专题07 三角函数的运算6种常考题型归纳-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题07 三角函数的运算 同角三角函数的基本关系 1．（2023秋•平谷区期末）已知，，则的值为　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•东城区期末）已知，，则　　． 3．（2023春•海淀区期末）若，，则　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•昌平区期末）若，，则　　 A． B． C． D． 利用诱导公式给角求值 5．（2023春•顺义区期末）　　． 6．（2023春•石景山区期末）　　 A． B． C． D． 7．（2024春•西城区校级期末）的值为　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•大兴区期末）等于　　 A． B． C． D．1 9．（2022秋•大兴区期末）已知，则等于　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•西城区校级期末）求值：　　． 诱导公式和同角三角基本关系的综合 11．（2023春•朝阳区期末）已知，且，则　　 A． B． C． D． 12.（2023秋•东城区期末）若，，，则的值为　　 A． B． C． D． 13．（2022秋•海淀区校级期末）已知，则　　． 14．（2023春•东城区校级期末）若，则　　 A． B． C． D． 15．（2022秋•朝阳区期末）已知角，若，则　　；　　． 16．（2023春•昌平区期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，它的终边过点，则　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系中，角以射线为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，且横坐标为，则的值为　　 A． B． C． D． 18．（2022秋•海淀区校级期末）若的终边过点，则　　．　　． 19．（2022秋•天山区校级期末）已知是第四象限角． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 20.（2023秋•丰台区期末）（1）是角的终边上一点，已知点的坐标为．求和的值； （2）若，是方程的两根，求的值． 21.（2023秋•顺义区期末）已知且的范围是_____． 从①，②，③，④，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）化简求值：． 两角和与差的三角函数公式的应用 22．（2023春•昌平区期末）的值为 　　． 23．（2023秋•丰台区期末）计算：　　 A． B． C． D． 24．（2024春•怀柔区期末）　　 A． B． C．0 D．1 25．（2024春•东城区期末）的值为　　 A．1 B． C． D． 26．（2023春•丰台区期末）已知，，则　　 A． B． C． D． 27．（2023春•海淀区期末）已知，则的值为　　 A．3 B．1 C． D． 28.（2024春•海淀区期末）已知．若，则　　． 29．（2022秋•海淀区校级期末）已知为第二象限角，，则的值为 　　． 30．（2023春•东城区期末）已知，，则的值为 　　． 31．（2023春•海淀区校级期末）若，，，，，则　　． 32．（2022秋•通州区期末）已知，是第四象限角． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求，的值． 二倍角公式的应用 33．（2023春•东城区校级期末）若函数，则的值为　　． 34．（2024春•石景山区期末）若，则　　． 35．（2024春•石景山区期末）若，则　　 A． B． C． D． 36．（2024春•海淀区校级期末）已知，，则　　． 37．（2024春•昌平区期末）已知，且为第二象限角． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 38．（2023春•西城区期末）已知，． （1）求的值； （2）求的值． 39．（2023春•大兴区期末）已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 40．（2022秋•朝阳区期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值． 41．（2023春•石景山区期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若角满足，求的值． 42．（2022秋•海淀区校级期末）已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 43.（2023秋•朝阳区期末）已知，为锐角，，． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值． 三角恒等变换的应用 44．（2024春•海淀区期末）设函数，从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在． （Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：是的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 45．（2024春•昌平区期末）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间，上的最大值为，求实数的取值范围． 46．（2024春•海淀区校级期末）已知函数，其中，若在上单调递减，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）当时，函数恰有一个零点，求的取值范围． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 47．（2024春•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）求的值和的零点； （Ⅱ）求的单调递增区间． 48．（2024春•怀柔区期末）已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一． 条件①：； 条件②：在区间单调，且； 条件③：函数相邻两个零点间的距离为． 选_____作为条件 （1）求值； （2）求在区间上的最大值与最小值及对应的的值． 49．（2024春•延庆区期末）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若，求函数的最大值和最小值及相应的值． 50．（2023秋•朝阳区期末）已知函数的图象过原点． （Ⅰ）求的值及的最小正周期； （Ⅱ）若函数在区间，上单调递增，求正数的最大值． 51．（2023秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点．若，，，则　　 A． B． C． D． 52．（2022秋•丰台区校级期末）已知，，，为锐角，则的值是 　　． 53．（2022秋•大兴区期末）已知． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求的值． 54．（2022秋•丰台区校级期末）已知角终边上一点． （1）求和的值； （2）求的值． 55．（2022秋•北京期末）（1）已知，都是锐角，，，求； （2）求； （3）若，求． 56.（2023秋•密云区期末）已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）在平面直角坐标系中，以为始边，已知角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角函数的运算 同角三角函数的基本关系 1．（2023秋•平谷区期末）已知，，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】，， ， 则． 故选：． 2．（2022秋•东城区期末）已知，，则　　． 【解析】，，为锐角，， 则， 故答案为：． 3．（2023春•海淀区期末）若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】，，则． 再根据，可得． 故选：． 4．（2022秋•昌平区期末）若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】，， ， 则， 故选：． 利用诱导公式给角求值 5．（2023春•顺义区期末）　　． 【解析】． 故答案为： 6．（2023春•石景山区期末）　　 A． B． C． D． 【解析】， 故选：． 7．（2024春•西城区校级期末）的值为　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 8．（2022秋•大兴区期末）等于　　 A． B． C． D．1 【解析】． 故选：． 9．（2022秋•大兴区期末）已知，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以， 所以， 故选：． 10．（2022秋•西城区校级期末）求值：　　． 【解析】 ． 故答案为：． 诱导公式和同角三角基本关系的综合 11．（2023春•朝阳区期末）已知，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】，， ，，． 故选：． 12.（2023秋•东城区期末）若，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，， 所以， 则． 故选：． 13．（2022秋•海淀区校级期末）已知，则　　． 【解析】因为， 则． 故答案为：． 14．（2023春•东城区校级期末）若，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以． 故选：． 15．（2022秋•朝阳区期末）已知角，若，则　　；　　． 【解析】角，若， ，． 故， 故答案为：；． 16．（2023春•昌平区期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，它的终边过点，则　　 A． B． C． D． 【解析】角的终边过点， ， ． 故选：． 17．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系中，角以射线为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，且横坐标为，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】在平面直角坐标系中，角以射线为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，且横坐标为， ， ． 故选：． 18．（2022秋•海淀区校级期末）若的终边过点，则　　．　　． 【解析】的终边过点，； 则． 故答案为：；． 19．（2022秋•天山区校级期末）已知是第四象限角． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【解析】（1）是第四象限角．， ，则原式； （2），， ，或． 20.（2023秋•丰台区期末）（1）是角的终边上一点，已知点的坐标为．求和的值； （2）若，是方程的两根，求的值． 【解析】（1）点的坐标为． 则， ； （2），是方程的两根， 则，， ， 则，解得， △，解得或， 故． 21.（2023秋•顺义区期末）已知且的范围是_____． 从①，②，③，④，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）化简求值：． 【解析】， 则②③符合，①④不符合， 若选②， （Ⅰ）且， 则，； （Ⅱ）． 若选③， （Ⅰ）且， 则，； （Ⅱ）． 两角和与差的三角函数公式的应用 22．（2023春•昌平区期末）的值为 　　． 【解析】． 故答案为：． 23．（2023秋•丰台区期末）计算：　　 A． B． C． D． 【解析】 ． 故选：． 24．（2024春•怀柔区期末）　　 A． B． C．0 D．1 【解析】． 故选：． 25．（2024春•东城区期末）的值为　　 A．1 B． C． D． 【解析】． 故选：． 26．（2023春•丰台区期末）已知，，则　　 A． B． C． D． 【解析】，， ， ． 故选：． 27．（2023春•海淀区期末）已知，则的值为　　 A．3 B．1 C． D． 【解析】已知， 则． 故选：． 28.（2024春•海淀区期末）已知．若，则　　． 【解析】因为， 所以， 两边平方有：， 所以， 所以， 所以， 当， 又， 所以， 此时； 当， 又， 所以， 此时． 故答案为：或． 29．（2022秋•海淀区校级期末）已知为第二象限角，，则的值为 　　． 【解析】因为为第二象限角，， 所以，且，，解得，， 所以． 故答案为：． 30．（2023春•东城区期末）已知，，则的值为 　　． 【解析】，， ． 故答案为：1． 31．（2023春•海淀区校级期末）若，，，，，则　　． 【解析】，，． ，，． ． ，． ． ． 故答案为． 32．（2022秋•通州区期末）已知，是第四象限角． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求，的值． 【解析】（Ⅰ）已知，是第四象限角， 则， 又， 又，， 则，， 则； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：， ． 二倍角公式的应用 33．（2023春•东城区校级期末）若函数，则的值为　　． 【解析】， ． 故答案为：． 34．（2024春•石景山区期末）若，则　　． 【解析】若，则． 故答案为：． 35．（2024春•石景山区期末）若，则　　 A． B． C． D． 【解析】法， ， 法， ， ， 故选：． 36．（2024春•海淀区校级期末）已知，，则　　． 【解析】，则，即， 或，，，，， ，． 故答案为：． 37．（2024春•昌平区期末）已知，且为第二象限角． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 【解析】，且为第二象限角，， ． （Ⅰ）； （Ⅱ） ． 38．（2023春•西城区期末）已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【解析】（1）因为，， 所以， 又因为， 所以． 所以； （2）． 39．（2023春•大兴区期末）已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 【解析】，， ． ． 40．（2022秋•朝阳区期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值． 【解析】（Ⅰ）角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， ，，， ，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，， ． 41．（2023春•石景山区期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若角满足，求的值． 【解析】（Ⅰ），，， ． （Ⅱ），， ． 42．（2022秋•海淀区校级期末）已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【解析】（Ⅰ），， ． （Ⅱ）由，可得． （Ⅲ），， ． 43.（2023秋•朝阳区期末）已知，为锐角，，． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值． 【解析】（Ⅰ），为锐角，，， 所以，， 则， （Ⅱ）， 因为，，且，为锐角， 所以，，， 所以． 三角恒等变换的应用 44．（2024春•海淀区期末）设函数，从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在． （Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：是的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（Ⅰ）若选①②，， 由①函数的图象经过点， 则，， 即，， 由条件②：在区间上单调递增，有， 又，即，所以， 此时不存在； 选条件②③，， 由条件②：在区间上单调递增，有， 又，即，所以， 由条件③：是的一条对称轴，有， 即，，所以，， 由（1）（2）可得， 所以，， 由， 解得， 所以的单调递减区间为； 若选①③，①函数的图象经过点， 则，， 即，， 由③是的一条对称轴，有， 即，，所以，， 此时不存在； （Ⅱ）因为，所以， 所以，， 因为对于任意的，都有，所以， 即的取值范围为． 45．（2024春•昌平区期末）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间，上的最大值为，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）因为 ， 所以的最小正周期； （Ⅱ）由，，可得，， 若在区间，上的最大值为， 则在，上的最大值为1， 所以，解得， 则实数的取值范围为，． 46．（2024春•海淀区校级期末）已知函数，其中，若在上单调递减，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）当时，函数恰有一个零点，求的取值范围． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（Ⅰ）函数， 因为上单调递减，所以，即， 可得，解得， 若选条件①，则，即， 又，即，， 两式相加得，，即，，与矛盾，故条件①不符合题意； 若选条件②，则， 即，，又， 即， 两式相减得，，， 即，，， 又，所以，则； 若选条件③，则，所以的图象关于直线对称， 则，， 又，即， 两式相减得，，即，与矛盾，故条件③不符合题意， 综上，； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，则， 则， 令，，则， 当，，且时，有两个函数值， 当，时，单调递减， 且，， 当时，， 所以函数恰有一个零点， 所以，． 47．（2024春•海淀区期末）已知函数． （Ⅰ）求的值和的零点； （Ⅱ）求的单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）， ； 令，得， 的零点为； （Ⅱ）由，得， 的单调递增区间为，． 48．（2024春•怀柔区期末）已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一． 条件①：； 条件②：在区间单调，且； 条件③：函数相邻两个零点间的距离为． 选_____作为条件 （1）求值； （2）求在区间上的最大值与最小值及对应的的值． 【解析】（1）， 若选①：，则，即，不成立； 若选②：在区间单调，且； 则，即； 若选③：函数相邻两个零点间的距离为， 则，即； （2）由（1）得，， 当时，， 所以， 所以， 故的最大值为，此时，即， 的最小值为，此时，即． 49．（2024春•延庆区期末）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若，求函数的最大值和最小值及相应的值． 【解析】（Ⅰ）， 所以 由，， 所以函数的单调递减区间是，． （Ⅱ）因为，， 所以当，即时，函数函数的最大值为2； 所以当，即时，函数的最小值为． 50．（2023秋•朝阳区期末）已知函数的图象过原点． （Ⅰ）求的值及的最小正周期； （Ⅱ）若函数在区间，上单调递增，求正数的最大值． 【解析】（Ⅰ）的图象过原点， ，， ， 的最小正周期为； （Ⅱ）令， 得， 的单调递增区间为，， 在区间，上单调递增，且，，此时， ，故的最大值为． 51．（2023秋•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点．若，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点． 且，，， ，，， ，， ． 故选：． 52．（2022秋•丰台区校级期末）已知，，，为锐角，则的值是 　　． 【解析】因为，，，为锐角， 所以，， 则． 故答案为：． 53．（2022秋•大兴区期末）已知． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求的值． 【解析】（Ⅰ）．，； （Ⅱ）原式． 54．（2022秋•丰台区校级期末）已知角终边上一点． （1）求和的值； （2）求的值． 【解析】（1）角终边上一点，， ，． （2）． 55．（2022秋•北京期末）（1）已知，都是锐角，，，求； （2）求； （3）若，求． 【解析】（1）因为，都是锐角，， 所以，，且， 所以， 又，所以； （2）原式； （3）因为，， 所以 ． 56.（2023秋•密云区期末）已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）在平面直角坐标系中，以为始边，已知角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 【解析】因为，， 所以， （Ⅰ）； （Ⅱ）因为，， ； （Ⅲ）由题意得，，， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$