广东省肇庆市封开县江口中学2024-2025学年高三上学期数学周测试题（11.17）

开县江口中学 2024-2025学年高三上学期 测 数学参考答案 2024.11.17 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】B 【详解】f x = cos2x- cosx定义域为R，关于原点对称， f -x = cos -2x - cos -x = cos2x- cosx= f x ， 所以 f x 为偶函数，又 f x = cos2x- cosx= 2cos2x- cosx- 1， 令 cosx= t，-1≤ t≤ 1，f t = 2t2- t- 1， t= 14 时，即 cosx= 1 4 ，f x 有最 值，最 值为- 9 8 ， t=-1时，即 cosx=-1时，f x 有最大值，最大值为 2，故A错误，故B正 ； 因为 f x+2π = cos2 x+2π - cos x+2π = cos2x- cosx= f x ，所以 f x 为 期函数， 因为 y= cosx 0, π2 上单 减， π 2 ,π 上单 减， x∈ 0, π2 ，f x = 2cos 2x- cosx- 1，令 cosx= t，0< t< 1，f t = 2t2- t- 1，f t  0, 14 单 减， 1 4 ,1 单 ， x∈ π2 ,π ，f x = 2cos 2x- cosx- 1，令 cosx= t，-1< t< 0，f t = 2t2- t- 1，f t  -1,0 单 减， 由复 函数的单 性知，f x  0, π2 上先减 ， π 2 ,π 上单 ； 故C，D错误，故 ：B. 6.【答案】C 【详解】因为 8+1 2= 92= 81，所以 81是雷 数.其 的不是雷 数． 记：“从 6个数中随机 选择两个数，其中恰有一个数是雷 数”为事件A， P A = C15 C26 = 515 = 1 3． 故选：C 7.【答案】D 【详解】若 a< 0， -∞,a 上，函数 y=-ax+ 1单 递 ，所以 y∈ -∞,1-a2 ； 此时，函数 y= x-1 2 a,1 上单 减， 1,+∞ 上单 ，无最大值，所以 y∈ 0,+∞ ； 因为函数 f x 的值域为R，所以 1- a2≥ 0，结 a< 0 -1≤ a< 0. 若 a= 0， f x = 1, x<0 x-1 2, x≥0  的值域为 0,+∞ ； 若 0< a< 1， -∞,a 上，函数 y=-ax+ 1单 减，所以 y∈ 1-a2,+∞ (1- a2> 0)； a,1 上，函数 y= x-1 2单 减， 1,+∞ 上单 ，无最大值，所以 y∈ 0,+∞ ； 所以函数 f x 的值域不可能为R； 若 a≥ 1， 函数 -∞,a 上，函数 y=-ax+ 1单 减，所以 y∈ 1-a2,+∞ (1- a2≤ 0)； a,+∞ 上，函数 y= x-1 2单 ，y∈ a-1 2,+∞ ， 此时函数 f x 的值域不可能为R. 综上可知： -1≤ a< 0时，函数 f x 的值域为R． 故 ：D 8.【答案】C 【详解】∵Tn为正项数 an 的 n项积， an-1 Tn= 2an， ∴ n= 1时，T1-1 T1= 2T1，a1=T1= 3 n≥ 2时，an= Tn Tn-1 ，又 an-1 Tn= 2an， 第1页 共4页 ∴Tn= 2an an-1 = 2Tn Tn-1 Tn Tn-1 -1 = 2TnTn-Tn-1 ，即Tn-Tn-1= 2， ∴ Tn  首项为 3，公差为 2的 差数 ，且Tn= 3+ 2(n- 1) = 2n+ 1. 由 Tn-2 an=Tn， an= Tn Tn-2 = 2n+12n-1 若 an< 10011000， 2n+1 2n-1 < 1001 1000，∴n> 2001 2 ， 所以，正整数 n的最 值为 1001． 故 ：C. 9.【答案】ABC 【详解】不妨设甲组数 从 大 为：x1,x2,⋯ ,x16， 乙组数据从 大排 为：3x1- 9,3x2- 9,⋯ ,3x16- 9， 因为甲组数据的 数为m，标准差为 n，极差为 a， 60百 数为 b， a= x16- x1，又 16× 60%= 9.6，所以 b= x10，所以乙组数据的 数为 3m- 9，故A正 ； 乙组数据的极差为 3x16- 9- 3x1-9 = 3 x16-x1 = 3a，故B正 ； 乙组数据的 60百 数为 3x10- 9= 3b- 9，故C正 ； 乙组数据的标准差为 3n，故D错误． 故 ：ABC 10.【答案】ABD 【详解】如图： 对于A： △ABC中，AC=BC= 3,AB= 3 2，所以∠ACB= 90°，即AC⊥BC. 由 ACC1A1⊥ ABC， ACC1A1∩ ABC=AC，BC⊂ ABC， 所以BC⊥ ACC1A1，又A1A⊂ ACC1A1，所以BC⊥A1A，故A正 ； 对于B：因为A1C1= 1，AC= 3，且△A1B1C1∽△ABC，所以S△A1B1C1= 1 9 S△ABC. 又三棱锥A1-ABC B-A1B1C1 的高相 ，所以VA1-ABC= 9VB-A1B1C1，故B正 ； 对于C：因为AC= 3A1C1，所以S△A1AC= 3S△A1C1C，所以VB-A1AC= 3VB-A1C1C，即VA1-ABC= 3VB-A1CC1， 故C错误； 对于D：因为三棱台的高为 1，所以三棱台ABC-A1B1C1的 积为：V= 13 ⋅ 1 2 + 9 2 + 1 2 × 9 2 = 136 ， 故D正 ． 故 ：ABD 11.【答案】ABD 【详解】对A：令 x= 1， f 1 + f 1 = 2⇒ f 1 = 1；令 x= 0， f 0 + f 2 = 2.所以 f 0 + f 1 + f 2 = 3，故A正确； 对B：因为 f x + f 2-x = 2，两边 导， g x - g 2-x = 0即 g x = g 2-x ； 因数 g x-1 为偶函数，所以 g -1+x = g -1-x ⇒ g 2-x = g -4+x ， 所以 g x = g -4+x ，故 g x+4 = g x 成立，故B正 ； 对C：因为 g x+4 = g x ，所以 f x+4 + c1= f x + c2⇒ f x+4 = f x + c，c未 0，故C错误； 对D：因为 g x = g 2-x ，令 x= 12 ， g 1 2 = g 3 2 ，故D正 ． 故 ：ABD 12.【答案】43 13.【答案】 33 【详解】如图， 题意 出图形， 由题可 ：F1F2= 2c，又ΔAF1B为 边三角 ，由 的对称性可 ： ∠AF1F2= π6 ，又AB⊥F1F2.计 可 ：AF2= 2 3 3 c,AF1= 4 3 3 c 由 定义可 ：AF2+AF1= 4 33 c+ 2 3 3 c= 2a 整理 ： 3c= a 所以 e= ca = 3 3 第2页 共4页 14.【答案】134 【详解】设甲、乙、丙 3 学的信件 为A、B、C， 若A、B、C都 有取 ， 有A34= 24种不 的取法； 若A、B、C取 一个， 有C13A 1 2A 2 4= 72种不 的取法； 若A、B、C取 两个， 有C23 A 1 2A 1 4+C14 = 36种不 的取法； 若A、B、C取 三个， 有C12= 2种不 的取法； 综上可 一共有 24+ 72+ 36+ 2= 134种不 的取法． 故 案为：134 15.【答案】(1)2 (2) π4 【解析】【 问 1详解】 因为 sinB ⋅ sinC= sinA，a= 2，由正 定理可 b ⋅ sinC= a= 2，所以 sinC= 2b ， 所以S△ABC= 1 2 absinC= 1 2 × 2b× 2 b = 2； 问 2详解】因为 a2= b2+ c2- 2bccosA，又 b2+ c2= 12，a= 2， 所以 4= 12- 2bccosA，所以 bccosA= 4， bccosA= a2， 由正 定理可 sinBsinCcosA= sin2A，又 sinB ⋅ sinC= sinA， 所以 sinAcosA= sin2A， 然 sinA> 0，所以 cosA= sinA， tanA= 1，又A∈ 0,π ，所以A= π4 . 16.【答案】(1)证明见解析； (2) 23 . 【详解】(1)因为PD⊥ ABCD，AB⊂ ABCD， 所以PD⊥AB， 又因为AB∥CD,∠ADC= 90°， 所以AD⊥AB，而AD∩PD=D，且AD,PD⊂ PAD， 所以AB⊥ PAD； (2)因为PD⊥ ABCD，AD,CD⊂ ABCD， 所以PD⊥CD,PD⊥AD，而CD⊥AD， 于 建立如图所示的 间直角 标系， D 0,0,0 ,P 0,0,2 ,A 2,0,0 ,B 2,1,0 ,C 0,2,0 ， 由 (1)可知：AB⊥ PAD， 所以 PAD的法 量为AB  = 0,1,0 ， 设 PBC的法 量为 n = x,y,z ，PB  = 2,1,-2 ,PC  = 0,2,-2 ， 有 n⋅PB  =0 n⋅PC  =0  ⇒ 2x+y-2z=0 2y-2z=0  ⇒n  = 1,2,2 ， 设 PAD与 PBC夹角为 θ， cosθ= AB  ⋅n  AB   × n  = 2 1× 1+4+4 = 23 ， 所以 PAD与 PBC夹角的 值为 23 . 17.【答案】(1)an= 3n-1 (2)Tn= 3 n+n2-n-1 2 【详解】(1)解：因为Sn为数 an 的 n项 ，且 2Sn= 3an- 1， n= 1时， 有 2a1= 3a1- 1，解 a1= 1； n≥ 2时，由 2Sn= 3an- 1可 2Sn-1= 3an-1- 1， 上述两个 差可 2an= 3an- 3an-1，整理 an= 3an-1， 所以，数 an  以 1为首项，以 3为公比的 比数 ， 因此，an= 1× 3n-1= 3n-1. (2)解：因为 bn= an+ log3an= 3n-1+ log33n-1= 3n-1+ n-1 ， 第3页 共4页 所以，Tn= 30+0 + 31+1 + 32+2 +⋯+ 3n-1+ n-1   = 30+31+32+⋯+3n-1 + 0+1+2+⋯+ n-1   = 1-3 n 1-3 + 0+n-1 n 2 = 3n+n2-n-1 2 . 18.【答案】(1)y=-1； (2) 1e ,+∞ . 【详解】(1) a= 1时，f(x) = ex- x- 2， 导 f(x) = ex- 1， f(0) = 0，而 f(0) =-1， 所以函数 f(x)的图 点 (0,f(0))处的 线方 为 y=-1. (2)函数 f(x) = ex- a(x+ 2)的定义域为R， 导 f(x) = ex- a， ① a≤ 0时，f(x)> 0恒成立，函数 f(x) R上单 ，f(x)至多有一个零点，不 题意； ② a> 0时，由 f(x) = 0，解 x= lna， x∈ (-∞,lna)时，f(x)< 0； x∈ (lna, +∞)时，f(x)> 0， 函数 f(x) (-∞,lna)上单 减， (lna, +∞)上单 ， f(x)min= f(lna) = a- a(lna+ 2) =-a(lna+ 1)， a∈ 0, 1e 时，lna≤-1， f(x)min≥ 0， f(x)至多有一个零点，不 题意； a∈ 1e ,+∞ 时，lna>-1， f(x)min< 0，而 f(-2) = e -2> 0， f(x) (-∞,lna)上有唯一零点； 由 (1)知， x> 0时，ex- 1> 0，函数 y= ex- x- 2 (0, +∞)上单 ， x> 2时，ex- x- 2> 0，即 ex> x+ 2， x> 2ln 2a 时，f(x) = e x 2 ⋅ e x 2 - a(x+ 2)> eln2a ⋅ x2 +2 - a(x+ 2) = 2a> 0，f(x) (lna, +∞)上有 唯一零点；因此 a∈ 1e ,+∞ 时，f(x)有两个不 零点， 所以实数 a的取值 围为 1e ,+∞ . 19.【答案】(1) 64125；(2) 512 625；(3) 529 625 . 【详解】(1)设事件A=“中国 以 3:0的比 胜”， ∵中国 每一 中 胜的 率 为 45 ， ∴P(A) = 4 5  3= 64125， ∴中国 以 3:0的比 胜的 率为 64125； (2)设事件B=“中国 已输一 的情况下 胜”， 有两类情况： ①设事件B1=“中国 从 二 始连胜三 ”， ∴P B1 = 45  3= 64125， ②设事件B2=“中国 二 四 中胜两 ，再胜 五 ”， ∴P B2 = 3× 45  2× 15 × 4 5 = 192 625， ∵B1与B2 互斥事件， ∴P(B) =P B1∪B2 =P B1 +P B2 = 64125 + 192 625 = 512 625， ∴中国 已输一 的情况下 胜的 率为 512625； (3)设中国 进行三 、四 比赛 胜 为事件C1、C2，瑞典 进行三 、四 比赛 胜 为事件D1、 D2，至多进行四 比赛为事件C， ∴P C1 = 45  3= 64125，P C2 = 3× 4 5  2× 15 × 4 5 = 192 625， P D1 = 15  3= 1125，P D2 = 3× 1 5  2× 45 × 1 5 = 12 625， ∵C1，C2，D1，D2 互斥事件， ∴P(C) =P C1∪C2∪D1∪D2 =P C1 +P C2 +P D1 +P D2  = 64125 + 192 625 + 1 125 + 12 625 = 529 625， ∴至多进行四 比赛的 率为 529625 . 第4页 共4页 开县 口中学 2024-2025学 高三上学期 数 学 试 题 2024.11.17 一、单项 择题：本题共 8 题，每 题 5 ，共 40 ． 每 题给出的四个 项中，只有一项 符 题目要 的. 1. 已知复数 z满足 3-iz = 1+ 3 i， z = ( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知集 A= x∈Z x-1 <3 ，B= x∣0≤x≤3 ， A∩B= ( ) A. 0,1,2,3  B. -1,0,1,2  C. x∣0≤x≤3  D. {x ∣-2< x< 4} 3.“2a> 1，log2b> 1”“2a+b> 4”的 ( ) A.充 不必要条件 B.必要不充 条件 C.充要条件 D.既不充 也不必要条件 4. 已知单 a，b  满足 a+b   = 1， 下 说法正 的 ( ) A. a,b   = 150° B. a -b   = 3 C. a+ b  a上的投影 为 32 a  D. b  ⊥ a+ 12 b    5. 函数 f x = cos2x- cosx ( ) A. 函数，且最 为-2 B. 函数，且最大 为 2 C. 期函数，且 0, π2 上单 D. 期函数，且 π 2 ,π 上单 减 6. 印 数学家卡 一次旅行中， 猛烈的 风雨，他 路边写有 3025的一 牌子 被 成了两半，一半上写 30，另一半上写 25.这时，他发现 30+ 25= 55，552= 3025，即 成两半的数 起来，再 方，正好 原来的数字.数学家 3025等符 上述规律的数字 称之为雷 数 (或卡 数). 下 数组：92，81，52，40，21，14中随机 择两个数，其 中恰有一个数 雷 数的 率 ( ) A. 815 B. 3 5 C. 1 3 D. 0 7. 已知函数 f x = -ax+1, x<a x-1 2, x≥a  的 域为R， 实数 a的取 围 ( ) A. -∞,0  B. -∞,-1  C. -1,1  D. -1,0  8. 记正项数 an 的 n项积为Tn，已知 an-1 Tn= 2an，若 an< 10011000， n的最 ( ) A. 999 B. 1000 C. 1001 D. 1002 第1页 共4页 二、多项 择题：本大题共 3 题，每 题 6 ，共计 18 ．每 题给出的四个 项中，有多项符 题目要 ．全部 对的得 6 ，部 对得部 ，有 的得 0 . 9. 现有甲、乙两组数 ，甲组数 为：x1,x2,⋯ ,x16；乙组数 为：3x1- 9,3x2- 9,⋯ ,3x16- 9， 若甲组数 的 数为m， 准差为 n，极差为 a，第 60百 数为 b， 下 说法一定正 的 ( ) A.乙组数 的 数为 3m- 9 B.乙组数 的极差为 3a C.乙组数 的第 60百 数为 3b- 9 D.乙组数 的 准差为n 10. 三棱台ABC-A1B1C1中， ACC1A1 等 形且与 直，A1C1= 1，AA1= 2，AC=BC= 3，AB= 3 2， 下 说法正 的 ( ) A. A1A⊥BC B. VA1-ABC= 9VB-A1B1C1 C. VA1-ABC= 2VB-A1CC1 D.三棱台ABC-A1B1C1的 积为 13 6 11. 已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域 为R，记 g x = f x ，若 f x + f 2-x = 2， g x-1 为 函数， 下 说法一定正 的 ( ) A. f 0 + f 1 + f 2 = 3 B. g x+4 = g x  C. f x+4 = f x  D. g 12 = g 3 2  三、 题：本题共 3 题，每 题 5 ，共 15 . 12. 若 3cosα+ 4sinα= 5， tanα= ． 13. 已知 C : x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a>b>0 的左、右焦点 为 F1、F2，过 F2且 直于 x轴的直线 交 于A、B两点，若ΔAF1B为等边三角形， C的离心率为 . 14. 现有甲、乙、丙等 7 学， 自写了一 信，然 都投 一个 箱 .若甲、乙、丙 3 学 从 箱 随机抽取一 信， 这 3 学抽 的都不 自己写的信的不 取法种数 (用数字 答). 四、解答题：本大题共 5 题，满 77 ．解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤. 15. △ABC中，内角A，B，C所对的边 为 a，b，c，且 sinB ⋅ sinC= sinA，a= 2. (1) △ABC的 积S； (2)若 b2+ c2= 12， A. 第2页 共4页 16.如图， 四棱 P-ABCD中，PD⊥ ABCD，AB∥CD，∠ADC= 90°，且AD=CD= PD= 2AB= 2． (1) 证：AB⊥ PAD； (2) PAD与 PBC夹角的 弦 . 17.记Sn为数 an 的 n项 ，已知 2Sn= 3an- 1． (1) an 的 项公式； (2)设 bn= an+ log3an， 数 bn 的 n项 Tn． 第3页 共4页 18.已知函数 f x = ex- a x+2 ， (1)若 a= 1， f x  点 0,f 0  处的 线方 . (2)若 f x 有两个零点， a的取 围. 19.中国乒乓球队 中国 育军团的王牌之 ， 次 国际大赛上争金夺银，被 育迷们习惯 称为“ 之队”.2024 巴黎奥运 ，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团 赛由四 单 打 一 双打比赛组成， 用五 三胜 .每个队由三 运 组成，当一个队赢得三 比 赛时，比赛结束.2024 8月 10日，中国队对战瑞典队，最终以 3:0取得团 赛冠军，赛 某 乒乓球爱好者对赛事情况进行 析， 以往战绩，中国队 每 比赛中 胜的 率 为 4 5 . (1) 中国队以 3:0的比 胜的 率； (2) 中国队 已输一 的情况下 胜的 率； (3) 至多进行四 比赛的 率. 第4页 共4页