27.2 相似三角形的应用---比例等积式证明方法总结-2024-2025学年人教版数学九年级下册

相似三角形比例等积式证明 线段比例关系一般以比例式或等积式形式出现，其证明问题是初中几何中非常常见的题型，同时也是令许多学生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手。对于等积式的证明，往往先根据比例的基本性质，把等积式化成比例式，再结合图形来解决，常见的线段比例关系的证明方法有以下几种类型。 类型一、三点定型法 要证明的比例式中的线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形。 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点从运动到，且． (1)求证：； (2)若，，求当长为多少时，． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明． （1）先根据得出，证明，得出，根据相似三角形性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出，证明，得出，根据，，求出，即可得出当时，． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ∴， ， ． （2）解：若， ， 又， ∴， ， ，， ， ， 即当时，． 2．（2023·湖北黄冈·一模）如图，为上一点，点在直径的延长线上，且． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)． 【分析】(1)易证，由相似三角形的对应边成比例来证得结论； (2)连接OD，则，由圆周角定理得出，，由，得出，即可得出结论； (3)证明，得出，由已知求出，，，由勾股定理求得CD的长，代入比例式即可得出结果． 【详解】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， (2) 证明：连接OD，如图所示： 则， ∵AB是O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CD是O的切线， (3)∵BE是O的切线， ∴， 由(2)知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，是劣弧的中点，BD交AC于点E． (1)求证：AD2＝DE•DB； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据是劣弧的中点，可得，进而可得，根据，可得，等量代换可得，根据公共角，可得，列出比例式即可得证； （2）取的中点，过点作，使得，连接，延长交于点，设，则，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为，证明是直角三角形，进而即可求得，证明，根据平行线分线段成比例可得，即可求得，即的最小值． 【详解】（1）（1）是劣弧的中点， ， 又 4．（2022·山东滨州·中考真题）如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证： (1)PD是的切线； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接OB，由等边对等角及直径所对的圆周角等于90°即可证明； （2）根据直线PA与相切于点A，得到，根据余角的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）连接OB， ， ， AC为的直径， ， ， ， ， PD是的切线； （2）直线PA与相切于点A， ， ∵PD是的切线， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 类型二、等线段代换法 从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等线段、倍数或倍分线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形。 5．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件． （1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证； （2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用算得的长度； ②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 ， ， ． ，即． （2）①解： ，即 ， 解得：（舍去负值） ②解： ， 6．（23-24九年级上山东青岛.期末）在中，，是高，平分，分别与相交于点 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识， （1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断． （2）首先证明，利用相似三角形的性质即可解决问题． （3）勾股定理求出，，利用相似三角形的性质求出，即可． 【详解】（1）证明：， ， 为边上的高， ， ， ， 是的平分线， ， （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图，作于 ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 7．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线； （2）求证：DE2=DF•DA． 【答案】（1）证明见解析; （2）证明见解析; 【分析】（1）连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；易证∠BAD＝∠DAC；根据圆周角定理可得∠G＝∠BAD；即可得∠MDB＝∠G；由∠G＋∠BDG＝90°，∠MDB＋∠BDG＝90°即可得直线DM是⊙O的切线； （2）连接BE，先证∠EBD＝∠BED，即可得DB＝DE，再证△DBF∽△DAB，根据相似三角形的性质可得BD2＝DF·DA，所以DE2＝DF·DA． 【详解】证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG； ∵点E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC． ∵∠G＝∠BAD， ∴∠MDB＝∠G， ∵DG为⊙O的直径， ∴∠GBD＝90°， ∴∠G＋∠BDG＝90°． ∴∠MDB＋∠BDG＝90°． ∴直线DM是⊙O的切线； （2）如图2，连接BE． ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD． ∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD． ∴∠EBD＝∠BED， ∴DB＝DE． ∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB， ∴△DBF∽△DAB， ∴BD2＝DF·DA． ∴DE2＝DF·DA． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证明可得，进而由即可求证； （）设，则，，由（）得，可得，再根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，由得，，， 由（）得，，即， 解得或（不合，舍去）， ∵， ∴． 9．（2024·山东日照·一模）如图，在中，是弧的中点，为上的一动点（与在异侧），连接交于点，（是的半径）． （1）为延长线上一点，若，证明：直线与相切； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】(1) 连接OC、OE ,OE交AB于H,根据垂径定理得出,再通过角度转换即可证明． (2)连接BC，垂径定理,圆周角相等的性质证明,即可得出对应边成比例代入计算即可． 【详解】证明：（1）连接、,交于,如图1． 是弧的中点,,, 而, ,． ,,． ．直线与相切． 图1 （2）连接,如图2． 是弧的中点,． ．而,．, ． 图2 【点睛】本题考查圆与相似的结合,关键在于通过图形得出角度相等从而证明相似解出答案． 10．（2021·山东泰安·中考真题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点E． （1）求证：； （2）与，分别交于点F，H． ①若，如图2，求证：； ②若圆的半径为2，，如图3，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）连接，根据，且，则，即可推导出； （2）①，则，又，，则，进而推导出； ②连接交于G，设，则，根据在和中 列式，进而求得x的值，再根据中位线定理求出AC的长． 【详解】证明：（1）连接， ∵为直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． （2）①∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ②连接交于G． 设，则 ∵ ∴ 又∵ ∴， 在和中 ∴即 ∵ ∴是的中位线 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型，借助辅助线是解决这类问题的关键． 11．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 12．（2024·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证； （2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB•DF=EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）证明：连接OD，如图所示， ∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE， ∴∠ODE=∠DEA=90°， ∴OD∥AC， ∴∠ODA=∠DAC， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠DAC=∠OAD， ∴AD平分∠BAC； （2）证明：连接OF，BD，如图所示， ∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径， ∴∠DEF=∠ADB=90°， ∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°， ∴∠EFD=∠DBA， ∴△EFD∽△DBA， ∴， ∴DB•DF=EF•AB， 由（1）知，AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠DAB， ∴DF=DB， ∴DF2=EF•AB． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 类型三、倍数线段代换法 13．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），点在边的延长线上，且，连接交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据全等三角形的性质得到，根据性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，由（1）知，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本几何模型． 14．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结，． (1)写出和的数量关系，并证明． (2)求证： (3)若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，即可求解； （2）证明，可得，结合，即可证明； （3）通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论； （3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键． 16．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【详解】（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，   ， ， 直径垂直弦， ，， 又， ， ， 设，， 则，   ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ，   ， 即， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 17．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作射线的垂线，垂足为F，连接． (1)如图（1），若，求的长； (2)如图（2），若E为中点． ①求证：； ②当时，判断是否正确，如判断正确，无需写出理由；若判断错误，请直接写出正确结果等于多少． 【答案】(1)9 (2)①见详解；②判断错误， 【分析】（1）证明，据全等三角形的性质得，即可求解； （2）①延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得，则，即是的中点，根据直角三角形斜边上的中线即可得出结论； ②延长、交于点，由①知，可得，由得，则，证明，根据相似三角形的性质可得出． 【详解】（1）解：， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①证明：如图，延长、交于点， 在矩形中，， ， ∴点为的中点， ， ， ， ， ， ∴是的中点， ， ， ； ②如图，延长交于点M， 由①知， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 18．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，是的直径，点E是上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解 【分析】（1）连接OC，先证明∠EAC=∠OCA，可得CO∥AE，进而即可求证； （2）连接BC，可证，进而即可得到结论； （3）由三角形外角的性质可得∠QBM-∠QAM=∠Q，∠CBM-∠CAM=∠ACB，结合角平分线的定义，可得∠ACB=2∠Q，同理：∠AEB=2∠P，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵的平分线交于点C， ∴∠EAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠OCA， ∴∠EAC=∠OCA， ∴CO∥AE， ∵， ∴CO⊥CD， ∴是的切线； （2）连接BC， ∵是的直径， ∴∠ACB =90°， ∵， ∴∠D=90°，即：∠ACB=∠D， ∵∠DAC=∠CAB， ∴， ∴，即：， ∵AB=2AO， ∴； （3）证明：∵∠QBM是的一个外角， ∴∠QBM-∠QAM=∠Q， 同理：∠CBM-∠CAM=∠ACB， ∵的平分线交的平分线于点Q， ∴∠CBM=2∠QBM，∠CAM=2∠QAM， ∴∠ACB=2∠Q， 同理：∠AEB=2∠P， ∵∠ACB和∠AEB都是直径所对的圆周角， ∴∠ACB=∠AEB=90°， ∴，即：无论点E如何运动，总有． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，三角形外角的性质，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，切线的判定定理，是解题的关键． 类型三、等比代换法(找中间比) 要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡。 19．（2023·山东泰安·中考真题）如图，、是两个等腰直角三角形，．    (1)当时，求； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）先证明，再证明是线段的垂直平分线，即有，即是等边三角形，问题得解； （2）根据垂直可得，又根据，可得，即可证明； （3）过H点作于点K，先表示出，根据是线段的垂直平分线，可得，即可得，进而可得，则有，结合，，可得，再证明，即可证明． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、是两个等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴等腰直角中，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴； （2）在（1）中有，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）过H点作于点K，如图，    ∵，， ∴， ∴，即是等腰， ∴， ∵，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在（1）中已证明， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，，于为直角边的中点，过作直线交的延长线于． (1)若，，求长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，记得根据面积法得出，带入数值即可求出，再根据勾股定理可得的长． （2）先证明，得出，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再根据等边对等角和对顶角相等，得出，即可证明，得出， 即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵，， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴，， ∵为直角边的中点， ∴， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，对顶角相等的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型四、等积代换法(找中间积) 要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡。 21.（24-25九年级上·山东济南·期末） 如图，已知是斜边上的高，在的延长线上任取一点，连接，垂足为，交于.求证：． 23．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）过点F作，垂足分别为，则，进而表示出两个三角形的面积，即可求解； （2）过点A作于点，表示出两三角形的面积，即可求解； （3）连接，证明得出，证明，得出，即可，恒等式变形即可求解； （4）连接，证明，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为， ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图所示，过点A作于点，    ∵， ∴， 由（1）可得， ∴； （3）证明：连接，    ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， （4）解：如图所示，连接，    ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，角平分线的性质与定义，相似三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的面积公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形比例等积式证明 线段比例关系一般以比例式或等积式形式出现，其证明问题是初中几何中非常常见的题型，同时也是令许多学生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手。对于等积式的证明，往往先根据比例的基本性质，把等积式化成比例式，再结合图形来解决，常见的线段比例关系的证明方法有以下几种类型。 类型一、三点定型法 要证明的比例式中的线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形。 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点从运动到，且． (1)求证：； (2)若，，求当长为多少时，． 2．（2023·湖北黄冈·一模）如图，为上一点，点在直径的延长线上，且． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长． 3．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，是劣弧的中点，BD交AC于点E,求证：AD2＝DE•DB； 4．（2022·山东滨州·中考真题）如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证： (1)PD是的切线； (2) 类型二、等线段代换法 从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等线段、倍数或倍分线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形。 5．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：；(2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 6．（23-24九年级上·山东青岛期末）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点 (1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 7．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF•DA． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，与交于点，． (1)求证：；(2)若，求的值． 9．（2024·山东日照·一模）如图，在中，是弧的中点，为上的一动点（与在异侧），连接交于点，（是的半径）． （1）为延长线上一点，若，证明：直线与相切； （2）求证：． 10．（2023·山东泰安·中考真题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点E． （1）求证：； （2）与，分别交于点F，H． ①若，如图2，求证：； ②若圆的半径为2，，如图3，求的值． 11．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 12．（2024·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF． （1）求证：AD平分∠BAC；（2）求证：． 类型三、倍数线段代换法 13．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），点在边的延长线上，且，连接交于点，交于点．(1)求证：； (2)若，求证：． 14．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结，． (1)写出和的数量关系，并证明． (2)求证： (3)若正方形的边长为3，，求的长． 15．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 16．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． (1)若，求的长．(2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 17．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作射线的垂线，垂足为F，连接． (1)如图（1），若，求的长； (2)如图（2），若E为中点． ①求证：； ②当时，判断是否正确，如判断正确，无需写出理由；若判断错误，请直接写出正确结果等于多少． 18．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，是的直径，点E是上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有． 类型三、等比代换法(找中间比) 要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡。 19．（2023·山东泰安·中考真题）如图，、是两个等腰直角三角形，． (1)当时，求；(2)求证：； (3)求证：． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，，于为直角边的中点，过作直线交的延长线于． (1)若，，求长； (2)求证：． 类型四、等积代换法(找中间积) 21.（24-25九年级上·山东济南·期末） 如图，已知是斜边上的高，在的延长线上任取一点，连接，垂足为，交于.求证：． 22．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$