BD＝4， ∴BC＝BD+CD＝7，， ∵ ∴， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握三角形的面积，勾股定理是解题的关键． 考点卡片 1．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 3．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 4．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 5．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$