精品解析：甘肃省武威第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

武威一中2024年秋季学期高二年级期中考试 数学试卷 命题人： 审题人： 注意事项： 1． 答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2． 请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列问题属于组合问题的是（ ） A. 从4名志愿者中选出2人参加一个志愿服务工作 B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C. 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式 D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员 2. 已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 A. B. C. D. 4. 可表示为（　　） A. B. C. D. 5. 某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（ ） A. 3，5 B. 2，5 C. 5，3 D. 6，2 6. 已知点和点， 若直线上存在点， 可使， 则称该直线为“D型直线”． 下列四条直线中：①； ② ； ③； ④．“D型直线”的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为 A. B. C. D. 二． 多选题（共3小题，满分18分，每小题全部选对得6分，部分选对得2分） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 11. 已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 四边形面积的最小值为 C. D. 若，则直线的斜率为 第II卷（非选择题） 三填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分） 12. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 13. 从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为_________. 14. 已知椭圆，点M1，M2，…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这5点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…AP10这10条直线的斜率乘积为_____． 四、解答题（本题共5个答题，共77分） 15. （1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 16. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点. （1）求双曲线的方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； （3）若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 17. 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． （1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ （2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ （3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为. ①求四边形APBQ的面积的最大值； ②求证：. 19. 已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”. （1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由； （2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程； （3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威一中2024年秋季学期高二年级期中考试 数学试卷 命题人： 审题人： 注意事项： 1． 答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2． 请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列问题属于组合问题的是（ ） A. 从4名志愿者中选出2人参加一个志愿服务工作 B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C. 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式 D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员 【答案】AC 【解析】 【分析】根据组合问题只需选出元素即可，而排列问题是对选出的元素还需进行排序，对每一选项进行判断，即可得出答案. 【详解】选项A. 从4名志愿者中选出2人参加一个志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故是组合问题. 选项B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数, 选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序成三位数，故是排列. 选项C. 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式, 只需选出3人即可，无排序要求，故是组合问题. 选项D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员 先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题. 所以B，D项均为排列问题，A，C项是组合问题. 故选：AC 2. 已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程. 【详解】抛物线的焦点为， 则，且，解得， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 3. 圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得圆心和渐近线方程，再由点到直线的距离公式求得半径. 【详解】由已知得圆心为（2,0），双曲线渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离为，所以，故选C. 【点睛】本小题主要考查圆的标准方程，考查双曲线渐近线的求法，考查点到直线距离公式和直线与圆的位置关系，属于基础题. 4. 可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数的定义可得出答案． 【详解】 ， 故选：B. 5. 某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（ ） A. 3，5 B. 2，5 C. 5，3 D. 6，2 【答案】A 【解析】 【分析】先设男生女生人数，再根据已知列式，结合排列数及组合数的计算即可解. 【详解】设男生人数为，则女生人数为， 由题意可知，即，即， 解得，所以男、女生人数为. 故选:A. 6. 已知点和点， 若直线上存在点， 可使， 则称该直线为“D型直线”． 下列四条直线中：①； ② ； ③； ④．“D型直线”的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意点在椭圆上，再逐项分析直线是否与椭圆有公共点即可得解. 【详解】由可知，点轨迹为椭圆， 由，可得，又焦点在轴上， 故椭圆的方程为， 由题意，直线与椭圆有公共点即为“D型直线”， 由过点，知直线过椭圆内的点，故相交，是“D型直线”， 由可知，与椭圆相交，是“D型直线”，与椭圆没有公共点，不是“D型直线”， 由知与椭圆没有公共点，不是“D型直线”. 故选：B 7. 年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案. 【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C. 8. 已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出椭圆与双曲线的图像，根据正六边形的性质，即可找到椭圆中与双曲线中的关系式，即可求出其离心率. 【详解】如图所示： 因为. 所以双曲线的渐近线为，即. 因为 、、、. 所以 . 所以. 故选B. 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率,属于基础题.解决本题的关键在于正确画出其图像，找到图像中的关于等式. 二． 多选题（共3小题，满分18分，每小题全部选对得6分，部分选对得2分） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程和双曲线方程求得a，b，c，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以的长轴长为8，故A错误； 的渐近线方程为，故B正确； 与的离心率互为倒数，故C正确； 与的焦点坐标不相同，故D错误； 故选：BC 10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误． 【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误 对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法 由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误 对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确 对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况， 只选物理不选历史，有种选法 选化学，不选物理，有种选法 物理与化学都选，不选历史，有种选法 故总数为种，故D错误 故选：ABD 11. 已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 四边形面积的最小值为 C. D. 若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理并计算可判断A正确，求得四边形面积的表达式为并利用基本不等式计算可得最小值为，即B错误；根据焦半径公式代入计算可得C正确，求得解方程计算可得，即D正确. 【详解】如下图所示： 易知，设， 则直线的方程为，其中， 联立，整理可得， 可得， 对于A，设，易知直线的斜率为，方程为； 同理可得 所以 ，可知A正确； 对于B，由焦点弦公式计算可得， 因为，可得四边形面积为 ， 所以四边形面积的最小值为，即B错误； 对于C，由B可知，即C正确； 对于D，若，可得 ， 即可得，解得，即或（舍）； 因此直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 即直线的斜率为，即D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分） 12. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 设出方程，代入点A即可求出. 【详解】双曲线为等轴双曲线，则可设方程为， 将代入可得，即， 故方程为，化为标准方程为. 故答案为：. 13. 从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论从0，2，4中任取2个数时，其中含数字0时，和不含数字0时，结合排列组合即可得解． 【详解】从1，3，5中任取两个数，从0，2，4中任取2个数，组成没有重复数字的四位数，分两种情况： ①当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为; ②当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为. 综合①②得：组成没有重复数字的四位数的个数为. 故答案为：． 14. 已知椭圆，点M1，M2，…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这5点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…AP10这10条直线的斜率乘积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点，则，由椭圆的对称性可知，所以，同理可得其它，即可求出． 【详解】如图所示： 设点，则 同理可得，． 由椭圆的对称性可得，∴，， 同理可得，． ∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查椭圆的性质运用，属于基础题． 四、解答题（本题共5个答题，共77分） 15. （1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【解析】 【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得. （2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解. （3）利用组合数的性质化简求解. 【详解】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 16. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点. （1）求双曲线的方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； （3）若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程. （3）利用点差法求得直线的方程. 【小问1详解】 椭圆，即， 所以，所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 双曲线，对应，所以渐近线方程为， 设过点的双曲线的标准方程为， 所以，所以. 【小问3详解】 设，则， 两式相减并化简得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 由， 消去并化简得，符合. 所以直线的方程为. 17. 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． （1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ （2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ （3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】（1）150 （2）48 （3）120 （4） 【解析】 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【小问1详解】 将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． 【小问2详解】 先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． 【小问3详解】 先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． 【小问4详解】 先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为. ①求四边形APBQ的面积的最大值； ②求证：. 【答案】（1）； （2）①； ②， ， ， 即， . 【解析】 【分析】（1）设椭圆C的方程，再根据抛物线的焦点坐标，和椭圆离心率，则可求出椭圆C的方程的解析式. （2）①先求出m的值，设，和直线AB的方程，再联立直线AB的方程和由（1）求得的椭圆方程，得到，可求出t的范围，再根据韦达定理可得，则四边形APBQ的面积的最大值可求，②由①得P点坐标，再根据斜率公式写出,,再将化简即可得则可证. 【详解】（1）由题意设椭圆的方程为， 因为抛物线的焦点坐标为，则， 由， ∴椭圆C的方程为. （2）①当时，解得， ， 设，直线AB的方程为， ， ， 由，解得， 由韦达定理得. ， 由此可得：四边形APBQ的面积， ∴当时，. ②略 【点睛】考查椭圆的标准方程，椭圆中的最值问题以及椭圆的应用.题目较难.需多加理解. 19. 已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”. （1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由； （2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程； （3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于. 【答案】（1）不存在，理由如下： 由题意可知，抛物线的标准方程为， 由，可知，为重心， 设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为 和，另外的顶点为， 由，解得：，显然， 故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为 和； （2）； （3）证明：由（2）可知，则，① 由，， 平方可得，当且仅当时取等号，显然， 所以，即， 将①代入可得，解得， 所以点的横坐标小于. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，点为的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可； （2）设点、、，利用点差法求得，根据重心的坐标公式，求出线段的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线的方程； （3）由，等式两边平方，利用基本不等式可得出，结合等式可求出，进而证明结论成立. 【详解】（1）略 （2）设、、， 由，两式相减，得，所以，所以， 由题意可知，，所以，则， 由，所以，所以，线段的中点， 因此，直线的方程为，整理得. 因此，直线的方程； （3）略 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $