专题06 平面向量（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（广东专用）

专题06 平面向量 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 5 考点一：平面向量的概念 5 考点二：平面向量的线性运算 9 考点三：平面向量基本定理的应用 11 考点四：平面向量的坐标运算 14 考点五：平面向量的共线问题 17 考点六：平面向量数量积的基本运算 19 考点七：平面向量的夹角 22 考点八：平面向量的模 25 考点九：平面向量的垂直 27 实战能力训练 30 明晰学考要求 1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 2、理解向量的几何表示； 3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 4、掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义； 5、了解向量线性运算的性质及其几何意义； 6、了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 7、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 8、理解用坐标表示的平面向量共线的条件； 9、理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 10、了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 11、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 12、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 13、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； 14、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 基础知识梳理 一、向量的有关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 三、共线向量定理及平面向量基本定理 共线向量定理：向量与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 平面向量的基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 五、平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算及 设，则 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 3.平面向量共线的坐标表示 设则 六、平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 七、平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 八、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； （5）设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 考点精讲讲练 考点一：平面向量的概念 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 【典型例题】 例1．（2020高一下·天津静海·学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3） 【答案】D 【解析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误； 当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误； 相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确； 向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的概念，是基础题. 例2．（2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 例3．（2023高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 例4．（2023高三·北京·学业考试）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心， 所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确； 与只是模相等的向量，故B错误； 与只是模相等的向量，故C错误； 与只是模相等的向量，故D错误. 故选：A. 【即时演练】 1．给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 【答案】A 【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动， 且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向量与互为相反向量，故③错误. 故选：A. 2．如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 3．如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 4．已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为相反向量，故A错误； 为相反向量，故B错误； 方向相反，故，C正确； 因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误. 故选：C 考点二：平面向量的线性运算 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 【典型例题】 例1．如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在矩形中，. 故选：B 例2．（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 例3．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 例4．（2019高二下·广西·学业考试）设为非零向量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故答案为：A. 【即时演练】 1．在三棱锥中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由. 故选：C 2． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 3．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 4．已知正方形的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 故选：C． 考点三：平面向量基本定理的应用 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止 【典型例题】 例1．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 例2．（2023高二·安徽·学业考试）如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 故选：D 例3．（2024高二上·福建·学业考试）如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以. 故选：D 例4．（2024高三·广东·学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以，则 故答案为： 【即时演练】 1．在平行四边形ABCD中，点E为线段CD的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，点E为线段CD的中点， 所以. 故选：C 2．在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 4．已知向量不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】向量不共线，且， 则有解得所以． 故选：D． 考点四：平面向量的坐标运算 （1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【典型例题】 例1．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，所以. 故选：D. 例3．（2020高二下·山东·学业考试）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设线段中点为，则， 故线段中点为. 故选：B. 例4．（2023高二·云南·学业考试），则的坐标为 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以的坐标为. 故答案为： 【即时演练】 1．点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量， 若，则, 所以， 可得,即得. 故选：B. 3．已知向量，若，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量，若， 则. 故选：D. 4．已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，， 则， 所以 设向量， 则, 所以，解得， 所以. 故选：D 考点五：平面向量的共线问题 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路： （1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行. （2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合. 【典型例题】 例1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知向量，若，则（    ） A．9 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为, 所以. 故选：B. 例2．（2020高三·安徽·学业考试）若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于(    ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 【答案】C 【详解】由题意可知，，， 因为 A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线， 故，即， 解得，，. 故选：C. 例3．（2020高二·广西·学业考试）已知向量，则下列坐标表示的向量与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因，则向量与不共线，A不是； 对于B，因，则向量与不共线，B不是； 对于C，因，则向量与不共线，C不是； 对于D，因，则向量与不共线，D是. 故选：D 例4．（2021高二上·新疆·学业考试）已知向量，，且，则 ． 【答案】3 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：3. 【即时演练】 1．已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【详解】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 2．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（    ） A．－8 B．8 C．6 D．－6 【答案】A 【详解】由已知得， 三点A，B，D共线 存在实数使 ， ，解得. 故选：A. 3．若，，，三点共线，则实数的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【答案】B 【详解】由题意可得，则， 可得，解得. 故选：B. 【点睛】 4．已知向量，若，则 ． 【答案】2 【详解】法一、由，得， 由，得，解得． 法二、若，则，则，所以，所以． 故答案为： 考点六：平面向量数量积的基本运算 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算；（3）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以， 所以. 故选：C 例2．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，则（    ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由题意知，. 故选：A. 例3．（2024高二上·北京·学业考试）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .    【答案】 2 【详解】由图可知， ，其中为在上的投影， 由图可知投影长度为1，且方向与相反， 故. 故答案为：2；. 例4．（2024高二下·浙江·学业考试）向量是两个单位向量，夹角为，则 ． 【答案】/ 【详解】由向量是两个单位向量，夹角为，可得， 则. 故答案为：. 【即时演练】 1．已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】由题知， 所以. 故选：C 2．若向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】1 【详解】若向量与的夹角为，，，则， 故答案为：1. 3．在等边中，，则 ． 【答案】/ 【详解】. 故答案为：. 4．已知向量，满足，，且，则 . 【答案】4 【详解】，，又， ，，， ． 故答案为：. 考点七：平面向量的夹角 求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； 【典型例题】 例1．（2023高三上·新疆·学业考试）已知向量，则向量与（    ） A．互相平行 B．夹角为 C．夹角为 D．互相垂直 【答案】A 【详解】由向量，可得， 则， 因为，所以，所以向量与平行. 故选：A. 例2．已知向量，则向量与夹角的余弦值为 ． 【答案】/0.5 【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值. 故答案为： 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 . 【答案】 【详解】因为, 所以， 即, 所以, 因为, 所以， 因为, 所以. 故答案为：. 例4．（2023高二·甘肃·学业考试）已知向量、满足且，则向量与的夹角为 . 【答案】 【详解】设向量与的夹角为，则， 所以，，可得， 故. 故答案为：. 【即时演练】 1．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以与的夹角为. 故选：D. 2．若向量，，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，， 所以， 由于，所以， 故选：A 3．中，设，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为， 所以， 即，可得， 又因为，所以， 所以角A为钝角. 故选：A． 4．已知，，均为单位向量，且满足，则 . 【答案】/ 【详解】由题意，所以，解得. 故答案为：. 考点八：平面向量的模 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，且，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）已知单位向量与单位向量的夹角为，则 ． 【答案】 【详解】因为,的夹角为120°， 所以， . 故答案为：. 例4．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知向量，，则= . 【答案】1 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为：1 【即时演练】 1．已知平面向量为单位向量，若，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】已知，根据向量模长公式，可得. 展开得到. 因为，是单位向量，所以，即，. 代入上式可得，解得. 同样根据向量模长公式，. 将展开得到. 把，，代入可得：. 所以. 故选：B. 2．设向量，满足，，则等于（   ） A． B．2 C．5 D．8 【答案】B 【详解】. 故选：B. 3．已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，， 所以，则． 故选：B． 4．已知向量，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】C 【详解】，则， 由于，所以， 所以，所以. 故选：C 考点九：平面向量的垂直 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】由，可得，解得. 故选：A. 例2．（2023高三·新疆·学业考试）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与的夹角， 因为 所以 解得， 所以， 故选：B. 例3．（2022高二·湖南·学业考试）在中，，为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】解：因为，所以，则在中，，， 所以为直角三角形. 故选：A. 例4．（2024高二上·新疆·学业考试）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，解得， 所以 （2）因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 【即时演练】 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题， 由得，即，. 故选：D． 2．已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以． 因为，所以，解得． 故选：A 3．已知向量满足，且，则与的夹角为 . 【答案】 【详解】由向量满足，且， 设与的夹角为，可得 求得，因此 故答案为：. 4．已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 实战能力训练 1．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题. 故选：B. 2．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 3．已知平面向量，满足，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题意知，， ， 所以. 故选：D 4．，点在边上，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意， . 故选：B 5．已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【详解】由题意与共线，所以，解得． 故选：A. 6．设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：C. 7．已知向量的夹角为30°，且，则 【答案】 【详解】， 故答案为： 8．化简 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 9．已知平面向量满足，且，则 . 【答案】 【详解】依题意，，且， 所以， 所以. 故答案为： 10．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数 ． 【答案】 【详解】由题中所给图象可得，， 向量与共线，所以，即 所以，解得． 故答案为：. 11．已知向量的夹角为，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 12．已知等边的边长为1，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）与的夹角为， . （2）与的夹角为， . （3）与的夹角为， . 13．已知，，．设，且. (1)求； (2)求满足的实数，； (3)求，的坐标及向量的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，，． 【详解】（1）由题意得， ，， 所以； （2）解法一：因为，所以，解得； 解法二：∵，所以，又且与不共线， 所以； （3）设为坐标原点，∵＝－， ∴，∴． 又，∴， ∴．∴． 14．已知向量． (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，求实数的值； (3)若向量满足，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由向量，得， 于是，而， 所以. （2）由向量，得，， 由，得，解得， 所以实数的值是. （3）依题意，即， 于是，解得，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 5 考点一：平面向量的概念 5 考点二：平面向量的线性运算 9 考点三：平面向量基本定理的应用 11 考点四：平面向量的坐标运算 14 考点五：平面向量的共线问题 17 考点六：平面向量数量积的基本运算 19 考点七：平面向量的夹角 22 考点八：平面向量的模 25 考点九：平面向量的垂直 27 实战能力训练 30 明晰学考要求 1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 2、理解向量的几何表示； 3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 4、掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义； 5、了解向量线性运算的性质及其几何意义； 6、了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 7、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 8、理解用坐标表示的平面向量共线的条件； 9、理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 10、了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 11、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 12、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 13、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； 14、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 基础知识梳理 一、向量的有关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 三、共线向量定理及平面向量基本定理 共线向量定理：向量与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 平面向量的基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 五、平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算及 设，则 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 3.平面向量共线的坐标表示 设则 六、平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 七、平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 八、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； （5）设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 考点精讲讲练 考点一：平面向量的概念 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 【典型例题】 例1．（2020高一下·天津静海·学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3） 例2．（2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 例4．（2023高三·北京·学业考试）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 2．如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 3．如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 4．已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 考点二：平面向量的线性运算 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 【典型例题】 例1．如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 例2．（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2019高二下·广西·学业考试）设为非零向量，则（    ）． A． B． C． D． 【即时演练】 1．在三棱锥中，等于（    ） A． B． C． D． 2． （    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 4．已知正方形的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 考点三：平面向量基本定理的应用 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止 【典型例题】 例1．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2023高二·安徽·学业考试）如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 例3．（2024高二上·福建·学业考试）如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高三·广东·学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 . 【即时演练】 1．在平行四边形ABCD中，点E为线段CD的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知向量不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B． C．0 D．2 考点四：平面向量的坐标运算 （1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【典型例题】 例1．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2020高二下·山东·学业考试）在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023高二·云南·学业考试），则的坐标为 . 【即时演练】 1．点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（   ） A． B． C． D． 考点五：平面向量的共线问题 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路： （1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行. （2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合. 【典型例题】 例1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知向量，若，则（    ） A．9 B． C．1 D． 例2．（2020高三·安徽·学业考试）若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于(    ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 例3．（2020高二·广西·学业考试）已知向量，则下列坐标表示的向量与共线的是（   ） A． B． C． D． 例4．（2021高二上·新疆·学业考试）已知向量，，且，则 ． 【即时演练】 1．已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 2．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（    ） A．－8 B．8 C．6 D．－6 3．若，，，三点共线，则实数的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 4．已知向量，若，则 ． 考点六：平面向量数量积的基本运算 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算；（3）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算 【典型例题】 例1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 例2．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，则（    ） A．2 B． C．10 D． 例3．（2024高二上·北京·学业考试）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .    例4．（2024高二下·浙江·学业考试）向量是两个单位向量，夹角为，则 ． 【即时演练】 1．已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．若向量与的夹角为，，，则 ． 3．在等边中，，则 ． 4．已知向量，满足，，且，则 . 考点七：平面向量的夹角 求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； 【典型例题】 例1．（2023高三上·新疆·学业考试）已知向量，则向量与（    ） A．互相平行 B．夹角为 C．夹角为 D．互相垂直 例2．已知向量，则向量与夹角的余弦值为 ． 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 . 例4．（2023高二·甘肃·学业考试）已知向量、满足且，则向量与的夹角为 . 【即时演练】 1．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．若向量，，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 3．中，设，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．已知，，均为单位向量，且满足，则 . 考点八：平面向量的模 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，且，则 . 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）已知单位向量与单位向量的夹角为，则 ． 例4．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知向量，，则= . 【即时演练】 1．已知平面向量为单位向量，若，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 2．设向量，满足，，则等于（   ） A． B．2 C．5 D．8 3．已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知向量，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 考点九：平面向量的垂直 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 例2．（2023高三·新疆·学业考试）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 例3．（2022高二·湖南·学业考试）在中，，为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 例4．（2024高二上·新疆·学业考试）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【即时演练】 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D． 3．已知向量满足，且，则与的夹角为 . 4．已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 实战能力训练 1．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 2．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知平面向量，满足，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．，点在边上，，设，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 6．设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 7．已知向量的夹角为30°，且，则 8．化简 . 9．已知平面向量满足，且，则 . 10．向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数 ． 11．已知向量的夹角为，且，，则 ． 12．已知等边的边长为1，求： (1)； (2)； (3). 13．已知，，．设，且. (1)求； (2)求满足的实数，； (3)求，的坐标及向量的坐标． 14．已知向量． (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，求实数的值； (3)若向量满足，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$