专题07 解三角形和复数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（广东专用）

专题07 解三角形和复数 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：正弦定理解三角形 4 考点二：余弦定理解三角形 7 考点三：三角形的面积公式 10 考点四：正余弦定理的大题综合 12 考点五：复数的概念及分类 16 考点六：复数的四则运算 18 考点七：复数的几何意义 20 考点八：求复数的模 22 实战能力训练 24 明晰学考要求 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义; 4、掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加法、减法运算的几何意义, 基础知识梳理 一、正弦定理 1.正弦定理的内容 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 正弦定理 公式 ，其中为的外接圆的半径. 常见变形 ①； ②； ③； 解三角形问题 ①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 角边关系 2.三角形的面积公式 设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S. ①(h为BC边上的高)； ②； 二、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 余弦定理 公式 常见变形 ，， 解三角形问题 ①已知三边，求三个角； ②已知两边和一角，求第三边和其他两角． 余弦定理与勾股定理的关系 ⇔C为直角； ⇔C为钝角； ⇔C为锐角. 三、三角形中常用结论 1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： 2. 大边对大角，大角对大边： 3.，故有①；②； ③；④⑤ 四、复数的定义及其分类 1.定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2.复数的分类： 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3.复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 五、复平面 1.定义：实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2．复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 六、复数的四则运算 1.复数的四则运算：设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2．复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3．共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若，则 考点精讲讲练 考点一：正弦定理解三角形 （1）已知两角一边解三角形：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2022高二下·河北·学业考试）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2021高二上·新疆·学业考试）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高二下·云南·学业考试）在中，内角的对边分别是，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【即时演练】 1．在中，已知，，，则角的值为（    ） A．或 B． C． D．或 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．中，，，，则 ． 4．在中内角所对的边分别为，且，，，则 ． 考点二：余弦定理解三角形 （1）已知两边及其一边的对角解三角形：直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. （2）已知三边解三角形：已知先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为已知三边求解. 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在中，，则（    ） A． B． C． D．3 例2．（2022高二下·河北·学业考试）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高三上·广西·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 例4．（2020高二下·山东·学业考试）在中，角的对边分别为．若，则的值为 ． 【即时演练】 1．在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 2．在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 3．长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 4．已知中，，则AB中线CM长等于 . 考点三：三角形的面积公式 一般用公式进行求解即可 【典型例题】 例1．（2024高二下·安徽·学业考试）的内角的对边分别为的面积为，且，则边（    ） A．7 B．3 C． D． 例2．（2020高三上·河北·学业考试）在中，内角所对的边分别是．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 例3．（2020高二上·新疆·学业考试）的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 . 例4．（2023高二·天津·学业考试）在中，若，，，则边上的高为 . 【即时演练】 1．在直角坐标平面内，的三顶点的坐标分别为，，，则的面积为（    ）    A．120 B．60 C．30 D．15 2．在中，若，且的面积为，则 ． 3．在中，，其面积为，则边 . 4．的内角的对边分别为,若, ，, 求的面积. 考点四：正余弦定理的大题综合 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖北·学业考试）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 例2．（2024高三上·广东·学业考试）已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 例3．（2023高二下·福建·学业考试）已知分别为三个内角的对边，. (1)求的值； (2)若，求b的值. 例4．（2023高二·云南·学业考试）在中，角的对边分别为. (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 【即时演练】 1．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角C的大小； (2)求的值． 2．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 3．在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 4．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求c； (2)若的面积为，，求a． 考点五：复数的概念及分类 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 例2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 例3．（2024高二上·广东·学业考试）若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知复数，要让z为实数，则实数m为 . 【即时演练】 1．已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 2．已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 4．已知复数是纯虚数，则 . 考点六：复数的四则运算 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 例2．（2023高三上·广西·学业考试）设复数，（i是虚数单位），则 ． 例3．（2024高二下·天津河东·学业考试）为虚数单位，复数 ． 例4．（2020高二下·山东·学业考试）复数（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．复数z满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．设复数，则的虚部是（    ） A．1 B． C．i D． 3．已知为虚数单位，则（    ） A．5 B．-1 C．1 D．7 4．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点七：复数的几何意义 找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·安徽·学业考试）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3．（2024高三上·江苏南京·学业考试）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4．（2024高二下·安徽·学业考试）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即时演练】 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 4．已知复数（且），为虚数单位，则x在复平面内对应的点所在的象限为 象限. 考点八：求复数的模 （1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. （2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,公式为 【典型例题】 例1．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）复数的模长为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·安徽·学业考试）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2022高二下·安徽马鞍山·学业考试） ． 例4．（2024高二下·安徽·学业考试）已知是虚数单位，复数，则 . 【即时演练】 1．若复数满足（为虚数单位），则的模（    ） A．1 B． C． D． 2．若复数满足（为虚数单位），则的模（   ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．复数的实部与虚部之和为 . 实战能力训练 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 2．在△ABC中，若，，，则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 3．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．－1 B．1 C．－i D．i 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，已知，，，则 . 8．在中，，，，则 . 9．在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，，则最小角的余弦值＝ . 10．已知复数，，则 . 11．复数在复平面内对应的点位于第 象限. 12．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为 13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求c． 14．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 15．已知复数，，. (1)若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围； (2)若复数，求. 16．已知的内角所对的边分别为，满足. (1)求外接圆的面积； (2)若，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解三角形和复数 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：正弦定理解三角形 4 考点二：余弦定理解三角形 7 考点三：三角形的面积公式 10 考点四：正余弦定理的大题综合 12 考点五：复数的概念及分类 16 考点六：复数的四则运算 18 考点七：复数的几何意义 20 考点八：求复数的模 22 实战能力训练 24 明晰学考要求 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义; 4、掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加法、减法运算的几何意义, 基础知识梳理 一、正弦定理 1.正弦定理的内容 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 正弦定理 公式 ，其中为的外接圆的半径. 常见变形 ①； ②； ③； 解三角形问题 ①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 角边关系 2.三角形的面积公式 设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S. ①(h为BC边上的高)； ②； 二、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 余弦定理 公式 常见变形 ，， 解三角形问题 ①已知三边，求三个角； ②已知两边和一角，求第三边和其他两角． 余弦定理与勾股定理的关系 ⇔C为直角； ⇔C为钝角； ⇔C为锐角. 三、三角形中常用结论 1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： 2. 大边对大角，大角对大边： 3.，故有①；②； ③；④⑤ 四、复数的定义及其分类 1.定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2.复数的分类： 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3.复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 五、复平面 1.定义：实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2．复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 六、复数的四则运算 1.复数的四则运算：设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2．复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3．共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若，则 考点精讲讲练 考点一：正弦定理解三角形 （1）已知两角一边解三角形：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，故，所以. 故选：C 例2．（2022高二下·河北·学业考试）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得，故， 因为，故，故为锐角，故， 故选：A. 例3．（2021高二上·新疆·学业考试）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理，可得， 故选：D. 例4．（2024高二下·云南·学业考试）在中，内角的对边分别是，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由正弦定理得，， 得，得， 故选：D 【即时演练】 1．在中，已知，，，则角的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】，，， 又，且， ，则角的值为． 故选：B. 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 3．中，，，，则 ． 【答案】 【详解】， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 4．在中内角所对的边分别为，且，，，则 ． 【答案】或 【详解】在中由正弦定理可知，所以， 解得，因为为的内角， 所以或， 所以或， 故答案为：或． 考点二：余弦定理解三角形 （1）已知两边及其一边的对角解三角形：直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. （2）已知三边解三角形：已知先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为已知三边求解. 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由， 所以. 故选：A 例2．（2022高二下·河北·学业考试）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 例3．（2023高三上·广西·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 【答案】1 【详解】, 故答案为：1. 例4．（2020高二下·山东·学业考试）在中，角的对边分别为．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意知，在中，，设，，，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为：. 【即时演练】 1．在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理可得， ， 故选:B. 2．在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．或 【答案】C 【详解】由余弦定理可得,即， 解得或， 故选：C 3．长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形 【答案】C 【详解】设，设其所对应的三个角分别为， 根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 4．已知中，，则AB中线CM长等于 . 【答案】/ 【详解】由题意知， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 考点三：三角形的面积公式 一般用公式进行求解即可 【典型例题】 例1．（2024高二下·安徽·学业考试）的内角的对边分别为的面积为，且，则边（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 例2．（2020高三上·河北·学业考试）在中，内角所对的边分别是．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， ， 所以， 所以，，， 所以，. 故选：C 例3．（2020高二上·新疆·学业考试）的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 . 【答案】 【详解】由，解得， 又， 所以 故答案为： 例4．（2023高二·天津·学业考试）在中，若，，，则边上的高为 . 【答案】/ 【详解】在中，若，，， 则 设边上的高为h，则, 故答案为： 【即时演练】 1．在直角坐标平面内，的三顶点的坐标分别为，，，则的面积为（    ）    A．120 B．60 C．30 D．15 【答案】C 【详解】因为的三顶点的坐标分别为，，， 所以，， , 因为，所以, 则直角三角形的面积为， 故选：C. 2．在中，若，且的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：因为，且的面积为， ，解得：. 故答案为： 3．在中，，其面积为，则边 . 【答案】10 【详解】由，得， 得， 故答案为：10 4．的内角的对边分别为,若, ，, 求的面积. 【答案】 【详解】 由余弦定理得，即， 又,联立解得，， 故的面积为：. 考点四：正余弦定理的大题综合 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖北·学业考试）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长. ①；②. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 【详解】若选择①， ，得， ， 得，所以； 若选择②， ，得，因为，所以， 那么，， ，得，，， 所以， 所以的周长为. 例2．（2024高三上·广东·学业考试）已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，，由余弦定理可得： ，即； （2），，，由正弦定理可得： ，故. 例3．（2023高二下·福建·学业考试）已知分别为三个内角的对边，. (1)求的值； (2)若，求b的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，因为，所以. （2）由正弦定理，，又， 所以. 例4．（2023高二·云南·学业考试）在中，角的对边分别为. (1)已知，求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4； (2)1. 【详解】（1）在中，，由正弦定理，得， 所以的值是4. （2）在中，，由余弦定理，得， 则有，即，解得， 所以的值为1. 【即时演练】 1．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角C的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， ． （2）， ， ， ． 2．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由， 则， 又，则； （2）由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . 3．在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； （2） 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 4．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)若，，求c； (2)若的面积为，，求a． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为，，所以， 由正弦定理，可得. （2）因为的面积为，所以， 因为，，所以，解得. 由余弦定理可得，即. 考点五：复数的概念及分类 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南·学业考试）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 例2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 例3．（2024高二上·广东·学业考试）若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 【答案】B 【详解】的虚部为-5. 故选：B 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知复数，要让z为实数，则实数m为 . 【答案】2 【详解】为实数，则，． 故答案为：2. 【即时演练】 1．已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 【答案】B 【详解】由复数的实部和虚部分别为5和，得， 所以. 故选：B 2．已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】若复数为纯虚数，则，即 所以若为纯虚数不一定得到，故充分性不成立； 由一定能得到为纯虚数，故必要性成立； 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件. 故选：B 3．若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 【答案】 【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以. 故答案为： 4．已知复数是纯虚数，则 . 【答案】4 【详解】解：复数是纯虚数， 则，解得. 故答案为：4. 考点六：复数的四则运算 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 【答案】D 【详解】由于，所以. 故选：D 例2．（2023高三上·广西·学业考试）设复数，（i是虚数单位），则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 例3．（2024高二下·天津河东·学业考试）为虚数单位，复数 ． 【答案】 【详解】 故答案为： 例4．（2020高二下·山东·学业考试）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 【即时演练】 1．复数z满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，所以，所以. 故选：A. 2．设复数，则的虚部是（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】B 【详解】，虚部为， 故选：B． 3．已知为虚数单位，则（    ） A．5 B．-1 C．1 D．7 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 4．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 得. 故选：D． 考点七：复数的几何意义 找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 例2．（2024高二下·安徽·学业考试）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 例3．（2024高三上·江苏南京·学业考试）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设， 则，显然， 所以点在第一象限，A正确. 故选：A 例4．（2024高二下·安徽·学业考试）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】，对应的点，位于第二象限. 故选：B 【即时演练】 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】∵， ∴该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2．复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由题意得，对应点为， 它在第二象限，故B正确. 故选：B 3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为复数对应的点为， 所以点A关于虚轴的对称点为， 所以对应的复数为. 故选：C 4．已知复数（且），为虚数单位，则x在复平面内对应的点所在的象限为 象限. 【答案】第二 【详解】易知复数在复平面内对应的点坐标为， 由，可知，，故z在复平面内时对应的点所在的象限为第二象限. 故答案为：第二 考点八：求复数的模 （1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. （2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,公式为 【典型例题】 例1．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）复数的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数的模长为. 故选：A 例2．（2024高二下·安徽·学业考试）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， ， 故选：A 例3．（2022高二下·安徽马鞍山·学业考试） ． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 例4．（2024高二下·安徽·学业考试）已知是虚数单位，复数，则 . 【答案】 【详解】, 所以. 故答案为：. 【即时演练】 1．若复数满足（为虚数单位），则的模（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 故选：A. 2．若复数满足（为虚数单位），则的模（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 4．复数的实部与虚部之和为 . 【答案】5 【详解】由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5. 故答案为：5 实战能力训练 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【详解】解：由正弦定理可知：， 为外接圆的半径，所以. 故选：A 2．在△ABC中，若，，，则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得. 故选：C. 3．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．－1 B．1 C．－i D．i 【答案】B 【详解】，虚部为1. 故选：B 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，故 故选：A. 5．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理，得. 故选：D. 6．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，因为，所以， 故选：B. 7．在中，已知，，，则 . 【答案】 【详解】由余弦定理得：， （舍）或. 故答案为：. 8．在中，，，，则 . 【答案】 【详解】由余弦定理可得, 故答案为：. 9．在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，，则最小角的余弦值＝ . 【答案】/ 【详解】因为，，， 所以， 所以， 又， 所以最小角的余弦值为， 故答案为：. 10．已知复数，，则 . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 11．复数在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】一 【详解】计算，其在复平面对应坐标为， 故该点在第一象限. 故答案为：一. 12．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为 【答案】/ 【详解】， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求c． 【答案】3或5 【详解】由余弦定理得，即， 整理得，解得或，均符合题意． 14．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由，且， 则， 所以． （2）由， 则， 又，则． 15．已知复数，，. (1)若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围； (2)若复数，求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1） 因为在复平面内的对应点落在第四象限，所以， 解得，因此实数的取值范围是. （2）因为，所以，解得或. 当时，，此时； 当时，，此时. 综上所述：或. 16．已知的内角所对的边分别为，满足. (1)求外接圆的面积； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设外接圆的半径为 在中，由正弦定理得， 因为，所以，所以， 外接圆的面积为 （2）因为，所以，所以 因为，所以或， 因为，所以，所以， 所以， 所以的面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$